Лекция 7. Частные производные и полный дифференциал функций нескольких переменных

Содержание лекции: Частные производные функции нескольких переменных. Дифференцируемость и дифференциал функции.

Линеаризация функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Производные и дифференциалы высших порядков.

1. Частные производные ФНП *)

Рассмотрим функцию и = f (P), РÎDÌR ⁿ или, что то же самое,

и = f (х ₁, х ₂,..., х_п).

Зафиксируем значения переменных х ₂,..., х_п, а переменной х ₁ дадим приращение D х ₁. Тогда функция и получит приращение , определяемое равенством

= f (х ₁+D х ₁, х ₂,..., х_п) – f (х ₁, х ₂,..., х_п).

Это приращение называют частным приращением функции и по переменной х ₁.

Определение 7.1. Частной производной функции и = f (х ₁, х ₂,..., х_п) по переменной х ₁ называется предел отношения частного приращения функции к приращению аргумента D х ₁ при D х ₁® 0 (если этот предел существует).

Обозначается частная производная по х ₁ символами

, , , , .

Таким образом, по определению

Аналогично определяются частные производные по остальным переменным х ₂,..., х_п. Из определения видно, что частная производная функции по переменной х_i – это обычная производная функции одной переменной х_i, когда остальные переменные считаются константами. Поэтому все ранее изученные правила и формулы дифференцирования могут быть использованы для отыскания производной функции нескольких переменных.

Например, для функции u = x ³ + 3 xy – z ² имеем

Таким образом, если функция нескольких переменных задана явно, то вопросы существования и отыскания ее частных производных сводятся к соответствующим вопросам относительно функции одной переменной – той, по которой необходимо определить производную.

Рассмотрим неявно заданную функцию. Пусть уравнение F(x, y) = 0 определяет неявную функцию одной переменной х. Справедлива

Теорема 7.1.

Пусть F(x ₀, y ₀) = 0 и функции F(x, y), F¢ _х (x, y), F¢ _у (x, y) непрерывны в некоторой окрестности точки (х ₀, у ₀), причем F¢ _у (x ₀, y ₀) ¹ 0. Тогда функция у, заданная неявно уравнением F(x, y) = 0, имеет в точке (x ₀, y ₀) производную, которая равна

.

Если условия теоремы выполняются в любой точке области DÌ R², то в каждой точке этой области .

Например, для функции х ³ –2 у ⁴ + ух + 1 = 0 находим

.

Пусть теперь уравнение F(x, y, z) = 0 определяет неявную функцию двух переменных. Найдем и . Так как вычисление производной по х производится при фиксированном (постоянном) у, то в этих условиях равенство F(x, y =const, z) = 0 определяет z как функцию одной переменной х и согласно теореме 7.1 получим

.

Аналогично .

Таким образом, для функции двух переменных, заданной неявно уравнением , частные производные находят по формулам: ,

Рассмотрим функцию z = f (x, y). Пусть существуют производные = f_х ¢(x, y) и = f_у ¢(x, y). Так как эти производные сами являются функциями двух переменных, то можно поставить вопрос об их частных производных. Если такие производные существуют, то их называют частными производными второго порядка от функции z = f (x, y) и обозначают

, , , .

Производные и называются смешанными производными второго порядка. Наряду с приведенными обозначениями используются также обозначения

, , , .