Краткие сведения из теории

КИНЕМАТИКА

Контрольные задания
для выполнения расчетных
и курсовых работ

 

Министерство образования и науки Российской Федерации

Балтийский государственный технический университет «Военмех»

КИНЕМАТИКА

Контрольные задания
для выполнения расчетных
и курсовых работ

Под редакцией Г.Т. Алдошина

Санкт- Петербург

 

Составители: Т.Н. Рябинина, канд. техн. наук, доц. (задания К1
и К2); Н.Е. Рупасова, канд. техн. наук, доц. (задания К3 и К4)

 

 

УДК 531.1(075:8)

К41

К41

 

УДК 531.1(075:8)

 

 

Р е ц е н з е н т канд. техн. наук, проф. В.Ф. Федоров

 

 

Утверждено

редакционно-издательским

советом университета

 

© БГТУ, 2011

© Составители, 2011

 

 

Общие требования к оформлению
расчетной работы

 

 

1. Работа должна содержать сформулированное (в соответствии с номером варианта) задание с указанием данных величин и искомых параметров.

2. Чертежи и графики к задачам должны быть четкими и ясными. Там, где это требуется, необходимо соблюдать масштаб, указывая его.

3. Решение должно быть полным и обоснованным.

4. Числовые расчеты проводятся с точностью до трех значащих цифр.

5. Образец титульного листа расчетной (курсовой) работы приведен в приложении.

6. Расчетная работа должна быть оформлена в соответствии с указанными требованиями. Небрежно оформленные работы к защите не принимаются.

7. Срок приема расчетной работы определен учебным графиком, разработанным деканатом по согласованию с кафедрой.

8. При защите расчетной работы студент обязан ответить на любой вопрос по теории или методам решения задач, относящийся к теме работы.

 

 

З А Д А Н И Е К1

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

 

Цель – определить положение точки относительно выб-ранной системы отсчета в заданный момент времени, а также векторы скорости и ускорения точки и радиус кривизны траектории в тот же момент времени:

1. Определить и построить на чертеже траекторию точки, показав на ней ее положении в начальный момент времени (t = 0) и в момент времени (t = t ₁).

2. Для момента времени t = t ₁определить и построить на чертеже:

- скорость и ускорение точки;

- касательное и нормальное ускорения.

3. Установить характер движения точки (ускоренное, замед-ленное).

4. Определить радиус кривизны траектории точки в момент времени t = t ₁.

 

Краткие сведения из теории

Определение положения точки

 

1. При векторном способе задания (рис. 1.1, а) - ее радиусом-вектором как функцией времени: - кинематическое уравнение движения точки;

2. При координатном способе задания (рис. 1.1, б) – ее коор-динатами как функциями времени:

 

(1.1)

 

- кинематические уравнения движения точки в декартовых координатах;

3. При траекторном способе задания (рис. 1.1, в) – ее траекторной координатой (дугой) s, отсчитываемой от выбранного начала отсчета траекторных координат и зависящей от времени:

 

(1.2)

- кинематическое уравнение движения точки в траекторной форме.

Для получения уравнения траектории, по которой движется точка, следует исключить параметр времени t из кинематических уравнений движения точки в координатной форме (1.1). При этом следует установить область изменения координат x, y, z с траектор-ной координатой s:

 

,

 

где s ₀ - начальное значение траекторной координаты s.

 

Определение скорости точки

1. При координатном способе задания движения точки – урав-нение (1.1). Разложение вектора скорости по осям декартовой системы координат имеет вид

,

где - орты осей декартовых координат.

Компоненты вектора скорости представляют собой произ-водные соответствующих координат точки:

.

Абсолютная величина скорости .

Направление вектора скорости определяется ее направ-ляющими косинусами:

.

2. При траекторном способе задания движения точки. Известно кинематическое уравнение движения точки в траекторной форме: s = f (t).

Скорость точки в данный момент времени определяется по формуле

или ,

где - орт касательной к траектории в данной точке, направленной в сторону увеличения траекторных координат,
- алгебраическая величина проекции скорости на касатель-
ную:

.

Скорость точки всегда направлена по касательной в данной точке траектории в сторону движения точки. Если > 0, то точка движется в сторону возрастания траекторной координаты s, (рис. 1.2, а), а при < 0 - в сторону убывания значений s, (рис. 1.2, б).

 

 

Рис. 1.2

 

Определение ускорения точки

1. При координатном способе задания движения - уравнение (1.1). Разложение вектора ускорения точки по осям декартовой системы координат имеет вид

.

Компоненты вектора ускорения представляют собой произ-водные соответствующих компонент вектора скорости или вторые производные соответствующих координат точки:

.

Абсолютная величина ускорения - .

Направление вектора ускорения определяется направляющими косинусами:

.

2. При траекторном способе задания движения точки - уравнение (1.2). Ускорение точки в данный момент времени определяется как векторная сумма касательного и нормального ускорений:

.

Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Величина нормального ускорения определяется формулой

, (1.3)

где r - радиус кривизны траектории в данной точке.

Нормальное ускорение всегда направлено в сторону вогнутости траектории по нормали к траектории, к центру кривизны (рис. 1.3). Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине. Алгебраическая величина касательного ускорения равна:

.

При ускоренном движении касательное ускорение направлено в сторону скорости (рис. 1.3, а); при замедленном движении - в сторону, противоположную направлению скорости (рис. 1.3, б). Абсолютная величина ускорения равна:

.

 

 

Определение радиуса кривизны траектории точки

 

В том случае, когда движение задано координатным способом, радиус кривизны траектории определяется следующим образом:

- по формулам координатного способа задания движения (1.1) определяются скорость и полное ускорение точки:

;

- по формулам траекторного способа задания движения (1.2) определяются нормальное и касательное ускорения:

,

и далее - радиус кривизны траектории по формуле (1.3):

. (1.4)