1. Задача о нахождении ориентированной площади криволинейной трапеции и ее решение. Определенный интеграл.
2. Свойства разбиений и разбиений с отмеченными точками. Определение определенного интеграла на языке e-d. Необходимое условие интегрируемости.
3. Суммы и интегралы Дарбу, их свойства. Критерий Дарбу интегрируемости функции по Риману.
4. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций. Интегрируемость суммы, произведения и частного интегрируемых функций. Критерий Лебега интегрируемости функций по Риману.
5. Основные свойства определенного интеграла: нормировка, линейность, монотонность, аддитивность.
6. Интегрирование неравенств. Теоремы о положительности интеграла от неотрицательной функции, равенстве нулю интеграла от функции почти всюду равной нулю, равенстве интегралов от функций, которые совпадают почти всюду.
7. Первая теорема о среднем для определенного интеграла, ее геометрическая интерпретация. Пример применения.
8. Непрерывность и дифференцируемость определенного интеграла с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
9. Формулы замены переменной и введения новой переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям. Примеры применения.
10. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
11. Вторая теорема о среднем для определенного интеграла. Формулы Бонне. Пример применения.
12. Применение определенного интеграла для вычисления площадей ограниченных плоскими кривыми и длин дуг кривых при различных способах задания кривых. Примеры.
13. Вычисление площадей поверхностей и объемов тел, полученных вращением плоских кривых вокруг некоторой оси. Объем тела с известным поперечным сечением. Теоремы Гульдина.
14. Применение определенного интеграла для вычисления работы, статических моментов и моментов инерции. Нахождение координат центров тяжести кривых, плоских областей и пространственных тел.
15. Две причины неприменимости идеи определенного интеграла. Определение несобственного интеграла. Сходимость и расходимость несобственных интегралов. Примеры.
16. Основные свойства несобственного интеграла: линейность, монотонность, аддитивность. Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов.
17. Формулы замены переменных и интегрирования по частям для несобственных интегралов. Необходимое условие существования несобственного интеграла.
18. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Примеры применения.
19. Признаки сходимости интегралов от знакопостоянных функций: мажорантный признак и признаки одновременной сходимости-расходимости интегралов.
20. Абсолютная и условная сходимость интегралов от знакопеременных функций, связь между ними. Примеры абсолютно и условно сходящихся интегралов.
21. Признаки Абеля и Дирихле сходимости интегралов от знакопеременных функций.
22. Поведение подинтегральной функции сходящегося интеграла на бесконечности. Примеры.
23. Интегралы Фруллани. Главное значение расходящегося интеграла по Коши. Пример вычисления.
24. Определение ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости.
25. Признаки сходимости знакопостоянных рядов. Мажорантный признак сходимости и признаки одновременной сходимости-расходимости рядов. Дзета-функция Римана.
26. Признаки Коши, Даламбера, Раабе и Куммера сходимости знакопостоянных рядов. Признак Гаусса. Примеры применения.
27. Абсолютная и условная сходимость рядов, связь между ними. Признак Лейбница условной сходимости знакочередующегося ряда. Признаки Абеля и Дирихле условной сходимости знакопеременных рядов.
28. Функциональные ряды, область сходимости функционального ряда. Степенные ряды, круг и радиус сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда. Области сходимости рядов Маклорена для основных элементарных функций.
29. Поточечная и равномерная сходимости функциональных рядов. Их связь, пример.
30. Общий вид ряда Фурье для периодической функции на промежутке [–π,π] и [0,2π]. Коэффициенты ряда Фурье. Пример разложения функции в ряд Фурье.
31. Примеры рядов Фурье для функции const, x, x2. Вид ряда Фуре для четной и нечетной функции на промежутке.
32. Ряд Фурье для произвольного промежутка [- l, l ] и [0, l ]. Обобщенные ряды Фурье и примеры ортогональных систем функций.
33. Теорема Дирихле. Пример разложения функции в ряд Фурье. Интеграл Дирихле.
34. Среднеквадратичная погрешность для ряда Фурье. Неравенство Бесселя и уравнение замкнутости.
35. Неравенство Бесселя и уравнение замкнутости для обобщенных рядов Фурье.
36. Интеграл Фурье. Прямое и обратное преобразования Фурье.
37. Бесконечные произведения, постановка задачи и определения. Необходимое условие сходимости бесконечного произведения.
38. Достаточное условие сходимости бесконечного произведения. Связь между рядами и бесконечными произведениями. Абсолютная и условная сходимость бесконечных произведений.
39. Разложение синуса и косинуса в бесконечные произведения. Формула Валлиса. Формула Стирлинга.
40. Эйлеров интеграл первого рода – Бетта-функция. Основные свойства и рекурентные соотношения. Связь с Гамма-функцией.
41. Эйлеров интеграл второго рода – Гамма-функция. Различные способы определения Гамма-функции. Формулы понижения и дополнения для Гамма-функции.
42. Норма и метрика в евклидовом пространстве. Окрестности. Внутренние, граничные и предельные точки множеств. Открытые, замкнутые и связные множества.
43. Предел последовательности в евклидовом пространстве. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса о выделении сходящейся подпосле-довательности из бесконечной ограниченной после-довательности.
44. Функции многих переменных: определения, терминология, примеры. Предел функции многих переменных. Повторные пределы, примеры.
45. Непрерывные функции многих переменных, примеры. Теоремы о непрерывности суммы, произвевения и частного непрерывных функций. Непрерывность сложной функции.
46. Свойства функций непрерывных в области. Теорема Больцано-Коши. Теоремы Вейерштрасса о наибольших и наименьших значениях функций, непрерывных в замкнутой области.
47. Равномерная непрерывность Функции на множестве. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции на ограниченном замкнутом множестве и ее следствие.
48. Компактные множества в евклидовом пространстве. Теорема Бореля о конечном покрытии замкнутого ограниченного множества.
49. Частные производные и частные дифференциалы функции многих переменных. Определение и условия существования дифференциала функции многих переменных. Примеры дифференцируемых и не дифференцируемых функций.
50. Производная сложной функции. Формула конечных приращений для функции многих переменных. Производная функции по направлению. Градиент функции.
51. Производные высших порядков. Теорема о смешанных производных.
52. Определение дифференциала более высокого порядка, чем первый. Условия существования и формулы для нахождения. Инвариантность формы первого и не инвариантность формы старших дифференциалов относительно замены переменных.
53. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (в терминах дифференциалов) для функции многих переменных.
54. Экстремумы функции многих переменных. Необходимые условия экстремума дифференцируемой функции.
55. Достаточные условия функции многих переменных. Критерий Сильвестра положительной и отрицательной определенности второго дифференциала функции.
56. Нахождение наибольших и наименьших значений функции в замкнутой области. Пример.
57. Условные экстремумы функций многих переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа.
58. Теоремы о неявных функциях. Примеры нахождения производных от функций заданных неявно.
59. Промежутки в евклидовых пространствах. Мера промежутка и ее свойства. Диаметр промежутка и его связь с мерой.
60. Разбиение промежутка и разбиение с отмеченными точками. Интегральные суммы. Определение кратного интеграла. Необходимое условие интегрируемости.
61. Верхние и нижние интегральные суммы Дарбу. Критерий Дарбу интегрируемости функции. Определение интеграла от функции по множеству, его корректность.
62. Свойства кратных интегралов: условие нормировки, линейность, аддитивность.
63. Свойства кратных интегралов: монотонность, интегрирование неравенств, теорема о среднем.
64. Теорема Фубини о переходе в кратном интеграле к повторным. Примеры.
65. Замена переменных в кратном интеграле. Якобианы перехода от декартовой системы координат к полярной, цилиндрической и сферической системам координат.
66. Примеры вычисления кратных интегралов с помощью замены переменных.
67. Определение кривой. Криволинейный интеграл первого рода, определение, свойства и его физический смысл.
68. Вычисление элемента длины дуги кривой при различных способах задания кривой. Примеры вычисления криволинейных интегралов первого рода.
69. Определение и свойства криволинейного интеграла второго рода.
70. Формула Грина для криволинейного интеграла второго рода по плоскому замкнутому контуру.
71. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.
72. Решение задачи о нахождении первообразной (потенциала поля) для функции трех переменных. Пример.
73. Определение поверхности в пространстве. Координатные линии поверхности. Нормаль к поверхности. Уравнение касательной плоскости и нормальной прямой в заданной точке поверхности.
74. Ориентация поверхности и замкнутого контура на поверхности, взаимная связь ориентаций поверхности и контура на ней. Односторонние и двухсторонние поверхности.
75. Скалярный и векторный элементы площади поверхности. Первая квадратичная форма поверхности и ее связь с элементом площади поверхности.
76. Поверхностный интеграл первого рода, его свойства и физический смысл. Примеры вычисления поверхностных интегралов первого рода.
77. Поверхностный интеграл второго рода, его свойства и физический смысл. Примеры вычисления поверхностных интегралов второго рода.
78. Теорема Гаусса-Остроградского о связи между поверхностным интегралом по замкнутой поверхности и интегралом по объему, ограниченному данной поверхностью. Координатное определение дивергенции векторного поля.
79. Инвариантное относительно системы координат определение дивергенции векторного поля. Физический смысл дивергенции векторного поля. Формула Гаусса-Остроградского с использованием понятия дивергенции. Физический смысл формулы Гаусса-Остроградского.
80. Теорема Стокса о связи между криволинейным интегралом по замкнутому контуру и интегралом по поверхности, натянутой на данный контур. Координатное определение ротора векторного поля.
81. Инвариантное относительно системы координат определение ротора векторного поля. Физический смысл ротора векторного поля. Формула Стокса с использованием понятия ротора. Физический смысл формулы Стокса.
82. Скалярное поле и его характеристики. Линии уровня скалярного поля. Производная поля по направлению, градиент скалярного поля. Инвариантное относительно системы координат определение градиента скалярного поля.
83. Векторное поле и его характеристики. Векторные линии векторного поля и их дифференциальное уравнение.
84. Потенциальные поля. Условия потенциальности векторного поля. Соленоидальное поле. Примеры.
85. Оператор Гамильтона. Запись градиента, дивергенции и ротора с помощью оператора Гамильтона. Примеры вычисления градиента, дивергенции и ротора с помощью оператора Гамильтона.