Сначала повторим школьное определение вектора. Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:
В данном случае началом отрезка является точка 
, концом отрезка – точка 
. Сам вектор обозначен через 
. Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор 
, и это уже совершенно другой вектор. Понятие вектора удобно отождествлять с движением физического тела: согласитесь, зайти в двери института или выйти из дверей института – это совершенно разные вещи.
Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором 
. У такого вектора конец и начало совпадают.
!!! Примечание: Здесь и далее можете считать, что векторы лежат в одной плоскости или можете считать, что они расположены в пространстве – суть излагаемого материала справедлива и для плоскости и для пространства.
Обозначения: Многие сразу обратили внимание на палочку без стрелочки в обозначении и сказали, там же вверху еще стрелку ставят! Верно, можно записать со стрелкой: 
, но допустима и запись , которую я буду использовать в дальнейшем. Почему? Видимо, такая привычка сложилась из практических соображений, слишком разнокалиберными и мохнатыми получались мои стрелки в школе и ВУЗе. В учебной литературе иногда вообще не заморачиваются клинописью, а выделяют буквы жирным шрифтом: 
, подразумевая тем самым, что это вектор.
То была стилистика, а сейчас о способах записи векторов:
1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами:
и так далее. При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.
2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами:
В частности, наш вектор можно для краткости переобозначить маленькой латинской буквой 
.
Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка 
. Длина нулевого вектора равна нулю. Логично.
Длина вектора обозначается знаком модуля: 
, 
Как находить длину вектора мы узнаем (или повторим, для кого как) чуть позже.
То были элементарные сведения о векторе, знакомые всем школьникам. В аналитической же геометрии рассматривается так называемый свободный вектор.
Если совсем просто – вектор можно отложить от любой точки:
Такие векторы мы привыкли называть равными (определение равных векторов будет дано ниже), но чисто с математической точки зрения это ОДИН И ТОТ ЖЕ ВЕКТОР или свободный вектор. Почему свободный? Потому что в ходе решения задач вы можете «пристроить» тот или иной вектор в ЛЮБУЮ, нужную вам точку плоскости или пространства. Это очень крутое свойство! Представьте вектор произвольной длины и направления – его можно «клонировать» бесконечное количество раз и в любой точке пространства, по сути, он существует ВЕЗДЕ. Итак, свободный вектор – это множество одинаковых направленных отрезков. Школьное определение вектора, данное в начале параграфа: «Вектором называется направленный отрезок…», подразумевает конкретный направленный отрезок, взятый из данного множества, который привязан к определённой точке плоскости или пространства.
Следует отметить, что с точки зрения физики понятие свободного вектора в общем случае некорректно, и точка приложения вектора имеет значение. Действительно, прямой удар одинаковой силы по носу или по лбу влёчет разные последствия.
Далее, если не оговаривается иное, речь пойдёт только о свободных векторах.