Метод неопределённых коэффициентов.

Лекция 3. Рациональные дроби.

Содержание лекции: Рациональные дроби, правильные, неправильные. Простейшие рациональные дроби. Представление правильной рациональной дроби в виде суммы простейших. Метод неопределенных коэффициентов.

В этой лекции мы будем рассматривать многочлены только на множестве действительных чисел, а переменную будем обозначать х.

Определение 3.1.

Рациональной дробью называется отношение двух многочленов:
,
Если (степень числителя меньше степени знаменателя), то дробь называется правильной; если (степень числителя не меньше степени знаменателя), то дробь называется неправильной.

Например, - правильная дробь (степень многочлена, стоящего в числителе, равна 1, а степень многочлена-знаменателя равна 3). Дроби и – неправильные.

Если = – неправильная дробь, то, выполнив деление многочлена Р (х) на многочлен Q (x):

P(х) = Q(х)S(х) + R(х),

можно представить эту дробь в виде суммы
= S(x) + ,
где S(x) – многочлен, а – правильная рациональная дробь. Многочлен S(x) называют целой частью неправильной рациональной дроби.

Правильные дроби вида:
I. II. III. IV.
называются простейшими или элементарными. Здесь А, M, N, a, p, q – действительные числа, т ³ 2 – натуральное число, квадратный трехчлен – неприводимый многочлен (дискриминант D = p ² – 4 q < 0).

Теорема 3.1

Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей (разложить на простейшие дроби). При этом если знаменатель правильной дроби представлен в виде произведения неприводимых множителей

то

· каждому множителю вида в указанной сумме соответствует дробь вида ;

· каждому множителю вида в разложении соответствует сумма т дробей ;

· множителю вида в разложении соответствует дробь вида ;

· множителю вида соответствует сумма дробей

Например, = + ,

Тогда всякую неправильную рациональную дробь можно представит в виде суммы целой части и простейших рациональных дробей. Для этого выделяют целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель, а затем полученную правильную рациональную дробь разлагают на сумму простейших.

Разложение правильных дробей на простейшие можно проводить, придерживаясь следующего алгоритма:

Алгоритм разложения правильной дроби :

1. Знаменатель правильной рациональной дроби разложить на неприводимые множители (если при разложении получим квадратный трехчлен, имеющий иррациональные корни, то будем считать его неприводимым).

2. Учитывая теорему 3.1, составить сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами, записав для каждого неприводимого множителя знаменателя соответствующую ему одну или несколько простейших дробей.

3. Найти коэффициенты разложения.

4. Подставить найденные значения коэффициентов в составленную формально сумму и записать окончательное разложение.

Неизвестные коэффициенты разложения можно находить следующими способами.

Метод неопределённых коэффициентов.

Составленную формально сумму простейших дробей (с неизвестными, буквенными, коэффициентами) привести к общему знаменателю (этот общий знаменатель обязательно равен знаменателю исходной дроби) и сложить дроби. Записать равенство числителей исходной и вновь полученной дробей. Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях многочленов, стоящих в левой и правой частях этого равенства, записать систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения. Решив полученную систему уравнений, найти значения коэффициентов разложения и подставить их в разложение.

Метод частных значений.

Составленную формально сумму простейших дробей привести к общему знаменателю и сложить дроби. Записать равенство числителей исходной и вновь полученной дробей. В этом равенстве переменной придать числовые значения и записать систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения. Значений переменной нужно взять столько, сколько неизвестных коэффициентов в разложении дроби.В частности удобно придавать переменной х значения корней знаменатель исходной дроби.. Из полученной системы равенств найти неизвестные коэффициенты разложения и подставить их в разложение дроби.

Эти методы можно применять и в комбинации.

Пример 1: Разложить дробь в сумму простейших.