УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1

Тема 1. Аналитическая геометрия на плоскости

гл. I, II; № 4, 10, 23, 28;

гл. III § 11, 12, гл. IV №59, 67, 71, 82 (2), 87, 103;

гл. V § 24-26, 30-36; № 140, 155, 166, 169, 190, 211, 224.

Разберите решения задач 1, 2, 3 из данных методических указаний.

 

ПРИМЕРЫРЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС: А (−4; 8), В (5; −4), С (10; 6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнения окружности, для которой высота СD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Решение:1. Расстояниеd между точками М₁ (х₁; y₁) и М₂ (x₂; y₂) определяется по формуле:

d = (1)

Подставив в эту формулу координаты точек Аи В, имеем:

 

АВ = = =15

2. Уравнение прямой, проходящей через точки М₁ (х₁; y₁) и М₂ (x₂; y₂), имеет вид:

= (2)

Подставив в (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:

 

= , = , = ,

 

3у – 24 = − 4х – 16, 4х + 3у – 8 = 0 (АВ).

Для нахождения углового коэффициента k_АВ прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у: у = − Отсюда k_АВ= − . Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС.

. ,

 

х+7у-52=0 (АС).

Отсюда k_АС = − .

3. Угол между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k₁ и k ₂, определяется по формуле:

tg = . (3)

Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее k₁=k_АВ= − , k ₂= k_АС=− .

tg А = = = =1,

 

А = arctg 1 = 45° 0,79 рад.

4. Так как высота СD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т.е.

k_СD=− =− = .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М₁ (х₁; y₁) в заданном угловым коэффициентом k направлении, имеет вид:

 

у – у₁=k(х – х₁).

Подставив в (4) координаты точки С и k_СD= , получим уравнение высоты СD:

у – 6 = (х – 10), 4у – 24 = 3х – 30, 3х – 4у – 6=0 (CD) (5)

Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (CD):

откуда х = 2, у = 0, то есть D (2;0).

Подставив в формулу (1) координаты точек С и D, находим:

 

CD = = = 10.

5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке Е(а; b) имеет вид:

(х – а)²+(у – b)² = R². (6)

Так как CD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:

х_Е= = =6, у_Е= = =3.

Следовательно, Е (6; 3) и R= =5. Используя формулу (6), получаем уравнение искомой окружности:

(х – 6)² + (у – 3)² = 25.

6. Множество точек треугольника АВС есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая ограничена прямой ВС и содержит точку А, а третья ограничена прямой АС и содержит точку В.

Для получения неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой, АВ и содержащую точку С, подставим в уравнение прямой АВ координаты точки С:

4·10 + 3·6 – 8 =50 > 0.

Поэтому искомое неравенство имеет вид: 4х + 3у – 8 ≥0.

Для составления неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой ВС и содержащую точку А, найдем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) координаты точек В и С:

 

 

2х – у – 14 =0 (ВС).

Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем: 2·(−4)– 8–14=−30<0. Искомое неравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой Ас и содержащую точку В: 5+7·(−4)–52=−75<0. Третье искомое неравенство х+7у–52≤0. Итак, множество точек треугольника АВС определяется системой неравенств

На рис. 1 в декартовой прямоугольной системе координат хОу изображен треугольник АВС, высота СD, окружность с центром в точке Е.

 

Задача 2. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А (3; 0) и до прямой х=12 равно числу =0,5. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение. Пусть М (х; у) – текущая (произвольная) точка искомого геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр МВ на прямую х =12 (рис. 2). Тогда В (12; у). По условию задачи

МА = МВ =

Тогда

= =

4х² – 24х + 36 + 4у² =х² – 24х +144, 3х² + 4у²=108,

Полученное уравнение представляет собой эллипс вида где а =6, b=3 .

Определим фокусы эллипса F₁ (− с; 0) и F₂ (с; 0). Для эллипса справедливо равенство b²=a² – b² =9 и с =3.

То есть, F₁ (−3; 0) и F₂ (3; 0) – фокусы эллипса (точки F₂ и А совпадают).

Эксцентриситет эллипса =

Рис. 1

 

Задача 3. Составить уравнения линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А (3; −4) равно расстоянию до прямой у=2. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

 

Рис. 2

Решение. М (х; у) – текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр МВ на прямую у=2 (рис. 3). Тогда В (х; 2). Так как МА = МВ,

 

то = или

(х – 3)² +у²+8у+16 =у² – 4у +4,

−12у – 12 =(х – 3)²,

у +1= −

 

 

Рис. 3

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке О' (3; −1). Для приведения уравнения параболы к простейшему (каноническому) виду положим х – 3= Х', у +1= У'. Тогда в системе координат Х'О'У' уравнение параболы принимает следующий вид: У'= − Х')². в системе координат Х'О'У ' строим параболу.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение прямоугольной декартовой системы координат.

2. Напишите формулу для нахождения расстояния между двумя точками.

3. Напишите формулы для определения координат точки, делящей данный отрезок в данном отношении.

4. Напишите формулы преобразования координат: а) при параллельном переносе системы координат; б) при повороте системы координат.

5. Напишите уравнения прямой: а) с угловым коэффициентом; б) проходящей через данную точку в данном направлении; в) проходящей через две данные точки; г) в «отрезках».

6. Как найти координаты точки пересечения двух прямых?

7. Напишите формулу для определения угла между двумя прямыми.

8. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых?

9. Сформулируйте определение окружности.

10. Напишите уравнение окружности с центром в любой точке плоскости хОу; с центром в начале координат.

11. Дайте определение эллипса. Напишите каноническое уравнение эллипса.

12. Что называется эксцентриситетом эллипса? Как изменяется форма эллипса с изменением эксцентриситета гиперболы.

13. Дайте определение гиперболы. Напишите каноническое уравнение гиперболы.

14. Напишите формулу для определения эксцентриситета гиперболы. Напишите уравнения для нахождения асимптот гиперболы.

15. Сформулируйте определение параболы. Напишите каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу.

 

Тема 2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве

гл. XVIII; № 372, 382, 397, 405, 418, 421;

гл. XIX § 1 – 4; № 452, 455, 457, 496.

 

Разберите решение задачи 4 данного пособия.

Задача 4. Даны координаты трех точек: А(3; 0; −5), В (6; 2; 1), С (12; −12; 3).

Требуется: 1) записать векторы и в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами и ; 3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору .

Решение. 1. Если даны точки М₁(х₁; у₁; z₁) b V₂ (х₂; у₂; z₂), то вектор через орты , , выражается следующим образом:

= (х₂ – х₁) +(у₂ – у₁) +(z₂ – z₁) = a _х + а _х + а _х . (1)

Подставляя в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

=(6–3) +(2–0) +(1+5) =3 +2 +6 .

Подобным образом =(12–3) +(−12–0) +(3+5) =9 −12 +8 .

Модуль вектора вычисляется по формуле

= . (2)

Подставляя в формулу (2) найденные раннее координаты векторов и , находим их модули:

= =7, = =17.

 

2. Косинус угла α, образованного векторами · , равен их скалярному произведению, деленному на произведение их модулей

cos α = (3)

Так как скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, равно сумме попарных произведений одноименных координат, то · =3·9+2·(−12)+6·8=51.

Применяя (3), имеем:

сos α =cos = α ≈ 64º37'.

3. Известно, что уравнение искомая плоскость проходит через точку М₀(х₀;у₀;z₀) перпендикулярно вектору n , имеет вид

А(х–х₀)+В(у–у₀)+С(z–z₀)=0. (4)

По условию задачи искомая плоскость проходит через точку С (12;−12;3) перпендикулярно вектору . Подставляя в (4) А =3, В=2, С=6, х₀=12, у₀=−12, z₀=3, получим:

3(х −12)+2(у +12)+6(z –3)=0,

3х+2у+6z−30=0 – искомое уравнение плоскости.

 

Вопросы для самопроверки

1. Какие величины называются скалярными? векторными?

2. Какие векторы называются коллинеарными?

3. Какие два вектора называются равными?

4. Как сложить два вектора? Как их вычесть?

5. Как найти координаты вектора по координатам точек его начала и конца?

6. Назовите правила сложения, вычитания векторов, заданных в координатной форме. Как умножить вектор на скаляр?

7. Дайте определение скалярного произведения двух векторов. Перечислите основные свойства скалярного произведения.

8. Как найти скалярное произведение двух векторов по их координатам?

9. Напишите формулу для определения угла между двумя векторами.

10. Напишите условия: коллинеарности двух векторов; их перпендикулярности.

11. Напишите общее уравнение плоскости.

12. Напишите уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

13. Какой вид имеет уравнение плоскости, проходящей через три данные точки?

14. напишите формулу для определения расстояния от точки до плоскости.

 

 

Тема 3. Элементы линейной алгебры

гл. XXI; № 592, 624, 628.

Разберите решение задачи 5 данного пособия.

Задача 5. Данную систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:

 

 

Решение. Обозначим через А–матрицу коэффициентов при неизвестных; Х–матрицу-столбец неизвестных Х₁, Х₂, Х_3; Н – матрицу-столбец свободных членов:

А= Х= , Н= ,

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:

А·Х=Н (1)

Если матрица А – невырожденная (ее определитель ∆ отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу А^-1, получим:

 

А^-1·А·Х=А^-1·Н.

Но А^-1·А=Е (Е – единичная матрица), а ЕХ = Х, поэтому

 

Х=А^-1·Н. (2)

Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А^-1.

Пусть имеем невырожденную матрицу

 

А= Тогда А^-1 = ^,

 

где А_ij (i =1, 2, 3; j =1, 2, 3) – алгебраическое дополнение элемента а_ij в определителе матрицы А, которое является произведением (−1)^i+j на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием i -й строки и j -го столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель ∆ и алгебраические дополнения А_ij элементов матрицы А.

∆= = 10 0 – следовательно матрицы А имеет обратную матрицу А^{- 1}.

 

А ₁₁ =(−1)^i+1. A ₁₂ =(−1)^1+2.

A ₁₃ =(−1)^1+3. A ₂₁ =(−1)^2+1.

A ₂₂ =(−1)^2+2. A ₂₃ =(−1)^2+3.

A ₃₁ =(−1)^3+1. A ₃₂ =(−1)^3+2.

A ₃₃ =(−1)^3+3.

Тогда

 

А ^-1 =

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

Х=А^-1·Н= ·

=

=

Отсюда х₁=3, х₂=0, х₃=−2.

 

 

Вопросы для самопроверки

1. Что называется определителем второго, третьего, n-го порядков?

2. Назовите основные свойства определителей.

3. Что называется минором, алгебраическим дополнением элемента определителя?

4. Напишите формулу Крамера решения системы линейных уравнений. В каких случаях их можно использовать?

5. Назовите схему решения системы линейных уравнений по методу Гаусса.

6. Что называется матрицей?

7. Как определяются основные действия над матрицами?

8. Какая матрица называется обратной по отношению к данной матрице? Как найти матрицу, обратную данной?

9. Что называется рангом матрицы? Как найти ранг матрицы?

10. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

11. Опишите матричный способ решения системы линейных уравнений.

12. Какова геометрическая интерпретация систем линейных уравнений и неравенств?

 

Тема 4. Введение в анализ

гл. VI §1 – 9; № 683, 685, 700, 701;

гл. VII § 1 – 13; № 716, 734, 736, 738, 744, 747, 782, 789;

гл. VIII; № 816, 820, 825 (2, 3).

Разберите решение задач 6, 7, данного пособия.

Задача 6. Вычислить пределы:

а) б)

 

в) г)

Решение. а) Подстановка предельного значения аргумента х=−3 приводит к неопределенному выражению вида

Для устранения этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на множитель (х+3). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (х+3) отличен от нуля при х :

= = =

= = ;

б) При выражение дает неопределенность вида − . Для ее устранения умножим и разделим это выражение на ():

 

 

=

 

в) Обозначим . Тогда и при . Применяя свойства пределов и формулу первого замечательного предела имеем:

·

 

= ·1·1= ;

г) При выражение является неопределенностью вида 1^∞. Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой при величины и применим формулу второго замечательного предела:

.

 

Тогда имеем:

 

=

 

Пусть 2 х +1= −4 у. Тогда 4 х +5=−8 у +3 и у − при . Переходя к переменной у, получим:

 

=

Задача 7. Исследоватьна непрерывность функцию у =

Решение. Данная функция является элементарной. Известно, что всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения. Данная функция определена на

Рис. 4

 

Интервалах (−∞; 1) и (1; ∞) и, следовательно, она непрерывна на этих интервалах. В точке х=1 функция имеет разрыв второго рода, поскольку в этой точке отсутствуют конечные односторонние пределы. График функции дан на рис. 4.

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Сформулируйте определение понятия функции.

2. Что называется областью определения функции? Областью изменения функции?

3. Перечислите основные элементарные функции. Назовите их основные свойства.

4. Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.

5. Что называется пределом числовой последовательности?

6. Сформулируйте определение предела функции.

7. Назовите основные свойства пределов функций.

8. Какая функция называется бесконечно малой? бесконечно большой?

9. Назовите свойства бесконечно малых функций.

10. Напишите формулы первого и второго замечательных пределов.

11. Какие логарифмы называются натуральными?

12. Дайте определение односторонних пределов функции в точке.

13. Какая функция называется непрерывной в точке? На интервале?

14. Какая точка называется точкой разрыва первого рода? второго рода?

15. Перечислите основные свойства непрерывных на отрезке функций.