МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ
ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ»
Омск – 2008
Составители: Г.Н. Бояркин, д.э.н., профессор
О.Г. Шевелева
Методические указания предназначены для выполнения типового расчета по курсу «Теория систем и системный анализ». Содержат задания по основным задачам системного анализа: задачи управления запасами, задачи упорядочения, сетевому моделированию, принятию решений в конфликтных ситуациях (теория игр) и балансовым моделям. В первой части содержатся примеры выполнения задания по каждому из разделов, во второй – задания для самостоятельного выполнения.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского государственного технического университета.
Раздел I. Примеры выполнения заданий и методические указания
1. З адачи управления запасами.
В данном курсе для студентов специальности 080801 в качестве примера задач системного анализа рассматриваются простейшие задачи управления запасами: а) однопродуктовая модель простейшего типа; б) модель с равномерным пополнением запаса; в) модель управления запасами с дефицитом.
а) однопродуктовая модель простейшего типа:
Оптимальное строение модели предусматривает заказ 
ед. продукции через каждые 
ед. времени.
Оптимальное значение размера заказа (формула Вильсона)
(1.1)
- затраты на оформление заказа;
- интенсивность спроса.
Оптимальные затраты
(1.2)
- затраты на хранение в ед. времени.
Стратегия размещения заказов должна определить т. возобновления заказа.
На практике это реализуется путем непрерывного контроля уровня запаса до момента достижения им очередной т. возобновления заказа.
(1.3)
б) модели с равномерным исполнением запаса
Оптимальное значение размера заказа в этом случае равно
(1.4)
в) модели с дефицитом
Пусть в рассматриваемой модели допускается дефицит. Пусть 
- удельные потери от дефицита. Тогда можно показать (6), что оптимальное значение размера заказа для данных случаев
(1.5)
(1.6)
Нетрудно показать, что если модель с равномерным пополнением запаса допускает дефицит, то формулы (1.4), (1.5) и (1.6) преобразуются в формулы (модель «смешанного типа»)
(1.7)
(1.8)
Пример: Ежедневный спрос на некоторый товар составляет около 100 ед. Затраты на размещение каждого запаса постоянны и равны 100 руб. Ежедневные затраты на хранение ед. запаса составляют 0,02 руб. Нужно определить экономический размер партии и точку возобновления заказа при сроке выполнения заказа, равном 12 дням.
Решение:
Соответствующая оптимальная продолжительность составляет
Заказ размером 
=1000 ед. размещается, когда уровень запаса достигает 2×100=200 ед.
Усложним условия задачи. Пусть запасы пополняются равномерно с интенсивностью a= 200 ед.
Тогда
Еще раз скорректируем условие задачи. Пусть в первоначальной модели допускается дефицит. Причем удельные потери от дефицита составляют р= 10 руб. Тогда
- величина дефицита.
Задачи упорядочения.
Характеризуются следующими особенностями. Например, имеется множество различных деталей с определенными технологическими маршрутами, а также несколько единиц оборудования (фрезерный, токарный, шлифовальный станки), на которых эти детали обрабатываются, т.к. одновременно обрабатывать более одной детали невозможно, у некоторых станков может образоваться очередь, т.е. деталей, ждущих обработки. Время обработки каждой детали известно. Определить такую очередность обработки деталей на каждом станке, при котором минимизируется некоторый критерий оптимальности, например, суммарная продолжительность завершения комплекса работ. Также задача называется задачей календарного планирования или составления расписания, а выбор очередности запуска деталей в обработку – упорядочением.
В качестве примера рассмотрим упрощенный вариант этой задачи, для которой разработан удобный алгоритм.
Пусть имеется несколько изделий, каждое из которых должно быть обработано на 2-х машинах (станках). Известны время обработки и последовательность обработки каждого изделия на каждой машине. Требуется выбрать такой порядок обработки изделий, при котором суммарное время обработки будет минимальным.
Основные ограничения:
а) время перехода от одной машины к другой незначительно и им можно пренебречь;
б) каждое изделие обрабатывается в определенном технологическом порядке;
в) каждое обслуживание должно быть завершено прежде, чем начнется следующее.
Обозначим 
- время обработки j-го изделия на 1-й машине, 
- на 2-й машине.
Пример:
| t11 | t12 | t13 | t14 | t15 | t16 | |||||||||
| Время обработки 1-й машины | ||||||||||||||
| t21 | t22 | t23 | t24 | t25 | t26 | |||||||||
| Время обработки 2-й машины | ||||||||||||||
| tп1 | tп2 | tп3 | tп4 | |||||||||||
| Время простоя 2-й машины | ||||||||||||||
| Номер изделия | J | ||||||
| Время обработки на 1-й машине | t1j | ||||||
| Время обработки на 2-й машине | t2j |
Построение модели.
Пусть 
- время простоя 2-й машины между концом выполнения работы по обработке 
-го изделия на 2-й машине и началом обработки 
-го изделия на той же самой машине. Тогда суммарное время обработки изделий составит:
Так как сумма 
известна, то надлежит минимизировать 
(в нашем случае 
=12)
Построение алгоритма.
Для нахождения оптимальной последовательности порядка обслуживания “m” требований на 2-х пунктах обслуживания наибольшую известность получил «алгоритм Джонсона». Включает следующие этапы:
а) поиск наименьшего элемента:
Рассмотрим все 
и 
и среди них выберем минимальное, т.е. 
. В нашем случае это 
=2.
б) перестановка изделий:
Если выбранная величина находится в 1-й строке (относится к 1-й машине), то соответствующее изделие помещается на обслуживание в первую возможную очередь. Если – во 2-й строке (относится ко 2-й машине) – то в последнюю очередь.
в) исключение из рассматриваемого выбранного изделия:
Выбранному изделию присваивается новый номер в очереди, который в дальнейшем считается занятым. Из последующего рассмотрения оно исключается.
Далее осуществляется переход к этапу а).
После определения оптимального порядка обработки изделий на машинах графически определяется время простоя и работы 2-й машины, которое является минимальным из всех возможных.
| Номер изделия | 
| ||||||
| Время обработки на 1-й машине | 
| ||||||
| Время обработки на 2-й машине | 
| (4) | (6) | (5) | (2) | (3) | (1) |
| Номер изделия |
| ||||||
| Время обработки на 1-й машине | 
| ||||||
| Время обработки на 2-й машине | 
|
| t16=4 | t14 | t15 | t11 | t13 | t12 | ||||||||||||
| Время обработки на 1–й машине | |||||||||||||||||
| t26=7 | t24 | t25 | t21 | t23 | t22 | ||||||||||||
| Время обработки на 2–й машине | |||||||||||||||||
| Время простоя на 2–й машине | |||||||||||||||||
| tп1=4 | tп2=1 | ||||||||||||||||
|
Тmin=29+4+1=34
Сетевое моделирование.
Порядок и правила построения сетевых графиков:
1) Сеть строится слева направо, от исходного события к завершающему.
2) Длина и наклон стрелок значения не имеют. Однако все они направлены слева направо.
3) В сети не должно быть контуров (т.е. замкнутых путей).
4) Сетевой график – это плоский график, поэтому стрелки в нем не должны пересекаться.
5) Пара событий может быть соединена только одной работой (т.е. сетевой график не может быть мультиграфом). Для устранения этой ситуации вводится дополнительное событие и фиктивная работа.
: или
6) В сети не должно быть (кроме исходного) хвостовых событий, т.е. событий, в которые не входит ни одна работа.
7) В сети не должно быть (кроме завершающего) тупиковых событий, т.е. событий, из которых не выходит ни одна работа.
Нумерация (упорядочение сетевого графика) производится по методу ранжирования.
Пример:
2 – событие 1-го ранга;
3,4 – событие 2-го ранка;
5 – событие 3-го ранга.
Наиболее продолжительный полный путь в сетевом графике называется критическим.
Критическими называются также работы и события, расположенные на этом пути.
Временные параметры сетевых графиков и их нахождение.
Параметры событий:
- определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию.
(3.1)
если j имеет несколько предыдущих событий, то
(3.2)
, (3.3)
где 
- любой путь, следующий за 
-м событием, т.е. путь от -го до завершающего события цепи.
Если имеет несколько последующих путей или событий , то удобно пользоваться формулой
(3.4)
Резерв времени определяется как
(3.5)
Показывает на какой допустимый период времени можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличение срока выполнения комплекса работ.
Замечания. Критические события резервов времени не имеют.
Отсюда вывод: определив ранний срок наступления завершающего события сети, мы тем самым определяем длину критического пути, в выявляя событие с нулевыми резервами времени, определяем его топологию.
Пример: критические события
1, 2, 3, 5, 6
критический путь
1→2→3→5→6
tкр = 5 + 1 + 8 + 6 = 20
| Номера Событий | Сроки совершения событий | Резервы времени событий | № п/п | Работа (i,j) | Продолжение работы t (i,j) | Сроки начала и окончания работ | Резервы времени | |||||||||
| tp(i) | tП(i) | tpн | tpо | tПн | tПо | RП | Ri | Rс | Rн | |||||||
| (1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (2,5) (3,5) (4,6) (5,6) | ||||||||||||||||
Параметры работ
Ранний срок начала работы 
. Очевидно
(3.6)
Тогда ранний срок окончания работ 
(3.7)
Поздний срок окончания работ 
Очевидно
(3.8)
Значит поздний срок начала работ 
(3.9)
Резерв времени пути определяется как разность между длиной критического и рассматриваемого пути
(3.10)
Он показывает, на сколько в сумме могут быть увеличены продолжительность всех работ, принадлежащих этому пути.
Вывод: любая из работ пути 
на его участке, не совпадающем с критическим путем обладает резервом времени.
Среди резервов времени выделяют 4 разновидности резервов.
а) полный резерв времени RП(i,j) работы (i, j) – показывает насколько можно увеличить время выполнения данной работы при условии, что срок выполнения комплекса работ не изменяется
(3.11)
Полный резерв времени равен резерву максимальному из путей, проходящих через данную работу.
Важным свойством 
является то, что он принадлежит не только этой работе, но и всем полным путям, проходящим через нее.
б) частный резерв времени 1-го вида 
есть часть полного резерва времени, на который можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом позднего срока ее начального события
(3.12)
или 
(3.13)
Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что ее начальное и конечное событие совершаются в свои самые поздние сроки.
в) частный резерв 2-го вида 
или свободный резерв представляет часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее конечного события.
(3.14)
или 
(3.15)
Этим резервом можно располагать при выполнении данной работы в предположении, что ее начальное и конечное события совершаются в свои самые ранние сроки.
г) Независимый резерв времени Rн(i,j).
Это часть полного резерва времени, получаемая для случая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начинаются в ранние сроки.
(3.16)
или 
(3.17)
Таким образом, если частичный резерв времени 1-го вида может быть использован на увеличение продолжительности данной и последующих работ без затрат резерва времени предшествующих работ, свободный резерв времени – на увеличение продолжительности данной и предшествующих работ без нарушения резерва времени последующих работ, то независимый резерв времени может быть использован для увеличения продолжительности только данной работы.