МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет)»
(СПбГТИ(ТУ))
Факультет информационных технологий и управления
Кафедра систем автоматизированного проектирования и управления
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К практической работе №3
По дисциплине
«Планирование исследований и анализ экспериментальных данных»
Тема: "Факторный анализ"
Санкт-Петербург
СОДЕРЖАНИЕ
Введение. 3
Методика решения. 3
Примеры выполнения. 5
Заключение. 9
Библиографический список.. 10
Введение
Факторный анализ впервые возник в психометрике и в настоящее время широко используется не только в психологи, но и в нейрофизиологии, социологии, политологии, в экономике, статистике и других науках. Основные идеи факторного анализа заложены английским психологом и антропологом, основателем евгеники Гальтоном, внесшим также большой вклад в исследование индивидуальных различий. В разработку факторного анализа внесли вклад также Спирмен, Кеттел, Пирсон, Айзенк. Математический аппарат факторного анализа разрабатывался Хотеллингом, Харманом, Кайзером, Тёрстоуном, Такером. Во второй половине XX века факторный анализ включён во все основные пакеты статистической обработки данных, в т.ч. в R, SAS, SPSS, Statistica.
Факторный анализ, как и анализ главных компонент, предназначен для преобразования p -мерной случайной векторной переменной в случайные переменные, называемые факторами, число которых существенно меньше, чем p. При этом под фактором понимается гипотетическая, непосредственно не наблюдаемая, латентная, скрытая переменная, в определенной мере связанная с наблюдаемыми переменными.
Факторный анализ связан с МГК (метод главных компонент) в том отношении, что при определении факторов также решается задача выбора общих (главных) факторов. Однако в факторном анализе подвергается разложению по собственным векторам не ковариационная (корреляционная) матрица, а редуцированная ковариационная (корреляционная) матрица. Факторы выбираются так, чтобы они с наименьшими ошибками воспроизводили корреляции между переменными X 1,…, Xp. Полученная факторная модель включает также и остаток, связанный с ошибкой воспроизведения. Главные компоненты выбираются только из условия воспроизведения дисперсии, при этом ошибка воспроизведения в модель не включается [1 - 4].
Методика решения
В общем случае можно выделить следующие основные этапы факторного анализа.
1. Постановка цели анализа.
2. Отбор факторов, определяющих исследуемые результативные показатели.
3. Классификация и систематизация факторов для обеспечения комплексного и системного подхода к исследованию их влияния на исследуемый процесс.
4. Определение формы зависимости между факторами и результативным показателем.
5. Моделирование взаимосвязей между результативным и факторными показателями.
6. Расчет влияния факторов и оценка роли каждого из них в изменении величины результативного показателя.
7. Работа с факторной моделью, т.е. практическое ее использование для при исследовании процессов.
Важным методологическим вопросом в факторном анализе является определение формы зависимости между факторами и результативными показателями: функциональная она или стохастическая, прямая или обратная, прямолинейная или криволинейная. Здесь используется теоретический и практический опыт, а также способы сравнения параллельных и динамичных рядов, аналитических группировок исходной информации, графический и др.
Рассмотрим основные понятия факторного анализа на простом примере. Пусть выявлена в наблюдаемых признаках X 1,…, Xp одна латентная переменная f, называемая фактором. Гипотеза о наличии этого фактора основана на предположении существования общего в наблюдаемых признаках. Целью факторного анализа является объяснение корреляции между наблюдаемыми признаками с использованием этого фактора.
Пусть X – четырехмерная случайная векторная переменная, элементами которой являются данные измерений n объектов
Корреляционная матрица R матрицы наблюдений X равна
Наблюдается тесная связь между переменными X 1 и X 2 с коэффициентом корреляции r 12 = 0,72, переменная X 3 связана слабее с первыми двумя, а X 4 – не зависит от всех остальных переменных. Требуется найти фактор, который позволит воспроизвести наблюдаемую корреляционную матрицу. Редуцированную корреляционную матрицу R + можно воспроизвести с использованием вектора факторной нагрузки a1 по уравнению R + = a 1 a 1′ [1].
Вектор a 1=[0,90 0,80 0,50 0,05]´ представляет факторные нагрузки единственного фактора f. Сущность факторного анализа состоит в том, что факторные нагрузки равны корреляциям фактора с наблюдаемыми переменными r (xi, f) = ai 1, i = 1,…, p. В результате умножения a 1 a 1′ получаем матрицу R +, отличающуюся от R только диагональными элементами. Диагональные элементы матрицы R + называются общностями. Общность i -го элемента обозначим hii 2. Величина lii 2 =1 - hii 2 называется характерностью. Диагональные элементы исходной и редуцированной корреляционных матриц связаны соотношением
rii=rii+ +lii2
В примере значения компонент вектора a 1 точно воспроизводят все коэффициенты корреляции r (xi, f) для четырех переменных. Из примера видно, что для определения фактора необходимо, используя значения общностей, построить матрицу R +. Оценка общностей составляет первую проблему факторного анализа – проблему общности. Определение числа факторов является второй проблемой – проблемой факторов [1].
Условия применения факторного анализа
Практическое выполнение факторного анализа начинается с проверки его условий. В обязательные условия факторного анализа входят:
· все признаки должны быть количественными;
· число наблюдений должно быть на порядок больше числа переменных;
· выборка должна быть однородна;
· исходные переменные должны быть распределены симметрично;
· факторный анализ осуществляется по коррелирующим переменным.
Примеры выполнения