(1.92)
2. Максимальная сила трения скольжения не зависти от площади соприкосновения трущихся поверхностей.
3. Максимальная сила трения скольжения пропорциональна нормальному давлению (нормальной реакции), т. е.
(1.93)
где безразмерный коэффициент f называют коэффициентом трения скольжения; он не зависит от нормального давления.
4. Коэффициент трения скольжения зависит от материала и физического состояния трущихся поверхностей, т. е. от величины и характера шероховатости, влажности, температуры и других условий. Коэффициент трения скольжения в зависимости от различных условий устанавливается экспериментально.
В приближенных технических расчетах обычно считают, что коэффициент трения скольжения не зависит от скорости.
В отличие от сухого трения, трение при наличии смазывающего слоя между поверхностями определяется распределением относительной скорости скольжения в этом слое. В этом случае трение происходит не между поверхностями тел, а между слоями смазывающего вещества.
Угол и конус трения
Многие задачи на равновесие тела на шероховатой поверхности, т. е. при наличии силы трения, удобно решать геометрически. Для этой цели введем понятие угла и конуса трения. Пусть твердое тело под действием активных сил находится на шероховатой поверхности в предельном состоянии равновесия, т. е. в таком состоянии, когда достигает своего наибольшего
Рис.1.35 значения при данном значении нормальной реакции (рис. 1.35). В этом случае полная реакция шероховатой поверхности 
отклонена от нормали общей касательной плоскости трущихся поверхностей на наибольший угол.
Этот наибольший угол 
между полной реакцией, построенной на наибольшей силе трения при данной нормальной реакции, и направлением нормальной реакции называют углом трения. Угол трения зависит от коэффициента трения.
Как следует из рис. 1.35,
(1.94)
Но по третьему закону Кулона
(1.95 )
следовательно,
(1.96)
т. е. тангенс угла трения равен коэффициенту трения.
Конусом трения называют конус, описанный полной реакцией, построенной на максимальной силе трения, вокруг направления нормальной реакции.
Если коэффициент трения во всех направлениях одинаков, то конус трения круговой. Если же коэффициент трения в различных направлениях не одинаков, то конус трения не круговой, например, в случае, когда свойства соприкасающихся поверхностей различны (вследствие определенного направления волокон или в зависимости от направления обработки поверхности тел).
1.7.2. Трение качения
Если рассматриваемое тело имеет форму катка и под действием приложенных активных сил может катиться по поверхности другого тела, то из-за деформации поверхностей этих тел в месте соприкосновения могут возникнуть силы реакции, препятствующие не только скольжению, но и качению. Примерами таких катков являются различные колеса, как, например, у электровозов, вагонов, автомашин, шарики и ролики в шариковых и роликовых подшипниках и т.п.
Пусть цилиндрический каток находится на горизонтальной плоскости под действием активных сил. Соприкосновение катка с плоскостью из-за деформации фактически происходит не вдоль одной образующей, как в случае абсолютно твердых тел, а по некоторой площадке. Если активные силы приложены симметрично относительно среднего сечения катка, т. е. вызывают одинаковые деформации вдоль всей его образующей, то можно изучать только одно среднее сечение катка. Этот случай рассмотрен ниже.
Активные силы, действующие на катки в виде колес (рис. 1.36), кроме силы тяжести 
обычно состоят из силы 
, приложенной к центру колеса параллельно общей касательной в точке А, и пары сил с моментом L, стремящейся катить колесо, называемое в этом случае ведомо-ведущим. Если 
, а 
, колесо называют ведомым, и если 
, а 
, то ведущим. Ведомо-ведущими являются колеса локомотива, идущего вторым в составе поезда.
Если активные силы, действующие на колесо, привести в точке соприкосновения катка с плоскостью, у которой нет деформации, то в общем случае получим силу и пару сил, стремящиеся заставить каток скользить и катиться. Следует различать чистое качение, когда точка соприкосновения катка не скользит по неподвижной плоскости, и качение со скольжением, когда наряду с вращением катка есть и скольжение, т. е. точка катка движется по плоскости. При чистом скольжении, наоборот, каток движется по плоскости, не имея вращения.
Соприкосновение среднего сечения колеса с неподвижной плоскостью из-за деформации колеса и плоскости происходит по некоторой линии ВД. По этой линии на колесо действуют распределенные силы реакции (рис. 1.37). Если привести распределенные силы к точке А, то в этой точке получим главный вектор этих распределенных сил с составляющими 
(нормальная реакция) и 
(сила трения) скольжения, а также пару сил с моментом М (рис. 1.38).
| Рис. 1.36 Рис. 1.37 Рис. 1.38 |
Приведем активные силы 
в общем случае к точке А. В этой точке получим главный вектор этих сил 
и пару сил, момент которой равен главному моменту L (рис. 1.38).
При равновесии катка, т. е. когда каток не катится и не скользит по плоскости, активные силы уравновешиваются силами реакции связи и, следовательно,
(1.97)
Изменим активные силы, приложенные к катку так, чтобы увеличивался момент L пары активных сил, стремящихся катить каток. Пока каток находится в равновесии, увеличивается и равный ему по числовой величине, но противоположный по направлению момент М пары сил, препятствующий качению катка и возникающий от действия на каток неподвижной плоскости. Наибольшее значение М достигается в момент начала качения катка по плоскости.
Установлены следующие приближенные законы для наибольшего момента пары сил, препятствующей качению.
1. Наибольший момент пары сил, препятствующий качению, в довольно широких пределах не зависит от радиуса катка.
2. Предельное значение момента 
пропорционально нормальному давлению, а следовательно, и равной ему нормальной реакции :
(1.98 )
Коэффициент пропорциональности 
называют коэффициентом трения качения при покое или коэффициентом трения второго порядка. Он имеет размерность длины.
3. Коэффициент трения качения зависит от материала катка и плоскости, и физического состояния их поверхностей. Коэффициент трения при качении в первом приближении можно считать не зависящим от угловой скорости качения катка. Для случая качения вагонного колеса по стальному рельсу коэффициент трения качения
.
Законы трения качения, как и законы трения скольжения, справедливы для не очень больших нормальных давлений и не слишком легко деформирующихся материалов катка и плоскости.
Эти законы позволяют не рассматривать деформации катка и плоскости, считая их абсолютно твердыми телами, касающимися в одной точке. В этой точке соприкосновения кроме нормальной реакции и силы трения надо приложить еще и пару сил, препятствующую качению.
Для того чтобы каток не скользил, необходимо выполнение условия
(1.99)
Для того чтобы каток не катился, должно выполняться условие
(1.100)
Решение задач на равновесие тел при наличии сил трения обычно вызывает затруднения. Это связано с тем, что сила трения является величиной неопределенной, для которой известно ее предельное значение 
.
Тема 1.8. Центр системы параллельных сил и
центр тяжести тел
При расчете и проектировании различных конструкций и сооружений приходится определять их геометрические характеристики, в том числе координаты центра тяжести сечений
1.8.1. Частные случаи приведения систем параллельных сил к простейшим системам
Пусть к твердому телу приложена система параллельных оси z сил (рис. 1.39). За центр приведения этих сил выберем начало отсчета прямоугольной системы координат.
Определим главный вектор 
и главный момент 
системы сил:
(1.101)
Главный момент системы сил относительно начала координат расположен в плоскости xOy и, следовательно, 
.
Таким образом, пространственная система параллельных сил не приводится к динамическому винту и может быть приведена либо к паре сил, либо к равнодействующей или находиться в равновесии.
Если система сил находится в равновесии, то должны выполняться условия:
(1.102)
Для равновесия пространственной системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на ось, параллельную силам, равнялась нулю и чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил относительно каждой из двух координатных осей, не параллельных силам, также равнялась нулю.
Рис.1.39
1.8.2. Центр системы параллельных сил
Для систем параллельных сил, приводящих к равнодействующей, введем понятие центра параллельных сил. Для этого предположим, что на твердое тело действует система параллельных сил 
, приводящаяся к равнодействующей, силы которой приложены в точках 
(рис. 1.40). При введении понятия центра параллельных сил считаем Рис.1.40
силы приложенными в точках твердого тела. При переносе сил вдоль линии действия положения параллельных сил изменяется.
Определим линию действия равнодействующей 
для заданного направления этих сил. Затем через точки приложения параллельных сил проведем взаимно параллельные оси, перпендикулярные силам. Повернем параллельные силы вокруг этих осей на общий угол в одном и том же направлении (рис. 1.40). Получим новую систему параллельных сил 
. Равнодействующая этой системы параллельных сил равна по модулю равнодействующей силе 
, так как при повороте числовые величины параллельных сил не изменялись.
Линии действия двух равнодействующих сил и пересекутся в точке С, которая и называется центром параллельных сил.
Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил независимо от направления в пространстве, называется центром параллельных сил.
Получим формулу для определения радиус-вектора центра параллельных сил, если известны параллельные силы и радиус-вектор точек их приложения. Для этого выберем единичный вектор 
, параллельный силам. Тогда каждая из параллельных сил равна
где 
– алгебраическое значение силы. Оно положительно, если сила 
направлена в одну сторону с единичным вектором , и отрицательно, если направление силы противоположно направлению единичного вектора.
Для равнодействующей системы параллельных сил соответственно имеем
(1.103)
Так как система параллельных сил, по предположению, приводится к равнодействующей, то к ней можно применить теорему Вариньона относительно точки О (рис. 1.42):
Для векторных моментов сил относительно точки имеем
где 
– радиус-вектор центра параллельных сил, проведенный из точки О; 
– радиус-вектор точки приложения силы , проведенный из той же точки (рис. 1.41).
Если подставить эти значения векторных моментов сил в (1.24), то после переноса всех слагаемых в левую часть равенства и вынесения за скобку общего множителя получим
Так как центр параллельных сил, а следовательно, и его радиус-вектор
не зависят от направления параллельных Рис.1.41 не зависят от направления параллельных сил, характеризуемого единичным вектором , то условие (1.106) должно выполняться при любом направлении этого вектора. Это возможно только при обращении в нуль векторной величины, стоящей в скобках, т. е.
По формуле (1.107) определяют радиус-вектор центра параллельных сил, если заданы эти силы и их точки приложения.
Так как алгебраические значения параллельных сил входят и в числитель и в знаменатель (1.107), то не зависит от того, какое из двух направлений параллельных сил считается положительным.
В проекциях на оси координат из (1.107) получаем:
По формулам (1.108) вычисляют координаты центра параллельных сил 
если известны алгебраические значения параллельных сил и координаты точек приложения этих сил 
.
1.8.3. Определение центра тяжести тела
На все тела, расположенные в области притяжения Земли, действует сила этого притяжения. Если тело разбить на отдельные элементарные частицы объемов, то на каждую малую частицу будет действовать сила земного притяжения.
Рассмотрим тело, находящееся непосредственно у поверхности Земли. Предположим, что размеры этого тела настолько малы по сравнению с радиусом Земли, что силы земного притяжения, действующие на элементарные частицы тела, можно считать параллельными между собой.
Центром тяжести тела называют точку, являющуюся центром параллельных сил тяжести, приложенных к отдельным элементарным частицам тела. Если тело является абсолютно твердым, то его центр тяжести есть неизменная точка относительно тела.
Центр тяжести представляет собой геометрическую точку. Во многих случаях центр тяжести тела может находиться в пространстве, вне тела, например центр тяжести обруча –
Рис.1.42
цилиндрического тела, ограниченного поверхностями радиусов 
и 
. Центр тяжести может находиться и в самом теле, совпадая с одной из его точек.
Рассмотрим тело, имеющее объем 
. Разобьем это тело на элементарные частицы и обозначим вес каждой из них 
. Будем иметь систему параллельных сил тяжести с центром параллельных сил С. Этот центр параллельных сил и является центром тяжести тела (рис. 1.42). Линия действия силы веса проходит через центр тяжести.
Как известно, положение центра параллельных сил можно определить по формуле
где суммирование происходит по всем элементарным частицам тела. Здесь – радиус-вектор центра тяжести; – радиус-вектор
i -й частицы в теле. Знаменатель представляет собой вес тела
.
Сила тяжести частицы тела равна произведению массы частицы 
на ускорение g, т. е. 
g.
Если частица имеет объем 
, то
где 
– объемная плотность.
Если рассматриваемое тело является однородным, то плотность одинакова во всех точках; ее можно сократить в формуле (1.109), подставив
Формулы, определяющие положение центра тяжести для объема, в пределе выражаются объемным интегралом:
где – объем тела; – радиус-вектор центра тяжести.
Для определения центра тяжести поверхности применяют следующую формулу:
где 
– площадь всей поверхности.
Для определения центра тяжести линии справедлива формула
где – длина линии.
1.8.4. Методы нахождения центров тяжести
1. Центры тяжести симметричных однородных тел. Пользуясь свойствами линейных, поверхностных и объемных интегралов, легко установить следующие положения:
· если однородное твердое тело имеет плоскость геометрической симметрии, то центр тяжести этого тела находится в этой плоскости симметрии;
· если однородное твердое тело имеет ось геометрической симметрии, то центр тяжести находится на этой оси;
· если однородное твердое тело имеет центр геометрической симметрии, то центр тяжести совпадет с этим центром симметрии.
2. Метод разбиения тела на части. Положение центра тяжести можно определить, если разбить его на такие конечные части, центры тяжести которых известны. Предположим, что имеются три такие части. Центры тяжести отдельных частей обозначим 
(рис. 1.43).
Вес всего тела разделится на три отдельные силы. Положение центра тяжести всего тела можно определить по формулам
где
Рис.1.43 Рис.1.44
Аналогичные формулы можно получить для координат 
центра тяжести. Таким путем можно определить и положение центров тяжестей поверхностей и линий, разбивающихся на конечные части.
3. Центры тяжести тел с полостями. Предположим, что твердое тело имеет пустые полости, в которых нет массы. Пусть, например, пустая полость (рис. 1.44) имеет объем 
; координаты центра ее тяжести 
(если эту полость заполнить веществом) и 
радиус-вектор ее центра тяжести. Центр тяжести тела, фактически заполненного материей (без ), обозначим C, а объем этого тела – . Вообразим теперь, что пустая полость заполнена. Рассмотрим сплошное тело (без пустой полости), объем которого 
:
центр тяжести этого тела обозначим 
. Используя метод разбиения на части, можно выразить радиус-вектор центра тяжести всего объема в таком виде как
отсюда
Таким образом, определен радиус-вектор центра тяжести тела с пустой полостью.
Для координат центра тяжести соответственно имеем:
1.8.5. Центры тяжести простейших тел
1. Центр тяжести площади треугольника и дуги окружности
Разобьем треугольник на отдельные полоски малой ширины, параллельные одной из сторон треугольника AC. Каждую полоску (рис. 1.45) можно рассматривать как прямоугольную, так как площади треугольных остатков на ее краях представляют собой бесконечно малые второго порядка сравнительно с площадью всей полоски. Центр тяжести каждой полоски лежит на ее середине.
Таким образом, вес треугольника распределяется как бы вдоль соответствующей медианы треугольника, проходящей через середины всех полосок. Следовательно, центр тяжести треугольника лежит на медиане ВД.
Разобьем теперь треугольник на полоски параллельно стороне ВС. Центр тяжести лежит на медиане АЕ. Точка пересечения медиан, как известно, отстоит от середины каждого основания треугольника на расстоянии 
соответствующей медианы или на расстоянии 
от основания, где 
– высота треугольника от соответствующего основания.
Рис.1.45 Рис.1.46
Установим положения центра тяжести однородной дуги окружности, имеющей центральный угол 
. Центр тяжести С находится на оси симметрии, которую принимаем за ось Ox; требуется определить только 
(рис. 1.46) по формуле
Введя полярные координаты R и 
, имеем:
(1.116)
Тогда
откуда
Центр тяжести дуги полуокружности получается при 
2. Центр тяжести площади кругового сектора и объема конуса
Разобьем круговой сектор на элементарные одинаковые секторы. Вследствие малости каждого сектора можно считать его основание (элементарную дугу окружности) прямолинейным. Поэтому центр тяжести каждого сектора лежит на расстоянии от основания или на 
, т.е. на 
от вершины О. Таким образом, вес всего сектора равномерно распределится по дуге окружности радиусом 
с тем же центральным углом . Центр тяжести дуги находим по вышеприведенной формуле, которая для этого случая имеет вид
Определим центр тяжести объема конуса, имеющего ось симметрии (рис. 1.47). Начало координат помещено в вершине конуса. Ось Oz, на которой располагается центр тяжести, направляем внутрь конуса. Тогда
Здесь – площадь основания конуса; – его высота; 
, где 
площадь сечения конуса с координатой z. Рис.1.47
Следовательно,
Раздел 2. КИНЕМАТИКА
Слово «кинематика» происходит от греческого слова «кинема», что значит движение. Всякое движение происходит в пространстве и во времени, т.е. пространство и время представляют собой формы существования материи.