Цель работы:изучение методов исследования теплопроводности иопределение теплофизических характеристик твердых веществ.
Задачи работы:
1. Экспериментальное и численное исследование нестационарной теплопроводности простых тел.
2. Построение зависимостей изменения температуры от времени с использованием программы сбора данных.
3. Экспериментальное определение коэффициентов теплопровод-ности и температуропроводности материалов.
Основные сведения
Процессы теплопроводности, в которых поле температур внутри тел меняется не только в пространстве, но и по времени, называются нестационарными. Нестационарность таких процессов, прежде всего, связана с нагревом и охлаждением тел.
Любой процесс с нагрева и охлаждения можно разделить на 3 стадии. Первая охватывает начало процесса и характеризуется постепенным распространением температурных возмущений, захватывающих все новые и новые участки тела. Скорость изменения температуры в отдельных точках тела может различной и сильно зависит от начального распределения температур в теле и удаленности этих точек от источника нагрева или охлаждения. Поэтому первая стадия процесса называется неупорядочным режимом.
С течением времени влияние начальных неравномерностей сглаживается, и относительная скорость изменения температуры во всех точках тела становится постоянной. Наступает вторая стадия – режим упорядоченного процесса, который называют регулярным.
Затем после долгого, относительно начальной стадии, промежутка устанавливается третий режим – стационарный режим с постоянным распределением температуры в теле, не зависящим от времени.
Решения простейших задач нестационарной теплопроводности могут быть сведены к таблицам или номограммам. Однако даже в этих случаях вычисления рядов, которыми представляется точное аналитическое решение, вызывает значительные трудности, не говоря уже о телах сложной формы, изменяющихся по времени условий внешнего теплообмена и т.п. Поэтому при изучении переходных теплообменных процессов большее применение находят методы прямого численного интегрирования дифференциальных уравнений. В нашем случае речь идет о численном интегрировании дифференциального уравнения теплопроводности Фурье-Кирхгофа, имеющего вид для одномерной задачи вид
¶ Т = а × ¶2 Т + qv,
¶ t ¶ х 2
где qv – интенсивность внутренних источников или стоков тепла,
а – коэффициент температуропроводности, который определяет скорость распространения температурных возмущений, является функцией теплоинерционных свойств веществ и зависит от их теплоемкости – Ср, плотности – r и коэффициента теплопроводности – λ.
| а = | l | ||
| С р × r . | (1) | ||
Рассмотрим один из методов численного интегрирования на примере прогрева металлического стержня длиной 50 мм с диаметром поперечного сечением 20 мм с граничными условиями первого рода, когда на концах пластины заданы постоянные температуры Т1 и Т2. Начальные условия задаются в виде однородного распределения
температур Т(х) = Т2. При этом конвективные потери тепла через боковую поверхность стержня интерпретируются как внутренние стоки тепла, так что
qv = a (Тj-Т1) ×Р/S,
где Р и S – периметр и площадь поперечного сечения пластины соответственно. Таким образом, задавая дополнительно к геометрическим, начальным и граничным условиям физические условия - плотность, теплопроводность и теплоемкость стержня, мы получаем полную математическую постановку задачи нестационарной теплопроводности при одностороннем нагреве стержня.
При численном интегрировании стержень условно разбивается на N отдельных ячеек, для каждой из которых составляется и многократно решается разностный аналог исходного дифференциального уравнения
| D T = a ×(T j -1+ T j +1-2 T j) | D t | - | g × D t | . | |
| D х 2 | |||||
| C p × r |
Метод позволяет рассчитать поля температур и тепловых потоков внутри пластины в любой момент времени, текущие значения безразмерного времени и суммарное количество тепла, передаваемого вдоль стержня теплопроводностью.
Процесс нестационарной теплопроводности демонстрируется на установке в режимах разогрева и охлаждения (выход на установившейся режим).
Для стационарного режима с распределение температуры вдоль стержня по оси Х можно описать уравнением:
| d 2 T | = | a | × | P | (T - T | ), | (2) | |
| dx 2 | l | S | ||||||
где T, T0– температура стержня и окружающей среды, °С
α – коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2·K), λ – теплопроводность материала, Вт/(м·K), P – периметр сечения стержня, м
S – площадь поперечного сечения, м2
Если в уравнении 2 сделать следующую замену
a 2= alSP,
то решением уравнения 2 является:
T - T 0= Ae ax + Be - ax.
Предположим, что при x=0 T=T1, а сам стержень бесконечно длины, то проинтегрировав решение получим
| T - T =(T - T) e - ax, | ||||||
| откуда | ||||||
| æ | - T 0 | ö | ||||
| a = | ln ç | T 1 | ÷ | |||
| x | ||||||
| è T - T 0 | ø |
Используя соотношения из [4], тепловой поток будет равен
q = l ×(T 1- T 0)× a × S
| Следовательно | |||||||||||
| æ | - T 0 | ö | |||||||||
| l ×(T 1- T 0 | )× S ×lnç | T 1 | ÷ | ||||||||
| q = | è T - T 0 | ø | , | ||||||||
| x | |||||||||||
| а, теплопроводность в свою очередь | |||||||||||
| l = | q × x | ||||||||||
| æ | - T 0 | ö | |||||||||
| (T 1 | - T 0 | )× S ×lnç | T 1 | ÷ | |||||||
| è T - T 0 | ø |
где x – расстояние между термопарами, м
q – количество теплоты отдаваемое стержню от нагревателя, Вт T1 – температура нагреваемого конца, °С
T0 – температура окружающей среды, °С
T – температура стержня на расстоянии х, °С
S – площадь поперечного сечения стержня, м2
Таким образом, учитывая что мощность нагревателя и количество теплоты каждому стержню отдается одинаковое, то взяв за эталонный образец материал с известной теплопроводностью можно вычислить количество теплоты отдаваемое эталонному стержню, а затем определить теплопроводность неизвестных образцов.
Данной работе за эталонный образец принят медный образец.
| Таблица 1. Характеристики медного образца марки М1 | ||
| Характеристика | Значение | Примечание |
| Плотность, кг/м3 | При 20 °С | |
| Теплоемкость, Дж/(кг·°С) | При 20 °С | |
| Теплопроводность, | При 20 °С | |
| Вт/(м·°С) |