Какое из нескольких событий произошло?

Лекция 2. Понятие об имитационном моделировании

В процессе имитационного моделирования (ИМ) создается модель или устройство (имитатор), позволяющие получать информацию о сложных объектах без непосредственного контакта с ними. Естественно, имитатор или модель должны в основных чертах воспроизводить поведение реальной системы.

ИМ является эффективным методом исследования реальных систем, позволяющим получить информацию о поведении экономических, технических, биологических и социальных систем с помощью их компьютерных моделей.

С помощью ИМ, как правило, нельзя получить единственное наилучшее (оптимальное) решение, но возможно определить удовлетворяющее нас решение на базе статистической обработки получаемых результатов.

ИМ широко применяется в экономике, технике, естественных науках и социологических исследованиях. ИМ позволяет решать:

Ø сложные производственно-технические задачи (моделирование процессов функционирования предприятия, объединения или отрасли, систем связи, управления запасами в условиях риска);

Ø экономические задачи (оценка спроса на продукцию, прогнозирование цен и сегментов рынка, формирование портфеля инвестиционных проектов в условиях риска);

Ø задачи социальной сферы (анализ динамики народонаселения, влияние экологии на здоровье, прогноз группового поведения и др.);

Ø задачи военной сферы – например, отработка взаимодействия подразделений в ходе боевых действий.

В процессе имитационного моделирования используются случайные выборки, в связи с чем результаты расчетов подвержены экспериментальным ошибкам и должны подвергаться статистической проверке.

В основе многих современных имитационных моделей лежит универсальный метод статистического моделирования Монте-Карло. В процессе его реализации оценки параметров изучаемых систем получаются
с помощью генерации случайных чисел.

ИМ оказывается практически единственным методом исследования сложных процессов и систем, в которых случайные факторы взаимосвязаны, а функциональные связи между параметрами очень сложны или неизвестны.

В литературе отмечается (см. например, [3]) ряд преимуществ ИМ над аналитическими моделями. Они определяются тем, что:

1. в аналитических моделях трудно учесть влияние плохо прогнозируемых факторов (случайный спрос и цена на товары, большое число элементов системы, сложный характер их взаимодействия и т.п.);

2. нестационарное поведение сложных систем плохо описывается аналитическими моделями;

3. в процессе реализации имитационных моделей можно использовать широкий круг программного обеспечения – от обычных электронных таблиц до специализированных программ и систем поддержки принятия решений.

Можно выделитьдва основных типа имитационных моделей - непрерывные, описывающие системы, свойства которых непрерывно меняются во времени, и дискретные, характеризующиеся тем, что изменения
в системе происходят в некоторые фиксированные моменты времени.

Имитация случайных событий и величин производится посредством генерации случайных чисел, равномерно распределенных на отрезке [0,1]. Генерация любого такого числа влечет за собой конкретную реализацию процесса. Используя равномерное распределение, можно получить ответы на следующие вопросы [10]:

Произошло ли событие A?

Пусть вероятность события известна. Откладывая на отрезке [0,1] отрезок длины и генерируя случайное число , будем считать, что событие произошло, если , если же то – нет (на рисунке изображен как раз такой случай, т.к. ).

Какое из нескольких событий произошло?

Будем считать, что события несовместны и образуют полную группу. В этом случае сумма их вероятностей равна единице. Разделим отрезок [0,1] на участков длины и будем считать, что произошло то из событий, на чей участок при данной имитации попало число .

3. Какое значение приняла случайная величина ?

Если дискретна, т.е. принимает возможные значения
с вероятностями , то случай алгоритм полностью аналогичен описанному в предыдущем пункте.

Если же случайная величина непрерывна, для генерации ее значений можно перейти от ее плотности вероятности к функции распределения

сгенерировать равномерно распределенное случайное число и найти значение , которому соответствует

4. Какую совокупность значений приняли случайные величины ?

Для независимых случайных величин достаточно раз повторить процедуру, описанную в пункте 3. В случае их зависимости необходимо учитывать условный закон распределения каждой случайной величины.

При компьютерном моделировании используется алгоритм генерации псевдослучайных чисел; при “ручном” – таблицы случайных чисел.

Пример: моделирование объема спроса на ноутбуки. Менеджер небольшой фирмы, реализующей ноутбуки, желает оценить спрос на ноутбуки марки A в течение ближайших 15 дней. Отчетные данные за последние 100 дней приведены в первых двух столбцах таблицы 20.1.

Таблица 20.1

Необходимо построить модель, имитирующую спрос.

Решение. Произведем имитацию спроса на машины в автосалоне в течение последующих 15 дней, используя генератор случайных чисел (второй столбец таблицы 20.2)

Таблица 20.2

Таким образом, суммарный спрос за 10 дней составляет 39 автомобилей, средний ежедневный спрос – 39/10 = 3,9.

ИМ позволяет оценивать площади сложных фигур и – что еще более важно для практических приложений – многомерные интегралы. Точность соответствующих расчетов возрастает при увеличении числа генерируемых случайных точек.

С помощью генерации равномерно распределенных случайных чисел можно моделировать поведение систем, параметры которых описываются другими законами распределения (например, нормальным, показательным и т.д.).