«Теория вероятностей и математическая статистика»
Часть I
(Для студентов специальностей 7.080404, 7.080407, 7.091302)
Донецк, 2010
Пясецкая Т.Е.
Индивидуальные задания по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика». Донецк, ДонНУ, 2010 г.
Настоящее пособие предназначено для организации самостоятельной работы студентов, изучающих теорию вероятностей и математическую статистику. Оно содержит тексты 16 вариантов индивидуального задания. Предлагаются решения задач одного из вариантов, приведен список рекомендуемой литературы.
Утверждено к печати Ученым Советом физического факультета Донецкого Национального Университета.
Первое индивидуальное задание охватывает следующие вопросы:
1. Классическое определение вероятности, которое связано со стохастическими экспериментами с конечным числом состояний. В этом случае все элементарные события равновозможны.
2. Геометрическое определение вероятности, которое применяется в том случае, когда пространство элементарных случайных событий, связанное с данным экспериментом, представляет собой область в евклидовом пространстве Rn.
3. Теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий. Понятия зависимых и независимых событий через условные вероятности.
4. Формула полной вероятности, которую применяют в случае, когда нужно вычислить вероятность сложного случайного события. Эти события определяются при помощи полной группы событий (гипотез).
Формулы Байеса, с помощью которых можно получить переоценку вероятностей гипотез (апостериорные вероятности гипотез).
5. Схема повторных испытаний. Формула Бернулли. Предельные теоремы Муавра – Лапласа и Пуассона.
Вариант 0
1. Общество состоит из 5 мужчин и 10 женщин. Найдите вероятность того, что при случайной группировке их на 5 групп по три человека в каждой группе будет 1 мужчина.
Решение
Разбивая 15 человек на 5 троек, первую тройку можно выбрать 
способами, вторую, если первая уже выбрана, 
способами, и т.д. следовательно, всех группировок существует 
. Аналогично получаем, что из 10 женщин можно получить группировок по 2 в каждой 
. Если учесть, что в каждую группировку должен войти один мужчина, то всего благоприятствующих исходов будет
Используя классическое определение вероятности, получим
2. На отрезке АО длины L поставлены наудачу две точки В и С. Найдите вероятность того, что длина отрезка ВС окажется меньше 
. (Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от расположения его на числовой оси).
Решение
Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат. Пусть положение точки В обозначено через х, а точки С – через у. тогда по условию 
. Эти неравенства удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей квадрату ОКРМ со стороной равной L. Совокупность этих точек образует возможные исходы эксперимента. А благоприятствующие те из них, для которых 
. На чертеже точки, координаты которых являются благоприятствующими, образуют заштрихованную часть квадрата
Искомая вероятность
3. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй – 0,9, третий – 0,8. Найдите вероятность того, что студент сдаст а) только второй из трех; б) только один из трех; в) все три; г) по крайней мере два из трех; д) хотя бы один.
Решение
а) Введем обозначения: событие Аi – студент сдаст i-ый экзамен (i = 1, 2, 3); событие В – студент сдаст только второй экзамен. Очевидно, что 
, т.е. совместное наступление трех событий: студент сдаст второй экзамен и не сдаст первый и третий. Так как события 
- независимые, то
б) Пусть событие С – студент сдаст один экзамен из трех, т.е. сдаст только первый из трех, или только второй из трех, или только третий из трех.
в) Пусть событие D – студент сдаст все три экзамена, т.е. 
. Тогда 
.
г)Событие Е – студент сдаст хотя бы два из трех или все три, т.е.
д) Пусть событие F – студент сдал хотя бы один экзамен, т.е. либо 1, либо 2, либо 3.
, 
.
Замечание. Для подсчета P(F) можно воспользоваться формулой 
, где 
означает, что студент не сдал все три предмета. 
. Тогда 
.
4. Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее выпадение тройки было равно 107?
Решение
Вероятность выпадения тройки в каждом испытании 
, а вероятность не выпасть тройке 
. Наивероятнейшее число 
заключено в границах 
, где n – число испытаний. Для нашего случая
или
. Откуда
Вывод: Необходимо подбросить кость от 59 до 65 раз.
5. Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найдите вероятность того, что тираж содержит 5 бракованных книг.
Решение
Непосредственный подсчет искомой вероятности по формуле Бернулли технически очень сложен.
Однако в нашем случае вероятность наступления события в каждом испытании мала, р = 0,0001, а число испытаний велико, n = 10000. В этом случае применима приближенная формула Пуассона. (
). По таблице значений Пуассона для пары 
находим 
.
6. Вероятность того, что перфокарта набита оператором неверно, равна 0,2. Найдите вероятность того, что из 200 перфокарт правильно набитых будет а) 180; б) не меньше 180.
Решение
а) Вероятность того, что перфокарта оператором будет набита правильно равна р = 0,8. Так как n = 200 достаточно велико (условие npq = 200·0,2·0,8 = 32 > 20), то применима локальная формула Муавра – Лапласа. Найдем 
(
найдено по таблице)
б) Вероятность того, что из 200 перфокарт правильно набитых перфокарт будет либо 180, либо 181,…, либо 200.
Вероятность этого события можно найти по интегральной формуле Муавра – Лапласа:
, где 
,
, 
.
Значения 
табулированы.
В нашем примере
.
Вариант 1
1. В записанном телефонном номере 135 – 3 - … три последние цифры стерлись. В предположении, что все комбинации трех стершихся цифр равновероятны, найдите вероятность события А = {стерлись различные цифры, отличные от 1, 3, 5}.
2. В любые моменты времени промежутка Т равновозможны поступления в приемник двух сигналов. Приемник будет забит, если разность по времени между этими сигналами будет меньше 
. Определить вероятность того, что приемник будет забит.
3. Вероятность попадания в десятку равна 0,7, в девятку – 0,3. Определите вероятность того, что данный стрелок при трех выстрелах наберет не менее 29 очков.
3. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложили наудачу один шар в урну, в которой 5 белых и 5 черных шаров. После этого из второй урны вынули один шар. Какова вероятность того, что
а) вынули белый шар;
б) из первой урны переложили черный шар, если известно, что вынули белый шар?
5. Игральную кость бросают 5 раз. Какова вероятность того, что два раза выпадает шестерка? Найдите наиболее вероятное число выпадений шестерки.
6. Имеется общество из 500 человек. Найдите вероятность того, что у двух человек день рождения придется на Новый год. (Считать, что вероятность рождения в фиксированный день 1/365).
Вариант 2
1. Из десяти букв русского алфавита А, Б, В,…составляется алфавит из трех различных букв. Найдите вероятность того, что в него войдет буква А.
2. Радиопередатчик посылает кратковременный (условноточечный) сигнал. Найдите вероятность того, что радиопередатчик будет запеленгован, если противник ведет разведку с помощью радиопеленгатора с равномерно вращающейся антенной, угол раствора которой (диаграмма направленности) 
.
3. Вероятность хотя бы одного выигрыша по четырем купленным билетам лотереи 0,3439. найдите вероятность выигрыша по одному билету.
4. Имеются три одинаковые урны. В первой а белых шаров и b черных; во второй с белых и d черных, в третьей только белые шары. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из нее один шар. Найдите вероятность того, что он белый.
5. Производится 5 независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью 0,3. Найдите наиболее вероятное число появлений события А и вероятность этого числа появлений.
6. Какова вероятность того, что при 300 испытаниях успех наступит 75 раз, если вероятность успеха в отдельном испытании равна 0,75?
Вариант 3
1. Из урны, содержащей n перенумерованных шаров, наугад вынимают один за другим все находящиеся в ней шары. Найдите вероятность того, что номера вынутых шаров будут идти в порядке возрастания: 1, 2, 3, …, n.
2. На полупрямой случайно ставится три точки. Найдите вероятность того, что из трех отрезков, длины которых равны расстояниям этих точек от начала полупрямой, можно построить треугольник.
3. Стрелок, имея три патрона, стреляет до первого попадания в цель. Найдите вероятность того, что цель будет поражена, если в каждом испытании вероятность попадания в цель равна 0,7.
4. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98 и нестандартную с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту.
5. Найдите наиболее вероятное число выпадений шестерки при 46 бросаниях игральной кости и вероятность этого числа.
6. Найдите вероятность того, что из 900 посеянных семян число проросших будет заключено между 790 и 830, если всхожесть семян данного растения р = 0,9.
Вариант 4
1. В команде из 12 спортсменов 5 мастеров спорта. По жеребьевке из команды выбирают трех спортсменов. Какова вероятность того, что среди этих спортсменов 1 мастер спорта?
2. Определить вероятность того, что корни квадратного уравнения х2 + 2ах +b = 0 вещественны, если значения коэффициентов a и b равновозможны и 
.
3.При данном цикле осмотра радиолокационной станции, следящей за космическим объектом, объект будет обнаружен с вероятностью р. Обнаружение объекта в каждом цикле происходит независимо от других. Проведено n циклов осмотра. Какова вероятность того, что объект будет обнаружен?
4. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложены два вынутых наудачу шара в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Найдите вероятность вынуть из второй урны белый шар. Какова вероятность того, что из первой урны переложили во вторую два черных шара, если известно, что вынули белый шар?
5. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равно 1/10. Какова вероятность того, что сообщение из 10 знаков содержит ровно три искажения?
6. Вероятность изделию быть бракованным равна 0,005. Чему равна вероятность того, что из 10000 наудачу взятых изделий бракованных окажется 40?
Вариант 5
1. 52 карты раздаются 4 игрокам (каждому по 13 карт). Найдите вероятность того, что все тузы попадут одному игроку.
2. Стержень длины l разломали на три части. Найдите вероятность того, что из получившихся трех частей можно составить треугольник.
3. Вероятности того, что каждый из трех друзей придет в условленное место, соответственно равны р1 = 0,8, р2 = 0,4, р3 = 0,7. Определите вероятность того, что встреча состоится, если для этого достаточно, чтобы пришли хотя бы двое друзей.
4. На сборку поступают детали с двух автоматов. Первый дает в среднем 0,2% брака, второй 0,1%. Найдите вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 2000 деталей, а со второго 30000.
5. Батарея дала 14 выстрелов по военному объекту, вероятность попадания в который при одном выстреле равна 0,2. Найдите наивероятнейшее число попаданий и его вероятность.
6. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найдите вероятность того, что из 1000 зарегистрированных в регионе малых предприятий имеют нарушения финансовой дисциплины не менее 480.
Вариант 6
1. Какова вероятность того, что две карты, вынутые из колоды в 36 карт (без возвращения), окажутся одной масти?
2. На отрезке АВ длины l поставлены наудачу две точки L и M. Найдите вероятность того, что точка L будит ближе к точке М, чем к точке А.
3. Два стрелка сделали по одному выстрелу. Известно, что первый стрелок попадает с вероятностью р1 = 0,6, второй с р2 = 0,7. Найдите вероятность того, что
а) только один из стрелков попадет по мишени;
б) хотя бы один из стрелков попадет в цель.
4. В двух урнах содержится n1 и n2 шаров, из них белых шаров m1 и m2. Из первой урны переложили во вторую один шар, цвет которого не известен. После этого из второй урны берут один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?
5. Вероятность изготовления стандартной детали 0,95. Сколько деталей должно быть в партии, чтобы наиболее вероятное число нестандартных деталей в ней равнялось 55?
6. Вероятность того, что пара обуви взята наудачу из изготовленной партии, окажется высшего сорта, равна 0,4. Чему равна вероятность того, что среди 600 пар, поступивших на контроль, окажется от 228 до 252 пар обуви высшего сорта?
Вариант 7
1. Игральная кость брошена 4 раза. Найдите вероятность того, что каждый раз будет выпадать единица.
2. На шахматную доску наудачу брошена монета, диаметр которой вдвое меньше стороны каждого из квадратов шахматной доски. Какова вероятность того, что монета окажется полностью на черном поле?
3. Детали проходят три операции обработки. Вероятность получения брака на первой операции 0,02, на втором – 0,03, на третьем – 0,02. Найдите вероятность получения детали без брака после трех операций.
4. В консультационном пункте работают три специалиста. Они обслуживают соответственно 20%, 30% и 50% всех посетителей. Вероятность допустить ошибку в диагнозе для каждого из них составляет соответственно 8%, 6%, 4%. Случайно выбранному посетителю диагноз был поставлен неверно. Какова вероятность того, что его консультировал первый консультант?
5. Производится 10 независимых выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 
. Какова вероятность не менее двух раз попасть в цель?
6. Вероятность выпуска нестандартной электролампы равна 0,1. Чему равна вероятность того, что в партии из 2000 ламп число стандартных будет не менее 1790 штук?
Вариант 8
1. Из цифр 1, 2, 3, 4 составляются всевозможные четырехзначные числа (Цифры могут повторяться). Найдите вероятность того, что взятое наудачу число содержит хотя бы две одинаковые цифры.
2. На отрезке АВ длины l поставлены наудачу две точки L и M. Найдите вероятность того, что точка L окажется ближе к точке А, чем к точке М.
3.Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найдите вероятность попадания при одном выстреле.
4. Имеется три урны с шарами. В первой урне 4 белых и 3 черных, во второй – 5 белых и 2 черных, в третьей – 2 белых и 5 черных. Некто наугад выбирает урну и из нее вынимает шар. Найдите вероятность того, что белый шар вынут из второй урны.
5. Производится 5 независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью 0,3. Какова вероятность произойти событию А не менее двух раз?
6. Всхожесть хранящегося на складе зерна равна 80%. Отбираются первые попавшиеся 100 зерен. Какова вероятность того, что всхожесть зерен окажется от 68 до 90 штук?
Вариант 9
1. Буквы Т, О, Е, И, Р, Я написаны на отдельных карточках. Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает их одну к другой. Какова вероятность того, что
а) взяв 3 буквы, получится слово «тор»;
б) взяв все 6, получится слово «теория»?
2. На плоскости задана окружность радиуса R и точка А, находящаяся на расстоянии d (d > R) от центра окружности. Найдите вероятность того, что прямая, проведенная наудачу через точку А, пересечет окружность.
3. Из двух орудий по одной цели производится по одному выстрелу. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,7, из второго 0,6. Определите вероятность
а) хотя бы одного попадания;
б) одного попадания.
4. В больнице работают два хирурга, из которых первый делает в четыре раза больше операций, чем второй. При этом для первого хирурга вероятность неудачной операции составляет 0,03 а для второго – 0,02. Выбранный наудачу пациент больницы оказался удачно прооперированным. Найдите вероятность того, что его оперировал второй хирург.
5. Собятие В наступит в том случае, если событие А появится не менее трех раз. Определить вероятность события В, если вероятность наступления события А в каждом опыте равна 0,3 и произведено 7 независимых опытов.
6. По данным технического контроля в среднем 2% изготовляемых на заводе часов нуждаются в дополнительной регулировке. Определить вероятность того, что из 300 часов от 290 до 295 часов не потребуют дополнительной регулировки.
Вариант 10
1. Из колоды в 52 карты наудачу извлекаются 4. Найдите вероятность того, что ими окажутся валет, дама и два туза.
2. На отрезке длины 
наудачу взяты две точки. Найдите вероятность того, что расстояние между ними не меньше k (0 <k <l).
3. Среди изготовленных рабочим деталей 4% бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых на испытание 5 деталей нет ни одной бракованной?
4. 30% приборов собирает специалист высокой квалификации и 70% средней. Надежность работы прибора, собранного специалистом высокой квалификации 0,90, надежность прибора, собранного специалистом средней квалификации 0,80. Какова вероятность того, что взятый наудачу прибор оказался надежным? Определить вероятность того, что надежный прибор собран специалистом высокой квалификации.
5. Известно, что при использовании данного технологического процесса производится 75% продукции первого сорта. Определите наивероятнейшее число изделий первого сорта в партии из 150 штук. Вычислите вероятность этого события.
6. В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное число денежных знаков, равна 0,0001. Найдите вероятность того, что при проверке будет обнаружено три ошибочно укомплектованных пакета.
Вариант 11
1. Телефонный номер состоит из 5 цифр. Найдите вероятность того, что все цифры различные.
2. На плоскости проведены параллельные прямые, расстояния между которыми равны поочередно 1,5см и 8см. На плоскость кидают наугад круг радиуса 2,5см. Какова вероятность того, что этот круг не пересечет ни одну из прямых линий?
3. Мяч бросают в корзину три раза. Найдите вероятность того, что мяч попал в корзину хотя бы один раз, если вероятность попадания в корзину при однократном бросании равна 0,3.
4. Путешественник может купить билет в одной из трех касс вокзала. Вероятность того, что он направится к первой кассе 
, ко второй - 
, к третьей - 
. Вероятность того, что билетов в кассах уже нет такова: в первой - , во второй - , в третьей - 
. Какова вероятность того, что путешественник приобретет билет?
5. По данным технического контроля средний процент брака среди изготовленных деталей составляет 5%. Сколько изготовленных деталей нужно взять, чтобы наивероятнейшее число годных среди них равнялось 60?
6. Аудиторную контрольную работу по теории вероятностей с первого раза успешно выполняют 50% студентов. Найдите вероятность того, что из 400 студентов работу успешно выполнят не менее 180 студентов.
Вариант 12
1. n человек, в том числе А и В, располагаются в ряд в случайном порядке. Найдите вероятность того, что между А и В будет стоять ровно r человек.
2. Стержень длины наудачу разломали на две части. Какова вероятность того, что длина меньшей части не превысит 
?
3. Среди N экзаменационных билетов есть n «счастливых». Студенты подходят за билетами друг за другом. У кого больше вероятность взять «счастливый» билет6 у того, кто подошел первым или у того, кто подошел вторым?
4. В урну, которая содержит n шаров, положили белый шар. Какова вероятность того, что вынутый после этого шар - белый, если все предположения о первоначальном составе урны равновероятны?
5. Стрелок в среднем на каждые 100 выстрелов 80 раз попадает в цель. Какова вероятность при 10 выстрелах попасть не менее 8 раз?
6.Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда равна 0,01. Найдите вероятность того, что из 800 человек число опоздавших не превзойдет 2.
Вариант 13
1. Бросается 12 игральных костей. Найдите вероятность того, что каждое из чисел 1, 2, …, 6 выпадает дважды.
2. На отрезке ОА длины l наудачу поставлены две точки В и С, причем С расположена правее В. Найдите вероятность того, что длина отрезка ВС будет меньше длины отрезка ОВ.
3. Мяч бросают в корзину три раза. Найдите вероятность того, что мяч попал в корзину хотя бы один раз, если вероятность попадания в корзину при однократном бросании равна 0,3.
4. В урне лежит шар неизвестного цвета, с равной вероятностью он может быть либо белым, либо черным. В урну опускают один белый шар и после тщательного перемешивания наудачу извлекают белый шар. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар?
5. Вероятность того, что вратарь возьмет пенальти, равна 0,25. Какова вероятность того, что из шести пенальти вратарь возьмет хотя бы два?
6. Вероятность того, что наудачу взятая деталь бракованная равна 0,1. Найдите вероятность того, что из 1000 взятых деталей бракованных окажется не менее 2.
Вариант 14
1. Бросается n игральных костей. Какова вероятность того, что выпадет n1 единиц, n2 двоек, …, n6 шестерок (n1 + n2 + …+ n6 = n)?
2. Какова вероятность того. Что наудачу брошенная в круг точка окажется внутри вписанного в него правильного шестиугольника?
3.Три стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностями 0,9, 0,8, 0,7. Какова вероятность того, что при одном выстреле один из них попадет в мишень?
4. Пассажир может обратится в одну из двух касс с вероятностыми 0,6 и 0,4 соответственно. Вероятность того, что к приходу пассажира билетов не будет в первой кассе равна 0,5, а во второй – 0,7. Какова вероятность того, что
а) пассажир приобретет билет;
б) билет куплен в первой кассе?
5. На экзамене предлагается 60 вопросов, из которых студент знает только 20. Студенту наудачу предлагается 5 вопросов. Какова вероятность того, что он может ответить не менее, чем на 4 из них?
6. Если в среднем левши составляют 1%, то какова вероятность того, что среди 300 человек окажется ровно четверо левшей.
1. На 8 одинаковых карточках написаны числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 13. наугад берутся две карточки. Найдите вероятность того, что образованная из двух взятых чисел дробь окажется сократимой.
2. Два лица А и В условились встретиться в определенном месте, договорившись о том, что каждый может придти в любой момент времени между 11 и 12 ч и ждет в течение 30 минут, после чего уходит. Какова вероятность того, что встреча состоится?
3. Три торпедных катера атаковали крейсер и выпустили по одной торпеде. Вероятность попадания этих торпед 0,1, 0,4, 0,5. Найдите вероятность того, что только одна торпеда попадает в цель.
4. На некоторой фабрике машина А производит 40% продукции. А машина В производит 60% продукции. В среднем 9 единиц из 1000 поступающих, произведенных машиной А, и 1 единица из 250, произведенных машиной В, оказываются бракованными. Какова вероятность того, что единица продукции, выбранная наудачу,
а) оказалась бракованной;
б) бракованная деталь изготовлена машиной В.
5. По имеющимся данным в среднем 90% числа производимых цехом изделий не имеют дефектов. Какое наивероятнейшее число изделий с дефектами окажется среди отобранных случайным образом 20 образцов изделий? Найдите вероятность этого наивероятнейшего числа.
6. Вероятность того, что изделие не выдержит испытание равна 0,001. Найдите вероятность того. Что из 3000 изделий более чем одно не выдержит испытание.
Дополнительные задачи
1. 40 лиц, среди которых 8 детей, располагаются случайным образом в шеренгу. Найдите вероятность того, что: а) дети окажутся рядом; б) какие-то 4 детей окажутся рядом; в) места расположения детей образуют арифметическую прогрессию с разностью 4.
2. N различных книг размещаются наудачу на n полках. Какова вероятность того, что: а) на N определенных полках будет стоять по одной книге; б) на N каких–нибудь полках будет стоять по одной книге; в) на данной полке будет стоять m книг.
3. В квадрат с вершинами (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1) наудачу брошена точка. Пусть (х; у) ее координаты. Предполагается, что вероятность попадания в область, лежащую целиком внутри квадрата, зависит лишь от положения этой области и пропорциональна ей. Найдите:
а) 
б) 
4. Из урны, содержащей n белых и m черных шаров, наудачу с возвращением 2 игрока поочередно извлекают по одному шару. Выигрывает тот, кто первым извлечет белый шар. Найдите вероятность того, что игра закончится выигрышем а) для первого игрока при 5-ом извлечении; б) для второго игрока не позднее 6-го извлечения; в) для второго игрока.
5. Бросаются две игральные кости. Пусть событие А означает, что на первой кости выпало число очков, кратное двум, а на второй – кратное трем; событие В – сумма выпавших очков кратна двум, событие С – сумма выпавших очков кратна 3. Будут ли события А, В, С: а) попарно независимы; б) независимы в совокупности? Я вляются независимыми события 
и С?
6. События А и В – независимы. Будут ли независимы А и 
, 
и ?
7. Во время испытания было установлено, что вероятность безотказного срабатывания реле при отсутствии помех равна 0,99, при перегреве – 0,95, при вибрации – 0,9, при вибрации и перегреве – 0,8. Перегрев и вибрация независимые события. Найдите вероятности: а) отказа этого реле при работе в жарких странах (вероятность перегрева 0,2, вероятность вибрации 0,1); б) того, что работа проходила при наличии и перегрева и вибрации, если известно, что реле сработало безотказно.
8. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка – 0,6, для второго – 0,3. После стрельбы в мишени оказалась одна пробоина. Какова вероятность того, что это пробоина принадлежит первому стрелку?
9. Из полной колоды в 52 карты наудачу вынимают одну. Рассматриваются события:
А = {вынутая карта - туз};
В = {вынутая карта черной масти};
С = {вынутая карта – фигура, т.е. валет, дама, король, туз}.
Установите будут ли зависимы события А и В, А и С, В и С.
10. Докажите, что из независимости А и В (Р(А) > 0, Р(В) > 0) следует, что они совместимы.
11. Игрок А играет поочередно с игроками В и С по две партии. Вероятность выигрыша первой партии для В – 0,1, для С – 0,2. Вероятность выигрыша во второй партии для В – 0,3, для С – 0,4. какова вероятность того, что
1) В выиграет раньше С;
2) С выиграет раньше В?
12. Стрелок А поражает мишень с вероятностью 0,6, стрелок В - с вероятностью 0,4. Стрелки дали залп по мишени и две пули попали в цель. Какова вероятность того, что стрелок С попал в мишень?
13. Из коробки, которая содержит один белый, два красных и три черных шара, наудачу извлекают три один за другим без возвращения шара. Выяснить, что более вероятно: белый шар появится раньше красного или красный раньше черного?
14. Тетраэдр, одна грань которого черная, другая белая, третья красная, а четвертая окрашена во все три цвета, кидают один раз и фиксируют окраску нижней грани. Определить вероятность события: на нижней грани есть черный цвет. Как изменится вероятность этого события, если известно, что на нижней грани есть белый цвет?
15. Наездник стремится преодолеть препятствие, совершая серию попыток. При каждой попытке вероятность преодолеть препятствия равна 0,75.
а)Найдите вероятность того, что препятствие будет преодолено не более, чем за три попытки;
б)Сколько потребуется попыток, чтобы вероятность преодолеть препятствие была равна не меньше 0,95;
в)Можно ли, повторяя попытки, довести вероятность преодоления препятствия до 0,99?
Список литературы
1. Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Киев, Вища школа, 1990.
2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х т.М., 1984г. Т.1. – 528с., Т.2.- 752с.
3. Теория вероятностей. Сборник задач/Под редакцией Скорохода А.В., Киев, 1982, - 384с.
4. Пясецкая Т.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Задачи и методические рекомендации к их решению (Для студентов специальностей 7.080404, 7.080407, 7.091302). Донецк, 2007.