КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Математика»
3 семестр
для студентов
для студентов заочной формы обучения направления
09.03.01 «Информатика и вычислительная техника» и
09.02.02 «Информационные системы и технологии»
Воронеж
Выбор варианта контрольной работы студентом производится по двум последним цифрам номера зачетной книжки. Если эти цифры составляют число, которое меньше или равно 20, то номер варианта равен этому числу. В других случаях, если предпоследняя цифра нечетная, т.е. 3, 5, 7, 9, то она заменятся цифрой 1, если предпоследняя цифра четная, то она заменяется цифрой 0. Например, если последние цифры номера зачетной книжки 34, то выбирается 14-й вариант.
.
Правила выполнения и оформления контрольной работы
При выполнении контрольной работы требуется строгое соблюдение указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил могут быть не зачтены
1. Контрольная работы выполняется в тетради в клеточку чернилами любого цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля для замечаний преподавателя.
2. На обложке должны быть ясно написаны фамилия и инициалы студента, группа, название дисциплины, номер варианта (образец оформления титульного листа в Приложении 1).
3. В работу включаются все задания, указанные в задании, строго по положенному варианту.
4. Решения задач располагаются в порядке возрастания их номеров, указанных в задании, сохраняя номера задач.
5. Условия задач приводятся полностью. Решения излагаются подробно и аккуратно, объясняются все действия по ходу решения и делаются необходимые чертежи.
6. После получения прорецензированной работы, как незачетной так и зачетной, исправляются отмеченные преподавателем ошибки и выполняются рекомендации преподавателя.
ЗАДАЧА № 1
| Вариант № | Задание |
| 1. | В каждой из двух урн содержится 6 черных и 4 белых шаров. Из первой урны наудачу извлечен шар и переложен во вторую. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны, окажется черным. |
| 2. | В каждой из двух урн содержится 8 черных и 2 белых шара. Из второй урны наудачу извлечен шар и переложен в первую. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из первой урны, окажется черным. |
| 3. | Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,7, для второго и третьего стрелков эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что: 1) только один из стрелков поразит цель; 2) только два стрелка поразят цель; 3) все три стрелка поразят цель. |
| 4. | Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,8, для второго и третьего орудий эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что: 1) только один снаряд попадет в цель; 2) только два снаряда попадут в цель; 3) все три снаряда попадут в цель. |
| 5. | Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает два вопроса, содержащиеся в его экзаменационном билете. |
| 6. | Две команды по 20 спортсменов производят жеребьевку для присвоения номеров участникам соревнования. Два брата входят в состав различных команд. Найти вероятность того, что братья будут участвовать в соревновании под одним и тем же номером 18. |
| 7. | Два стрелка произвели по одному выстрелу по мишени. Вероятность поражения мишени каждым из стрелков равна 0,9. Найти вероятность того, что: 1) оба стрелка поразят мишень; 2) оба стрелка промахнутся; 3) только один стрелок поразит мишень; 4) хотя бы один из стрелков поразит мишень. |
| 8. | Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,99. Найти вероятность четырех попаданий при пяти выстрелах. |
| 9. | От аэровокзала отправились 2 автобуса-экспресса к трапам самолетов. Вероятность своевременного прибытия каждого автобуса в аэропорт равна 0,95. Найти вероятность того, что: 1) оба автобуса прибудут вовремя; 2) оба автобуса опоздают; 3) только один автобус прибудет вовремя; 4) хотя бы один автобус прибудет вовремя. |
| 10. | Две перфораторщицы набили по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,1, для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,2. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась вторая перфораторщица. |
| 11. | В каждой из двух урн содержится 8 черных и 7 белых шаров. Из первой урны наудачу извлечен шар и переложен во вторую. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны, окажется черным. |
| 12. | Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,6, для второго и третьего стрелков эти вероятности соответственно равны 0,7 и 0,9. Найти вероятность того, что: 1) только один из стрелков поразит цель; 2) только два стрелка поразят цель; 3) все три стрелка поразят цель. |
| 13. | Из аэропорта вылетели 3 самолета. Вероятность своевременного прилета каждого самолета в пункт назначения равна 0,98. Найти вероятность того, что: 1) все самолеты прилетят вовремя; 2) все самолеты опоздают; 3) только один самолет прилетит вовремя; 4) хотя бы один самолет прилетит вовремя. |
| 14. | Из четырех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого и второго орудий соответственно равны 0,8, для третьего и четвертого орудий эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что: 1) только один снаряд попадет в цель; 2) только два снаряда попадут в цель; 3) все четыре снаряда попадут в цель. |
| 15. | С платформы отправились три поезда Вероятность своевременного прибытия каждого поезда в пункт назначения 0,9. Найти вероятность того, что: 1) все поезда прибудут вовремя; 2) только один поезд прибудет вовремя; 3) два поезда прибудут вовремя; 4) все поезда опоздают. |
| 16. | Вероятность своевременного выполнения студентом контрольной работы по каждой из трех дисциплин равна соответственно 0,6; 0,5 и 0,8. Найти вероятность своевременного выполнения контрольной работы студентом: а) по двум дисциплинам; б) хотя бы по двум дисциплинам; в) по всем дисциплинам. |
| 17. | Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках, равна соответственно 0,6; 0,7и 0,8. Найти вероятность того, что эта формула содержится не менее чем в двух справочниках. |
| 18. | На полке стоят 10 книг, среди которых 3 книги по теории вероятностей. Наудачу берутся три книги. Какова вероятность, что среди отобранных хотя бы одна по теории вероятностей? |
| 19. | В коробке 10 красных, 3 синих и 7 желтых карандашей. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что они все: а) одного цвета; б) разных цветов? |
| 20. | В некоторый район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй – 85%; третьей – 75%. Найти вероятность того, что: а) приобретенное изделие окажется нестандартным; б) приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой. |
ЗАДАЧА №2
Производится 
независимых испытаний, в каждом из которых событие 
происходит с вероятностью 
. Найти вероятность того, что:
1) событие произойдет ровно 
раз;
2) событие произойдет не менее 
раз и не более 
раз.
| Вариант № |
|
|
|
|
|
| 0,7 | |||||
| 0,7 | |||||
| 0,7 | |||||
| 0,8 | |||||
| 0,6 | |||||
| 0,6 | |||||
| 0,4 | |||||
| 0,6 | |||||
| 0,5 | |||||
| 0,4 | |||||
| 0,6 | |||||
| 0,7 | |||||
| 0,8 | |||||
| 0,6 | |||||
| 0,7 | |||||
| 0,8 | |||||
| 0,6 | |||||
| 0,7 | |||||
| 0,8 | |||||
| 0,6 |
ЗАДАЧА №3
Дискретная случайная величина задана законом распределения.
Найти:
1) математическое ожидание;
2) дисперсию;
3) среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х по данному закону ее распределения:
| Вариант № |
| 1. | xi | |||||
| pi | 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0,2 | 0,4 |
| 2. | xi | |||||
| pi | 0,3 | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,1 |
| 3. | xi | |||||
| pi | 0,5 | 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0,1 |
| 4. | xi | |||||
| pi | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,2 | 0,2 |
| 5. | xi | |||||
| pi | 0,2 | 0,2 | 0,4 | 0,1 | 0,1 |
| 6. | xi | |||||
| pi | 0,4 | 0,1 | 0,3 | 0,1 | 0,1 |
| 7. | xi | |||||
| pi | 0,2 | 0,1 | 0,4 | 0,2 | 0,1 |
| 8. | xi | |||||
| pi | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,2 | 0,1 |
| 9. | xi | |||||
| pi | 0,1 | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,1 |
| 10. | xi | |||||||
| pi | 0,1 | 0,2 | 0,2 | 0,1 | 0,4 | |||
| 11. | xi | |||||
| pi | 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0,2 | 0,4 |
| 12. | xi | |||||
| pi | 0,3 | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,1 |
| 13. | xi | |||||
| pi | 0,5 | 0,1 | 0,2 | 0,1 | 0,1 |
| 14. | xi | |||||
| pi | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,2 | 0,2 |
| 15. | xi | |||||
| pi | 0,2 | 0,2 | 0,4 | 0,1 | 0,1 |
| 16. | xi | |||||
| pi | 0,4 | 0,1 | 0,3 | 0,1 | 0,1 |
| 17. | xi | |||||
| pi | 0,2 | 0,1 | 0,4 | 0,2 | 0,1 |
| 18. | xi | |||||
| pi | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,2 | 0,1 |
| 19. | xi | |||||
| pi | 0,1 | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,1 |
| 20. | xi | |||||
| pi | 0,1 | 0,2 | 0,2 | 0,1 | 0,4 |
ЗАДАЧА №4
Три сотрудника могут составить один и тот же документ. Вероятность представить готовый документ без ошибок для них соответственно равны 
, 
, 
. Составить закон распределения случайной величины 
– числа готовых документов без ошибок, найти её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
| Вариант № |
|
|
|
| 0,9 | 0,4 | 0,5 | |
| 0,6 | 0,3 | 0,2 | |
| 0,8 | 0,4 | 0,1 | |
| 0,7 | 0,4 | 0,9 | |
| 0,5 | 0,8 | 0,6 | |
| 0,2 | 0,7 | 0,6 | |
| 0,7 | 0,2 | 0,5 | |
| 0,4 | 0,8 | 0,5 | |
| 0,7 | 0,8 | 0,1 | |
| 0,3 | 0,1 | 0,4 | |
| 0,8 | 0,4 | 0,5 | |
| 0,6 | 0,4 | 0,2 | |
| 0,8 | 0,4 | 0,3 | |
| 0,6 | 0,4 | 0,9 | |
| 0,5 | 0,9 | 0,6 | |
| 0,2 | 0,7 | 0,5 | |
| 0,8 | 0,2 | 0,5 | |
| 0,4 | 0,9 | 0,5 | |
| 0,7 | 0,8 | 0,2 | |
| 0,3 | 0,6 | 0,4 |
ЗАДАЧА №5
Случайная величина Х задана интегральной функцией (функцией распределения) 
. Требуется:
1) найти дифференциальную функцию (плотность вероятности);
2) найти математическое ожидание и дисперсию Х;
3) построить графики интегральной и дифференциальной функций.
| Вариант № |
| Вариант № |
| |
| 
| |||
| 
| |||
| 
| |||
| 
| |||
| 
| |||
|
|
| |||
|
|
| |||
|
|
| |||
|
|
| |||
|
|
|
ЗАДАЧА №6
Задано интервальное распределение выборки. Требуется:
1) построить гистограмму относительных частот;
2) перейти к вариантам, выписать эмпирическую функцию распределения и построить ее график;
3) методом условных вариант найти точечные оценки 
;
4) считая генеральную совокупность нормально распределенной, найти доверительные интервалы для 
и 
с надежностью 
| Вариант № | Интервальное распределение выборки | |||||
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| 3 | 6 | 17 | 18 | 4 | 2 | |
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| 1 | 4 | 20 | 19 | 4 | 2 | |
|
|
| 
|
|
| 
| |
| 1 | 4 | 16 | 18 | 5 | 1 | |
| 
|
|
|
|
| |
| 2 | 6 | 17 | 18 | 4 | 3 | |
|
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| 1 | 5 | 18 | 19 | 4 | 3 | |
|
|
|
|
|
|
| |
| 1 | 5 | 18 | 19 | 4 | 3 | |
|
|
|
|
|
|
| |
| 1 | 4 | 18 | 20 | 5 | 2 | |
|
|
|
| 
|
| |
| 3 | 4 | 18 | 20 | 4 | 1 | |
|
|
|
|
|
|
| |
| 3 | 5 | 16 | 17 | 6 | 3 | |
|
|
|
|
|
|
| |
| 3 | 8 | 14 | 15 | 9 | 1 | |
|
|
|
|
|
|
| |
| 3 | 10 | 17 | 18 | 4 | 2 | |
|
|
|
|
|
|
| |
| 2 | 4 | 20 | 19 | 4 | 2 | |
|
|
|
|
|
|
| |
| 1 | 4 | 10 | 18 | 5 | 1 | |
|
|
|
|
|
|
| |
| 2 | 6 | 17 | 6 | 4 | 3 | |
|
|
|
|
|
|
| |
| 1 | 5 | 17 | 19 | 4 | 2 | |
|
|
|
|
|
|
| |
| 2 | 5 | 20 | 19 | 4 | 3 | |
|
|
|
|
|
|
| |
| 1 | 6 | 18 | 21 | 5 | 3 | |
|
|
|
|
|
|
| |
| 2 | 4 | 24 | 20 | 4 | 1 | |
|
|
|
|
|
|
| |
| 3 | 5 | 20 | 17 | 6 | 3 | |
|
|
|
|
|
|
| |
| 3 | 7 | 14 | 15 | 9 | 1 |
Вопросы к экзамену
по дисциплине «Математика»
Семестр
1. Понятие числового ряда. Сходимость и сумма ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Свойства сходящихся рядов. Ряды с положительными членами.
2. Достаточные признаки сходимости: сравнения, Даламбера, Коши, интегральный.
3. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости.
4. Понятие функционального ряда. Область сходимости.
5. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости. Свойства степенных рядов.
6. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена).
7. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям. Приближенное вычисление значений функции, определенных интегралов, приближенное решение дифференциальных уравнений.
8. Периодические функции и процессы. Тригонометрический ряд. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье для функции с периодом 2 p, теорема Дирихле.
9. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций, функций произвольного периода, непериодических функций. Интеграл Фурье и преобразование Фурье. Приложения рядов Фурье.
10. Пространство элементарных событий, алгебра событий. Основные формулы комбинаторики.
11. Вероятность события и ее свойства. Классическое, статистическое, геометрическое определения вероятности события.
12. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.
13. Теоремы сложения вероятностей совместных и несовместных событий, следствия. Вероятность появления хотя бы одного события.
14. Формула полной вероятности и формула Байеса.
15. Последовательность независимых испытаний. Схема и формула Бернулли и следствия из нее.
16. Предельные теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
17. Случайные величины: определение, классификация (дискретные и непрерывные случайные величины), способы задания.
18. Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства.
19. Плотность распределения вероятностей случайной величины и ее свойства.
20. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Мода и медиана.
21. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины и их свойства.
22. Законы распределения дискретных случайных величин: биномиальный, Пуассона, геометрическое и гипергеометрическое распределение.
23. Законы распределения непрерывных случайных величин: равномерное распределение.
24. Законы распределения непрерывных случайных величин: показательное распределение.
25. Нормальный закон распределения вероятностей. Нормальная кривая.
26. Функция Лапласа. Вычисление вероятности попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Правило трех сигм.
27. Определение, классификация, способы задания многомерных случайных величин. Функция распределения вероятностей двумерной случайной величины и ее свойства.
28. Плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины и ее свойства.
29. Числовые характеристики многомерных случайных величин. Двумерное нормальное распределение.
30. Основы выборочного метода. Выборка. Генеральная совокупность. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
31. Точечные оценки параметров распределения. Свойства оценок. Понятие несмещенности, эффективности, состоятельности оценок. Несмещенность и состоятельность выборочного среднего как оценки математического ожидания. Смещенность выборочной дисперсии. Пример несмещенной оценки дисперсии.
32. Интервальное оценивание неизвестных параметров. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Построение доверительных интервалов для параметров нормального распределения. Построение доверительного интервала для неизвестной вероятности события. Оценки истинного значения измеряемой величины и точности измерений.
33. Проверка статистических гипотез. Общие принципы проверки гипотез. Понятия статистической гипотезы, ошибок первого и второго рода, статистического критерия. Проверка гипотез о параметрах нормального распределения. Проверка гипотезы о виде распределения (критерий хи-квадрат).
34. Корреляционный и регрессионный анализ. Понятие функциональной, статистической и корреляционной зависимости. Линейная парная регрессия. Выборочный коэффициент корреляции. Анализ криволинейных связей. Корреляционная таблица. Выборочное корреляционное отношение.
35. Дисперсионный анализ. Постановка задачи дисперсионного анализа. Однофакторный дисперсионный анализ. Понятие о двухфакторном дисперсионном анализе.
Приложение 1
Пример оформления титульного листа контрольной работы
АНОО ВПО ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕХНОЛОГИЙ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине: «Математика_3 семестр»
Вариант №___
Выполнил(а)
студент(ка) группы ____________
Зачетная книжка №_____________
Фамилия И.О.
Проверил(а):
к.ф.-м.н., доцент Ушакова А.Е.
_______________________________
Воронеж 2017
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Список рекомендуемой литературы
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов/Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Высшее образование, 2009.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. – М.: Юрайт-Издат, 2011. – 479с.
3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и матемаической статистике. – М.: Айрис-пресс, 2011. – 608 с.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие. – М.: Юрайт-Издат, 2011. – 404с.
2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.:АСТ, 2010. – 1056 с.