Непрерывность элементарных функций

Лекция 3. Непрерывность функции

 

Содержание лекции: Непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их классификация. Непрерывность элементарных функций.

Свойства функций, непрерывных в точке и на отрезке.

Асимптоты графика функции.

1. непрерывность функции в точке.

С понятием предела связано другое важное понятие математического анализа – понятие непрерывности функции.

Когда мы давали определение предела функции в точке х ₀, то отмечали, что х ₀ – предельная точка области определения функции – может и не принадлежать этой области. Кроме того, когда говорили, что х стремится к х ₀, не требовали, чтобы х = х ₀, хотя при вычислении предела прежде всего вычисляли значение функции в предельной точке. Особый интерес представляет именно случай, когда х ₀ÎD(f), х принимает значение х ₀ и .

Определение 3.1. Пусть х ₀ – точка из области определения функции. Функция у = f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если

.

Если это условие не выполняется, то функция имеет разрыв в точке х ₀

Согласно теореме 2.1(критерию существования предела), существует тогда и только тогда, когда существуют односторонние пределы f (x ₀+0) и f (x ₀–0) и эти пределы равны между собой. Тогда критерий непрерывности функции в заданной точке может быть сформулирован так.

Теорема 3.1.(Критерий непрерывности)

Функция f (x) непрерывна в точке х ₀ тогда и только тогда, когда функция определена в этой точке, существуют конечные односторонние пределы f (x ₀+0) и f (x ₀–0) и выполняется равенство

f (x ₀+0) = f (x ₀–0) = f (x ₀).

Отсюда следует алгоритм исследования непрерывности функции в заданной точке:

1) проверить существование f (x ₀);

2) проверить существование конечных односторонних пределов f (x ₀+0) и f (x ₀–0);

3) проверить равенство f (x ₀+0) = f (x ₀–0);

4) проверить равенство f (x ₀+0) = f (x ₀–0) = f (x ₀).

Если все условия выполнены, то функция в точке х ₀ непрерывна.

Если хотя бы одно условие нарушено, то функция в точке х ₀ терпит разрыв.

Определение 3.2.

Точка х ₀ называется точкой разрыва первого рода (разрыва с конечным скачком), если существуют конечные односторонние пределы f (x ₀+0) и f (x ₀–0), но f (x ₀+0) ¹ f (x ₀–0).

Точка х ₀ называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует (например, равен ¥).

Точка х ₀ называется точкой устранимого разрыва, если существуют конечные пределы f (x ₀+0) и f (x ₀–0) и

f (x ₀+0) = f (x ₀–0) ¹ f (x ₀).

Из сформулированного выше алгоритма и определения 3.2 следует, что если не выполнено первое условие алгоритма (функция в точке х ₀ не определена), то можно только сделать вывод, что в этой точке функция терпит разрыв. Характер же разрыва определяется при проверке условий 2 – 4 алгоритма.

если не выполнено условие 2, то разрыв – второго рода (рис 8 а, б, в).

 

Если не выполнено условие 3, а условие 2 выполнено, то разрыв – первого рода, при этом условие 1 может быть выполнено (рис.9, а, в), а может быть и не выполнено (рис.9, б). В случае разрыва первого рода число

w = | f (x ₀+0) – f (x ₀–0)|

называется скачком функции в точке х ₀.

		Рис.9

 

Если выполнены условия 2 и 3, но нарушено условие 4 или 1, то функция имеет устранимый разрыв (рис.10)

 

 

Дадим еще одно определение непрерывности функции в точке. Для этого введем следующую терминологию. Если при своем изменении переменная х от значения х ₀ перешла к значению х ₁, то говорят, что х получила приращение

D х = х ₁ – х _0.

При этом функция у = f (x) также получит приращение

D у = f (x ₁)– f (x ₀) = f (x ₀+D х) – f (x ₀),

где х ₁ = х ₀+D х, а f (x ₀+D х) = f (x ₀) + D у – новое, приращенное, значение функции.

Определение 3. 3. Функция у = f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если х ₀Î D(f) и малому приращению функции соответствует малое приращение аргумента, т.е.

.

Можно доказать, что определения 3.1 и 3.3 эквивалентны. Действительно, если, то " e > 0 $ d > 0 такое, что " х, | x – x ₀| < d Þ | f (x) – f (x ₀) | < e. Но так как х – х ₀ = D х, а f (x)– f (x ₀) = D у, то получаем " e > 0 $ d > 0 такое, что " х, |D х | < d Þ | D у | < e. Это значит, что .

Наоборот, если , то " e > 0 $ d > 0 такое, что " х, |D х | < d Þ | D у | < e, откуда, учитывая D х = х – х ₀ и D у = f (x)– f (x ₀), получим " e > 0 $ d > 0 такое, что " х, | x – x ₀| < d Þ | f (x) – f (x ₀) | < e. А это значит, что . ЧТД.

Определение 3.4. Функция, непрерывная в каждой точке отрезка [ a; b ], называется непрерывной на этом отрезке.

Множество точек, в которых данная функция непрерывна, называют областью непрерывности этой функции.

Непрерывность элементарных функций

 

Сформулируем основные свойства непрерывных в точке функций в виде теорем.

Теорема 3.2.

Все основные элементарные функции непрерывны в своей области определения.

Доказательство: Рассмотрим, например, линейную функцию у = ах + b. Область определения этой функции (–¥, +¥). Возьмем произвольную точку х = х ₀ из области определения, придадим переменной х приращение D х и рассмотрим соответствующее приращение D у функции

D у = (а (х ₀ + D х) + b) – (ах + b)) = а D х.

Тогда , что, согласно определению 3.3, и означает непрерывность линейной функции в точке х ₀, т.е. в произвольной точке области определения.

Аналогично, для функции у = sin x, x Î R. получаем для любого х:

,

что также означает непрерывность функции у = sin x в произвольной точке х области определения.

Для остальных элементарных функций доказательство аналогично.

 

Теорема 3.3

Если функции f (x) и g (x) определены в области D и непрерывны в точке х ₀ÎD, то в этой точке также непрерывны функции f (x) .g (x), f (x) ± g (x), , если g (x ₀) ¹ 0.

Доказательство: Эти утверждения следуют непосредственно из определения непрерывной в точке функции и свойств пределов (теорема 2.5).

Например, если функции f (x) и g (x) непрерывны в точке х ₀, то и . Тогда, по теореме 2.5,

,

что и означает непрерывность частного в точке х ₀.

Непрерывность суммы, разности и частного доказать самостоятельно.

Теорема 3.4.

Пусть функция j(х) определена на множестве D, а функция f (у) определена на множестве Е(j). Если j(х) непрерывна в точке х ₀ÎD, а f (у) непрерывна в точке у ₀ = j(х ₀), то сложная функция f (j(x)) непрерывна в точке х ₀. (без доказательства)

Учитывая определение элементарной функции, из теорем 3.2, 3.3 и 3.4. получаем

Следствие.

Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Таким образом, областью непрерывности всякой элементарной функции является ее область определения.

Из теоремы 3.4 следует еще одно важное свойство – возможность перехода к пределу под знаком функции:

Например,

.