ВЗАИМНЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА.

1. Ток смещения.

2. Вихревое электрическое поле.

3. Уравнения Максвелла в интегральной форме.

4. Электромагнитное поле. Уравнения классической физики.

Ток смещения

Пусть конденсатор емкостью C включен в сеть переменного тока. В диэлектрике между пластинами А и В заряды не могут перемещаться, в результате линии тока, подходящего к пластинам обрываются, т.е. ток проводимости оказывается разомкнутым.

Пусть в начальный момент обкладка А имеет положительный заряд, распределенный по ее поверхности с плотностью . Обкладка В

имеет отрицательный заряд с поверхностной плотностью . При разрядке конденсатора ток течет от А к В по внешней цепи и плотность этого тока будет равна: . ()

.

 

Рис.35

Будем считать, что частота переменного тока не велика, что даст нам возможность оперировать мгновенными значениями для вычисления мгновенных значений параметров поля между пластинами.

Численное значение вектора электростатической индукции в пространстве между пластинами, как известно из электростатики, равно: .

Продифференцировав по времени, получим:

или . ()

В случае неоднородного поля надо перейти к частным производным, что мы в дальнейшем и сделаем.

В конденсаторе направление вектора от пластины А к В, а вектора от В к А, так как поле в конденсаторе при его разрядке убывает. Следовательно, Учитывая и получим:

Вывод: внутри пластины А вектор плотности тока направлен справа налево; между пластинами в этом же направлении идет только вектор .

Т.е., линии тока проводимости замыкаются линиями вектора .

Максвелл предложил назвать вектор плотностью тока смещения и тогда .

Однако не является плотностью тока в прямом смысле. Это не ток – это переменное электрическое поле.

1-ая гипотеза Максвелла.

Ток смещения (переменное электрическое поле) создает в том же объеме пространства

переменное магнитное поле, такое же, как магнитное поле эквивалентного тока проводимости.

Полный ток, по Максвеллу, есть сумма токов проводимости и смещения и он всегда является замкнутым:

Подставляя полученное выражение в теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля, получим:

Уравнение представляет собой математическую запись первой гипотезы Максвелла и означает, что любое изменение электрического поля приводит к возникновению в той же области пространства изменяющегося магнитного поля.

Вихревое электрическое поле.

Теперь вернемся к явлению электромагнитной индукции. Для этого поместим жесткий проводящий контур в магнитное поле. Любое изменение магнитного потока через этот контур приведет к возникновению в нем эдс индукции. По определению эдс – это работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда по замкнутому контуру.

,

где - напряженность поля сторонних сил.

Какова же природа сторонних сил в данном случае? Эти силы не могут иметь механическую или химическую природу; Это не сила Лоренца, так как работа силы Лоренца всегда равна нулю.

2-ая гипотеза Максвелла:

Всякое изменение магнитного поля вызывает возникновение в той же области пространства изменяющегося электрического поля.

Обозначим напряженность поля сторонних сил, вызвавших появление эдс индукции, как

Тогда можем записать, что .

С другой стороны, согласно закону Фарадея эдс электромагнитной индукции можно записать следующим образом: .

Поскольку проводящий контур жесткий, то площадь его не меняется, и, следовательно, меняется только магнитный поток, поэтому можно записать:

.

Переход к частной производной обусловлен тем, что в общем случае индукция магнитного поля может зависеть не только от времени, но и от координат.

Приравняв выражения , , получим:

В левой части интегрирование ведется по контуру , а в правой части – по поверхности , которая опирается на контур .

Преобразование магнитного поля в электрическое происходит независимо от наличия контура, который при данном процессе выполняет роль индикатора.

Возникающее электрическое поле существенно отличается от электростатического. Его силовые линии замкнуты и охватывают силовые линии изменяющегося магнитного поля. Такое электрическое поле называют вихревым.

Итак, мы получили, что существуют две причины возникновения электрического поля – это наличие электрических зарядов и изменение магнитного поля.

,

где -напряженность результирующего электрического поля,

напряженность поля, образованного электрическими зарядами,

напряженность вихревого электрического поля, возникающего в результате изменения магнитного поля.

Первый интеграл в правой части равен нулю, согласно теореме о циркуляции вектора напряженности электростатического поля ,

второй интеграл равен .

Окончательно получим: .

Физический смысл этого уравнения заключается в том, что оно показывает, что любое изменение магнитного поля вызывает в окружающем пространстве возникновение изменяющегося электрического поля, которое является вихревым.

Уравнения Максвелла в интегральной форме.

Теперь мы можем записать систему основных уравнений, на которых основана классическая электродинамика и которая называется системой уравнений Максвелла.

Первые два уравнения являются математической записью гипотез Максвелла. 1. .

Первое означает, что любое изменение электрического поля приводит к возникновению в той же области пространства изменяющегося магнитного поля.

2. .

Это уравнение показывает, что любое изменение магнитного поля вызывает в окружающем пространстве возникновение изменяющегося электрического поля, которое является вихревым.

Следующие уравнение – это теорема Гаусса для вектора электростатической индукции:

3. , где объемная плотность зарядов.

Физический смысл этого уравнения заключается в том, что источником электростатического поля являются электрические заряды.

И четвертое уравнение – это теорема Гаусса для вектора магнитной индукции: 4.

И оно означает, что магнитных зарядов в природе не существует.

Дополнительными считаются два материальных уравнения и закон Ома в дифференциальной форме:

; ; , где - удельная проводимость.

Дифференциальная форма уравнений Максвелла имеет вид:

1.

2.

3.

4.

Электромагнитное поле. Уравнения классической физики.

Согласно теории Максвелла переменное магнитное поле всегда неразрывно связано с порождаемым им переменным электрическим полем, которое, в свою очередь, приводит к возникновению переменного магнитного поля и т.д. Следовательно, в природе существует только электромагнитное поле. Согласно уточненному принципу относительности, рассмотрение отдельно электрического поля и отдельно магнитного поля имеет лишь относительный смысл.

Проделаем следующий мысленный эксперимент.

Пусть один наблюдатель с комплектом приборов, способных фиксировать наличие электрического и магнитного полей, находится в неподвижной точке А. Мимо него верхом на заряженной частице двигается второй наблюдатель с таким же набором приборов.

Первый наблюдатель фиксирует наличие электромагнитного поля, которое создает движущаяся мимо заряженная частица, второй же наблюдатель фиксирует только электрическое поле, так как относительно него заряд неподвижен.

Система уравнений Максвелла позволила создать единую теорию электромагнитного поля и завершить построение классической физики.

Основными уравнениями классической физики можно считать:

1. - закон сохранения импульса.

2. - обобщенная сила Лоренца.

3.

4.

5.

6.

7. - закон всемирного тяготения.

Последнее уравнение не входит в теорию Максвелла и описывает гравитационное взаимодействие.

ЛЕКЦИЯ 6

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ.

1. Волновое уравнение электромагнитной волны.

2. Экспериментальные исследования свойств электромагнитных волн. 3. Энергия электромагнитной волны.

Волновое уравнение электромагнитной волны.

Максвелл пришел к выводу, что конечным итогом связи изменяющихся магнитных и электрических полей будет их распространение в пространстве.

Процесс распространения электромагнитного поля в пространстве называется электромагнитной волной.

Электромагнитная волна является поперечной, так как вектора и взаимно перпендикулярно и связаны с направлением скорости правилом правого винта.

Если вращать винт от к , то поступательное движение винта совпадает с направлением вектора скорости .

Рис.36

Пусть электромагнитная волна, фронт которой представляет собой плоскость, которая распространяется вдоль оси ОХ в вакууме. Поскольку среда –вакуум, следовательно ток проводимости отсутствует: .

Воспользовавшись уравнениями Максвелла в дифференциальной форме:

,

Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси ОХ, с учетом того, что в этом случае = а , и а , эти уравнения будут иметь вид:

и . (*)

Знак (-) в левой части второго уравнения появляется при раскрытии оператора rot.

Продифференцировав 1-ое уравнение по x, а второе по t, получим:

Умножим 2-ое уравнение в полученной системе на , тогда

Подставив полученное выражение в первое уравнение, получим:

,

где - скорость распространения электромагнитной волны.

- дифференциальное уравнение плоской эл\маг. волны.

По аналогии можно получить дифференциальное уравнение для магнитной составляющей электромагнитной волны:

Решением этих уравнений являются функции вида:

где частота волны; волновое число; и - начальные фазы колебаний в точке

Подставив в (*) функции, описывающие и получим:

Что бы полученные равенства выполнялись необходимо, что бы и

Перемножив эти два равенства, получим, что .

Можно сделать вывод, что колебания векторов напряженности электрического и магнитного полей происходят в одинаковой фазе и амплитуды этих векторов связаны соотношением:

Если электромагнитная волна не является плоской, волновое уравнение будет иметь вид:

Решением этих уравнений являются функции вида:

где - радиус-вектор, соединяющий начало системы координат с выбранной точкой на фронте волны, волновой вектор, модуль которого равен:

Экспериментальные исследования свойств электромагнитных волн.

Экспериментальная проверка выводов Максвелла была проведена Герцем в 1888 году. Для получения электромагнитных волн использовал созданную им установку, представляющую собой шаровой разрядник, подключённый к индуктору. РИС. 37

Когда напряжение между шарами разрядника достигало определенного значения, между ними проскакивала искра, которая на короткое время закорачивала разрядник

Рис.37

Между шарами короткое время протекал меняющейся электрический ток, который создавал изменяющееся магнитное поле. Согласно Максвеллу он должен был создавать изменяющееся электрическое поле и т.д.

В данном случае установку можно рассматривать как открытый колебательный контур, в котором возникают свободные затухающие колебания, они то и должны распространяться в пространстве.

В результате серии экспериментов Герц установил:

1. Изменяющиеся электрическое и магнитное поля распространяются в пространстве в виде электромагнитной волны, причём и изменяются синфазно.

2. От направленной антенны электромагнитная волна распространяется прямолинейно.

3. Электромагнитные волны подчиняются всем законам геометрической оптики.

4. Электромагнитная волна проявляет все свойства, характерные для волнового процесса.

Для неё характерны интерференция, дифракция, поляризация. Электромагнитная волна является поперечной волной.

5. Электромагнитная волна переносит энергию.

6. Между мгновенными значениями векторов напряженности электрического и магнитного полей справедливо соотношение: .

7. Электромагнитная волна взаимодействует с веществом. Степень поглощения её веществом зависит от природы вещества.

Энергия электромагнитной волны.

Возможность обнаружения электромагнитных волн по проскакиванию искры, свечению лампочки и многое другое указывает на то, что волна переносит энергию. Очевидно, что эта энергия складывается из энергий двух полей: электрического и магнитного. Плотность энергии электромагнитной волны запишем в виде суммы плотностей энергий электрического и магнитного полей: .

В непроводящей среде , то можно записать, что

.

Поскольку , то или .

Первый множитель – есть величина обратная скорости распространения электромагнитных волн, т.е. .

Введем новую физическую величину S- плотность потока энергии электромагнитной волны, равную , подставив в него , получим, что .

Учитывая, что E и H взаимно перпендикулярны, т.е. угла между ними равен единице, можем записать: или = .

Вектор, характеризующий процесс переноса энергии электромагнитной волной, называется вектором Пойтинга.

ВОЛНОВАЯ ОПТИКА

ЛЕКЦИЯ 7

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА

1. Явление интерференции, когерентность. Опыт Юнга.

2. Интерференция в тонких пленках.

Явление интерференции, когерентность. Опыт Юнга.

Как известно, энергия может переноситься двумя способами: потоком частиц или волной. Свет же не обнаруживает очевидным способом ни корпускулярной, ни волновой природы. До 30-х годов 19 века экспериментальные данные свидетельствовали то в пользу одной теории, то в пользу другой.

Основателем и родоначальником корпускулярной теории света был Ньютон. Его теория, опираясь на экспериментальную базу геометрической оптики, объяснила дисперсию света (разложение белого света в спектр при прохождении через прозрачное вещество); хотя и с большой натяжкой дифракцию световых волн (огибание волной микроскопических препятствий). Ньютон считал свет потоком частиц, имеющих разную массу. Наиболее тяжелые частицы, по его мнению, соответствовали красным лучам, наиболее легкие - фиолетовым.

Основы волновой теории были разработаны современником Ньютона голландским физиком Гюйгенсом. Однако экспериментальных подтверждений этой теории до начала 19-го века практически не было. В 1801 году англичанин Томас Юнг на простом и изящном эксперименте получил первые убедительные доказательства волновой природы света, получив интерференционную картину на световых лучах.

Источником света у Юнга служило солнце, поток лучей которого можно считать параллельным.

Рис.38

Луч света проходил через узкую щель S в непрозрачном экране I, и попадал на экран II с двумя щелями S и , расположенными близко друг к другу. Если свет поток частиц, то на нем можно ожидать появление двух ярких полос, являющихся изображением щелей S и . На третьем экране Юнг наблюдал серию ярких линий, находящихся на одинаковом расстоянии друг от друга.

Это доказывало, что световой луч, пройдя через щели S и , делится на два луча, которые накладываются друг на друга в области третьего экрана.

Явление интерференции механических волн было известно очень давно. Оно заключается в увеличении и уменьшении амплитуды колебаний механических волн с одинаковой частотой в различных точках пространства при их наложении друг на друга. Примером интерференции механических волн служит стоячая волна.

Рассмотрим две световые волны с одинаковой частотой ., которые в пространстве накладываются друг на друга.

Эти волны описываются следующими уравнениями:

Это приводит к возбуждению результирующего колебания с амплитудой равной: ,

где - разность начальных фаз складываемых колебаний.

Для получения интерференции света необходимо, чтобы накладываемые волны были когерентными.

Когерентными называются волны, имеющие одинаковую частоту (длину волны) и постоянную во времени разность фаз.

Если же разность фаз постоянно меняется, принимая с равной вероятностью любые значения, то среднее по времени значение равно нулю.

Следовательно: .

Учитывая, что – интенсивность волны пропорциональна , получим, что результирующая интенсивность в случае некогерентных волн равна: .

В случае когерентных волн получим: .

В тех точках пространства, где >0, I будет превышать сумму . В точках, где <0 результирующая интенсивность будет меньше чем .

Таким образом, при наложении когерентных волн происходит перераспределение светового потока в пространстве, в результате чего в одних точках пространства образуются максимумы интенсивности, в других минимумы. Это явление и называется интерференцией света.

Однако в природе не существует двух естественных когерентных источников света. Это обусловлено тем, что излучение светящегося тела складывается из волн, испускаемых многими атомами. Каждый атом испускает цуг волны длительностью с и протяженностью 3м. Фаза каждого цуга никак не связана с фазой предыдущего и последующего цугов.

Когерентные световые волны можно получить, разделив волну, излученную одним источником, на две части. Это можно сделать при помощи отражения или преломления светового луча (зеркала и бипризма Френеля, зеркало Ллойда) или пропустив основной луч через микроскопические отверстия, близко расположенные друг к другу, как это сделал Юнг. Рис 39.

Томас Юнг наблюдал интерференцию от двух источников, прокалывая на малом расстоянии (d ≈ 1мм) два маленьких отверстия в непрозрачном экране. Отверстия освещались светом от солнца, прошедшим через малое отверстие в другом непрозрачном экране. Интерференционная картина наблюдалась на экране, удаленном на расстоянии L ≈ 1м от двух источников. Так, впервые в истории, Т. Юнг определил длины световых волн.

Рис 40

Рис.41

Пусть волна, прошедшая через щель , приходит в точку A на экране фазой , а волна, прошедшая щель , подходит к той же точке фазой , где k-целое число, то амплитуды волн будут складываться и на экране возникнет максимум. Если же волны придут в противофазе, т.е. , то амплитуды волн будут вычитаться и на экране будет минимум.

Оптической разностью хода лучей называется разность их оптических длин пути, которые равна произведению геометрических длин пути на коэффициент преломления среды.

Учитывая связь между разностью фаз и оптическими длинами пути, получим, что если в разности хода укладывается четное число полуволн, то волны придут в точку А в одной фазе и возникнет максимум: , где k=0,1,2….

Минимум возникает, если в разности хода укладывается нечетное число полуволн: ,

где k- номер интерференционной полосы или порядок спектра.

Расстояние между соседними максимумами называют расстоянием между интерференционными полосами, а расстояние между соседними минимумами – шириной интерференционный полосы.

Найдем - расстояние между соседними светлыми интерференционными полосами в опыте Юнга.

Из чертежа на рис.41 следует, что ,

с другой стороны, так как светлая полоса это максимум, то .

По построению .

Надо учитывать, что угол должен быть очень малым , который равен: .

Окончательно получим, что расстояние между соседними полосами равно: .

Интерференция в тонких пленках

Интерференция порождает многочисленные явления, наблюдаемые нами в повседневной жизни. Это радужные переливы мыльных пузырей, масляных пленок на воде или на металлических стружках. В этих и многих других случаях интерференционная картина возникает в результате усиливающей интерференции света, отраженного от двух поверхностей прозрачной тонкой пленки или пластинки.

А) Линии равного наклона.

Рассмотрим интерференцию света, отраженного от поверхностей плоско-параллельной пластинки.

Рис.42

Пусть на плоско-параллельную пластинку толщиной d под углом i падает параллельный пучок когерентных лучей. (рис.42). Луч 1, попав в точку А на верхней грани пластинки, частично отразится от нее и частично, преломившись под углом , уйдет в тело пластинки. Достигнув нижней грани в точке B, он вновь частично отразится и, вернувшись к верхней грани, выйдет из пластинки в точке С под тем же углом i.

Луч 2, будучи параллельным лучу 1, падает на пластинку в точке С, и отразившись накладывается на луч1. В силу когерентности лучей на экране возникает интерференционная картина (экраном может служить и сетчатка глаза).

Разность оптических длин пути лучей можно записать: ,где n- показатель преломления среды,

- АВС; .

Из чертежа видно, что ,

.

.

Используя закон преломления света (закон Снелля) получим: , получим:

.

Основываясь на условиях прохождения электромагнитного поля из одной среды в другую, можно показать, что при вектор напряженности электрического поля не меняет своего направления при отражении от границы раздела двух сред и, следовательно, падающая и отраженная волна будут иметь одинаковую фазу. При в отраженной волне направление вектора изменится на противоположное. Это означает, что фаза волны изменится на , т.е. оптическая разность хода изменится на .

Учитывая, что на границе раздела воздух-пластина луч 2 потеряет полволны, оптическая разность хода лучей 1 и 2 будет равна: .

Максимум интенсивности будет наблюдаться в том случае, если в этой разности хода будет укладываться четное число полуволн, т.е. .

максимум в отраженном свете.

Ослабляющая интерференция, т.е. минимум, будет наблюдаться, если в оптической разности хода лучей будет укладываться нечетное число полуволн: .

Тогда ,

минимум в отраженном свете.

Интерферировать могут и лучи, прошедшие сквозь пластинку. В этом случае условия минимума и максимума поменяются местами, и интерференционная картина будет менее яркая, так как часть энергии волны будет поглощена в теле пластины.

максимум в проходящем свете

минимум в проходящем свете.

Если осветить плоско-параллельную пластинку белым светом, то условие максимума будет выполняться только для одной длины волны. Меняя угол наклона падающих лучей можно изменять окраску поверхности пластины.

Б) Линии равной толщины (интерференция от клина).

Если толщина пластинки меняется, то ход лучей будет несколько иной, но условия возникновения интерференции останутся такими же. Теперь будут интерферировать лучи, отраженные от точек поверхностей соответствующих одной и той же толщине. При этом толщина клина должна быть очень малой. Это необходимо для сохранения когерентности интерферирующих лучей. Этот вид интерференции был изучен еще Ньютоном (кольца Ньютона).

Рис.43

Схема установки для получения колец Ньютона представляет собой плоско-выпуклую собирающую линзу с большим радиусом кривизны, которая выпуклой стороной прижата к плоскопараллельной пластине. Линза должна иметь большой радиус кривизны R, что бы воздушный клин между выпуклой поверхностью линзы и верхней гранью пластинки имел очень малый угол, до минуты.

Пусть на плоскую поверхность линзы падает нормально параллельный пучок света (i=0). Луч 1 проходит в тело линзы и часть его отражается от внутренней выпуклой поверхности в точке А (луч ). Оставшаяся часть луча, практически не преломляясь, выходит из линзы и отразившись от плоскопараллельной пластинки в точке В, попадает снова в линзу, из которой выходит под тем же углом i=0 (луч ).

Определим, чему равен радиус светлого кольца под номером k в отраженном свете.

Поскольку , условия наблюдения максимума можно записать: .

Из чертежа следует, что .

Так как , получим , т.е. .

Поставим полученное соотношение в условие максимума:

.

Так как , светлое кольцо в отраженном свете будет иметь радиус равный:

Соответственно, радиус темного кольца будет равен:

 

 

ЛЕКЦИЯ 8

ДИФРАКЦИЯ СВЕТА.

1. Основной принцип волновой оптики. Метод зон Френеля.

2. Дифракция на одной щели.

3. Дифракционная решетка.

Основной принцип волновой оптики. Метод зон Френеля.

Дифракцией света называется совокупность физических явлений, наблюдаемых при распространении световых волн в среде с резкими неоднородностями.

В частности дифракция приводит к огибанию световым лучом препятствий и проникновение его в область геометрической тени.

Если огибание звуковыми волнами препятствий, явление обычное, то для наблюдения дифракции световых волн необходимы специальные условия. Это связано с тем, что масштабы дифракции сильно зависят от соотношения размеров препятствий и длины волны.

А) Основной принцип волновой оптики

Природа и основные закономерности явления дифракции могут быть установлены с помощью двух взаимодополняющих принципов, один из которых был сформулирован современником Ньютона голландцем Христианом Гюйгенсом.

Каждая точка фронта волны является источником вторичных волн, распространяющихся с характерной для данной среды скоростью.

Однако принцип Г