Пример выполнения типового расчета

Hахождение наибольшего и наименьшего значения функции нескольких переменных в замкнутой области

Теоретическое введение

1.1.1 Экстремум функции двух переменных
Пусть функция двух переменных z = f (x,y) = f (P) непрерывна в некоторой области G.
Функция двух переменных имеет в точке P ₀(x ₀, y ₀) области G максимум, если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек P (x, y) этой окрестности, отличных от P ₀, выполняется неравенство f (P ₀) > f (P). Точка P ₀ называется при этом точкой максимума функции f (x, y).
Функция двух переменных имеет в точке P ₀(x ₀, y ₀) области G минимум, если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек P (x, y) этой окрестности, отличных от P ₀, выполняется неравенство f (P ₀) < f (P). При этом точка P ₀ называется точкой минимума функции f (x, y).
Существует общее название для максимума и минимума – экстремум.
Необходимое условие существования экстремума.
Если в точке P ₀(x ₀, y ₀) функция z = f (x, y) имеет экстремум и если в этой точке существуют частные производные первого порядка от функции z = f (x, y), то эти производные равны нулю, т.е.

Точки, в которых частные производные первого порядка функции z = f (x, y) равны нулю, называются стационарными. Точки, в которых частные производные первого порядка обращаются в нуль или не существуют, называются критическими этой функции. Точки экстремума функции следует искать среди её критических точек. Однако существуют критические точки, не являющиеся точками экстремума.

1.1.2 Условный экстремум функции двух переменных
На практике в ряде случаев приходится иметь дело с исследованием на экстремум функций нескольких переменных при наличии определённых условий, связывающих эти переменные. Пусть задана функция двух переменных z = f (x, y) при условии, что x и y связаны соотношением φ (x, y) = 0, это соотношение называется уравнением связи.
Обозначим через D множество {(x, y): ­ φ (x, y)}. Точка P ₀(x ₀, y ₀) є D называется точкой условного минимума функции f (x, y), если существует такая окрестность этой точки U (P ₀), что для всех точек P (x, y) є U (P ₀) ∩ D, отличных от P ₀, выполняется неравенство f (P ₀) < f (P).
Аналогично определяется точка условного максимума, только заключительное неравенство имеет вид:
f (P ₀) > f (P).
Точки условного максимума или условного минимума называются точками условного экстремума функции f (x, y), при этом говорят, что функция имеет в этих точках условный экстремум.
При наличии условия φ (x, y) = 0 из переменных x и y лишь одно независимое, а второе определяется из условия. Если разрешить условие относительно y и подставить в функцию z = f (x, y) вместо y найденное выражение, получим z как функцию одного переменного x. Таким приёмом часто пользуются при решении задач. Однако бывают случаи, когда выразить y из условия φ (x, y) = 0 затруднительно или вообще невозможно. В этом случае пользуются методом множителей Лагранжа.
Необходимое условие условного экстремума.
Пусть необходимо исследовать на экстремум функцию z = f (x, y) при наличии условия φ (x, y) = 0. Составим функцию F (x, y, λ), называемую функцией Лагранжа:

Если в точке P ₀(x ₀, y ₀) существует условный экстремум функции z = f (x, y), то координаты этой точки удовлетворяют системе уравнений:

(3)

1.1.3 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в ограниченной замкнутой области
Непрерывная функция двух переменных z = f (x, y) в ограниченной замкнутой области достигает своего наибольшего и наименьшего значения. Чтобы найти эти наибольшие и наименьшие значения в ограниченной замкнутой области G следует
– найти все критические точки функции z = f (x, y), принадлежащие области G;
– найти все стационарные точки условного экстремума на границах области G;
– вычислить значения функции f (x, y) во всех найденных выше точках, а также в точках пересечения границ области G.
Самое большое из найденных значений функции f (x, y) будет наибольшим значением этой функции в области G. Соответственно, наименьшим значением функции f (x, y) в области G будет наименьшее из найденных значений функции.

Содержание типового расчета

В типовом расчете требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в ограниченной замкнутой области G. Типовой расчет содержит две задачи.

Пример выполнения типового расчета

Задача 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x ² – 2 y ² + 4 xy – 6 x – 1 в области x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4.
Решение. Представим указанную область графически (рис. 1). Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения, могут находится как внутри области, так и на ее границе.

Рис. 1

1. Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то в этой точке частные производные
z'_x = 2 x + 4 y – 6 и z'_y = – 4 y + 4 x
должны обращаться в нуль.
Найдем стационарные точки, решая систему:

Имеем одну точку M ₁(1; 1), которая находится внутри заданной области. В точке M ₁ значение функции равно:
z (M ₁) = z (1; 1) = 1² – 2 · 1² + 4 · 1 · 1 – 6 · 1 – 1 = – 4.
2. Перейдем к исследованию функции на границах области.
а) На отрезке OA: x = 0, 0 ≤ y ≤ 4, z = –2 y ² – 1 = z (y).
Задача сводится к отысканию стационарной точки функции одного аргумента на отрезке [0; 4]. Находим производную z'_y = – 4 y.
Решаем уравнение z'_y = 0 y = 0.
На отрезке OA находится одна стационарная точка O (0; 0). Находим значение функции z в этой точке z (0) = –1.
б) На отрезке OB: y = 0, 0 ≤ x ≤ 4, z = x ² – 6 x – 1 = z (x).
Находим z'_x = 2 x – 6. z'_x = 0 при x = 3. Получили стационарную точку M ₂ (3; 0) на отрезке OB. Значение функции z в этой точке z (M ₂) = z (3; 0) = –10.
в) На отрезке AB: x + y = 4 или y = 4 – x, где 0 ≤ x ≤ 4.
И в этом случае получаем функцию одной переменной
z = x ² –2(4 – x)² + 4 x (4 – x) – 6 x – 1 = – 5 x ² + 26 x – 33 = z (x).
Ее исследование на экстремум дает
z'_x = –10 x + 26 z'_x = 0 x = 2,6, ­ тогда y = 1,4.
Таким образом, на отрезке AB имеем стационарную точку M ₃ (2,6; 1,4). Значение функции z в точке M ₃ равно z (M ₃) = z (2,6; 1,4) = 0,8.
3. Вычислим значение функции z (x,y) в точках пересечения границ O, A, B. В точке O (0; 0) расчет уже произведен.
z (A) = z (0; 4) = – 33; z (B) = z (4; 0) = – 9.
Из всех полученных нами значений функции в стационарных точках z (M ₁) = – 4; z (0) = – 1; z (M ₂) = – 10; z (M ₃) = 0,8 и в точках пересечения границ области z (A) = – 33, z (B) = – 9 выбираем наибольшее и наименьшее:

z_наиб = z (M₃) = z (2,6; 1,4) = 0,8.
z_наим = z (A) = z (0; 4) = – 33.

Задача 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 7 x – 13 y + 3 в области x ² + y ² ≤ 64, y ≤ x.
Решение 1. Для отыскания стационарных точек заданной функции нужно решить систему

Так как частные производные заданной функции в нуль не обращаются, то функция стационарных точек не имеет.
2. Исследуем функцию на границах области (рис. 2).

Рис. 2

а) На отрезке AB: y = x; z = 7 x – 13 x + 3 = – 6 x + 3 = z (x).
z'_x = – 6 ≠ 0.
Так как на прямой AB производная в нуль не обращается, функция не имеет на этой прямой стационарных точек.
б) Для исследования функции на окружности x ² + y ² = 64 используем метод неопределенных множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа
F (x, y, λ) = z (x, y) + λφ (x, y) = 7 x – 13 y + 3 + λ (x ² + y ² – 64).
Для нахождения стационарных точек необходимо решить систему уравнений
.
Из первых двух уравнений найдем , и подставим в третье уравнение
=64 218 = 256 λ ² λ ² = ≈ 0,852.
Откуда λ ≈ ± 0,923. Получили две стационарные точки на окружности. При λ ₁ = 0,923 находим x ₁ = – 3,79, y ₁ = 7,04. Точка M ₁ (– 3,79; 7,04) не принадлежит заданной области (рис. 2).
Значению λ ₂ = – 0,923 соответствуют x ₂ = 3,79, y ₂ = – 7,04. Точка M ₂ (3,79; – 7,04) принадлежит заданной области. Вычислим значение функции z в этой точке
z (M ₂) = z (3,79; –7,04) = 121,05 ≈ 121.
3. Вычислим значения функции в точках пересечения границ x ² + y ² = 64 и y = x:
x ² + x ² = 64 x ² = 32 x = ± ≈ ± 5,66.
В точке A (5,66; 5,66) z (A) = – 30,96 ≈ – 31,0.
В точке B (– 5,66; – 5,66) z (B) = 36,96 ≈ 37,0.
Мы нашли одну стационарную точку M ₂, z (M ₂) = 121 и вычислили функцию в двух «угловых» точках z (A) ≈ –31,0, z (B) ≈ 37,0. Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее, получаем ответ
z_наиб = z (M ₂) = z (3,79; – 7,04) = 121,
z_наим = z (A) = z (5,66; 5,66) = – 31,0.

Оформление отчета

По каждой задаче необходимо выполнить аккуратный чертеж. На чертеже показать все рассмотренные точки и их координаты. Привести все проделанные выкладки. В ответе указать координаты точек, в которых функция достигает наибольшего и наименьшего значения и величину этих значений.
В ответе все расчетные величины записать в десятичных дробях с тремя значащими цифрами.