Криволинейный интеграл первого рода




 

Пусть на дуге гладкой кривой L определена непрерывная функция z = f (x, y). Разобьем дугу произвольным образом точками , длину частичной дуги обозначим , а . На каждой дуге возьмем произвольную точку Pi (x i, h i) и вычислим значения . Составим интегральную сумму .

Определение 22.3

Если существует конечный предел при ln ®0 последовательности {s n } интегральных сумм, не зависящий ни от способа разбиения дуги , ни от выбора точек Pi (x i, h i), то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода по от функции f (х, у) и обозначается .

Таким образом, по определению

 

,

Вычисление криволинейного интеграла первого рода

Если кривая L задана уравнением y = j(x), а дуга соответствует изменению x Î [ a, b ], то разбиение на дуги соответствует разбиению [ a, b ] на части точками a < x1 < x2 <... < xn = b.

Тогда , x i Î[ xi-1, xi ]

(по теореме о среднем).

Тогда

Аналогично, если определена уравнением x = y(y), y Î[ c, d ],то

.

Если же дугу определяют параметрические уравнения t Î[ a,b ], то

.

Таким образом, криволинейный интеграл I рода тоже сводится к ОИ.

Криволинейный интеграл I рода называют еще криволинейным интегралом по длине дуги.

С физической точки зрения определяет массу неоднородного криволинейного стержня с плотностью r = f (x, y); то есть .

Свойства криволинейного интеграла первого рода:

1. (геометрическая интерпретация криволинейного интеграла I рода)

2. - свойство линейности

3. Если , то = + (свойство аддитивности)

4. Если f(P) £ g(P), " то £

5. Если m £ f(P) £ M, P Î L, то | L | £ £ M ×| L |

6. Существует точка Q Î L: = f(Q) ×| L | (Теорема о среднем.)

 

Рассмотрим пример вычисления криволинейных интегралов I рода.

Пример 1.

Найти массу дуги параболы y 2 = 2 x + 4 между точками пересечения с осями координат, если плотность масс в любой точке пропорциональна ординате точки дуги.

Решение:

r (x, y) = ky, y ³ 0, x = , y Î [0, 2]. Тогда

(ед. массы)

 

3. Криволинейный интеграл II рода

 

Рассмотрим пространство R 2. Пусть в области D Ì R 2 определены две непрерывные функции P (x,y), Q (x,y), тогда в любой точке М(x, y) Î D определена векторная функция `F(x, y) = (P (x, y); Q (x, y)), которую в векторной форме можно записать в виде: .

 


Пусть функции P (x, y) и Q (x, y) определены в точках гладкой дуги кривой L Ì D. Разобьем дугу на части точками М12,...М n. На каждой дуге возьмем произвольную точку и вычислим значение .

Пусть [ a, b ]и[ c, d ] – проекции на OX и OY соответственно, т.е. x Î[ a, b ], y Î [ c, d ], когда М(х, у) Î . Каждую частичную дугу спроектируем на оси координат, получим разбиение отрезков [ a, b ]и[ c, d ] на n частей, длины частичных интервалов обозначим соответственно D хk и D yk. Составим интегральную сумму вида:

.

Эта сумма представляет собой сумму скалярных произведений векторов на векторы , где , т.е.

Обозначим

Определение 5.1

Если существует , не зависящий ни от способа разбиения дуги на части, ни от выбора точки , то этот предел называется криволинейным интегралом II рода и обозначается или .

Итак, криволинейный интеграл II рода

,

Заметим, что условие →0 равносильно условиям

В отличие от криволинейного интеграла I рода, который еще называют интегралом по длине дуги, криволинейный интеграл II рода называют криволинейным интегралом по координатам.

Свойства:

1. - меняет знак при изменении ориентации кривой (направления движения по кривой).

2. Свойство линейности, аддитивности (АВ = АС + СВ) аналогичны свойствам криволинейного интеграла I рода. В частности,

3. Связь между криволинейными интегралами I и II рода выражает формула: ,

где (cosa,cosb) – направляющие косинусы касательной к дуге АВ в любой ее точке.

Способы вычисления криволинейного интеграла II рода:

1) Если АВ: y = j(x), x Î [ a, b ], то dy = j¢(x) dx и

2) Если АВ: x = y(y), y Î [ c, d ],то dx = y¢(y) dy и

3) Если АВ: , t Î [a,b], dx = x ¢(t) dt, dy = y ¢(t) dt, то

 

Аналогично можно дать определение криволинейного интеграла II рода по пространственной кривой

Пример 2.

Вычислить , где АВ – отрезок прямой между точками В(1, 1, 1), А(0, 0, 2).

Решение: Найдем уравнение АВ:

.

Тогда , значит,

.

Физический смысл криволинейного интеграла II рода:

определяет работу силы при перемещении материальной точки вдоль кривой L из положения А в положение В. Действительно, пусть материальная точка M(x, y) движется вдоль некоторой плоской (можно аналогично рассмотреть и пространственную) кривой L от точки A к точке B. Пусть вдоль кривой действует сила , которая меняется по величине и направлению при перемещении точки M, т.е. сила является функцией точки: . Найдём работу A силы при перемещении точки из положения A в положение B.

Как известно, в случае, когда сила постоянна, а путь прямолинейный, работа равна (*), т.е. скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения . Воспользуемся этим фактом и для решения поставленной задачи.

1) Разобьём дугу AB в направлении от точки A к точке B на n частей точками A=M 0,M1, M2,…, Mn=B и обозначим через вектор . Тогда

(рис.34). Пусть λ – наибольшая из длин этих векторов, т.е.

.

2) На каждой элементарной дуге выберем произвольную точку k(xk,yk) и предположим, что в пределах каждой элементарной дуги сила постоянна и равна . Тогда в силу (*), скалярное произведение можно рассматривать как приближённое значение работы Ak силы вдоль дуги .

Пусть

Тогда

3) Искомая работа A силы на всей дуге AB будет приближённо равна

и это приближённое равенство тем точнее, чем меньше λ.

4) Следовательно, истинное значение работы A силы при перемещении точки M по дуге AB получим, переходя к пределу при λ→0: = .

 

 

Рассмотрим замкнутую кривую C, будем называть ее замкнутымконтуром. Ориентацию на этой кривой выберем следующим образом: если при движении точки М вдоль кривой ограниченная этим контуром область G остается слева, то направление движения (ориентацию на кривой) будем считать положительным. В противном случае – отрицательным.

       
 
   
 

 


Криволинейный интеграл II рода по замкнутому контуру будем обозначать

Справедлива



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-10-25 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: