8.1 Локальная теорема Лапласа
Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна
р (0 < p < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n)
где
Таблица функции φ (x) для положительных значений х приведена в приложении 1; для отрицательных значений х пользуются этой же таблицей [функция φ (x) четная, следовательно, φ (- x) = φ (x) ].
8.2 Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых событиях, в каждом из которых вероятность появления события равна p(0<p<1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна
Р(k1;k2 ) = Ф(х " ) – Ф(х'),
где
- функция Лапласа,
Таблица функции Лапласа для положительных значений
0 ≤ х ≤ 5 приведена в приложении 2; для значений x>5 полагают Ф(х) = 0,5. Для отрицательных значений х используют эту же таблицу, учитывая что функция Лапласа нечетная [Ф(-х) = - Ф(х)].
Задача 15. Найти вероятность того, что событие А наступит 1100 раз в 2500 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,5.
Решение. Так как n велико, воспользуемся локальной теоремой Лапласа
Вычислим х:
Функция 
- четная, поэтому φ (-6) = φ (6) = 0
По таблице приложения 1 найдем φ (6) = 0.
Искомая вероятность
Р2500 (1100) = 1/25 ∙0 = 0.
Ответ: Вероятность того, что событие А наступит 1100 раз в 2500 испытаниях, равна нулю.
Задача 16. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна р = 0,6. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 55 раз и не более 80 раз; б) не менее 55 раз
Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
Р(k1;k2 ) = Ф(х " ) – Ф(х'),
где Ф(х) – функция Лапласа,
, 
.
а) По условию, n = 100; р = 0,6; q = 0,4; k1 = 55; k2 = 80.
Вычислим x' и х":
Учитывая, что функция Лапласа нечетная, т.е. Ф(-х) = - Ф(х), получим:
Р100 (55; 80) = Ф(4,08) – Ф(- 1,02) = Ф(4,08) + Ф(1,02).
По таблице приложения 2 найдем
Ф(4,08) = 0,4999; Ф(1,02) = 0,3461.
Искомая вероятность
Р100 (55; 80) = 0,4999 + 0,3461 = 0,846.
б) Требование, чтобы событие появилось не менее 55 раз, означает, что число появлений события может быть равно 55, либо 56, …, либо 100. Таким образом, в рассматриваемом случае следует принять k1 = 55, k2 = 100. Тогда,
По таблице приложения 2 найдем Ф; Ф(8,17) = 0,5.
Искомая вероятность
Р100 (55; 80) = Ф(8,17) – Ф(- 1,02) = 0,5 + 0,3461 = 0,8461.
Ответ: а) Вероятность того, что событие появится не менее 55 раз и не более 80 раз, равна 0,846;
б) Вероятность того, что событие появится не менее 55 раз, равна 0,8461.
9. ВЕРОЯТНОСТЬ ОТКЛОНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ЧАСТОТЫОТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
Вероятность того, что в n независимых испытаниях отклонение относительной частоты 
появления некоторого события A от вероятности его появления p по абсолютной величине не больше заданного числа ε>0, т.е. вероятность осуществления неравенства:
, приближенно равна удвоенной функции Лапласа при Х= 
.
P 
= 2Φ 
.
Задача 17. Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04.
Решение. По условию n=625; p=0,8; q=0,2; ε=0,04. Требуется найти вероятность P 
. Воспользуемся формулой
P 
= 2Φ 
.
Имеем:
P 
=2Φ 
=2Φ(2,5).
По таблице приложения 2 найдем Φ(2,5)=0,4938. Следовательно, 2Φ(2,5)= 2•0,4938=0,9876. Итак, искомая вероятность приближенно равна 0,9876.
Ответ: 0,9876
Задача 18. Сколько нужно сделать опытов, чтобы с вероятностью равной 0,90 можно было бы утверждать, что относительная частота появления события отклонится от постоянной вероятности р по абсолютной величине не более чем на 0,05.
Решение. По условию
P 
=0,90
но,
P 
= 2Φ 
,
поэтому:
2Φ 
=0,90.
Вероятность не известна, поэтому оцениваем самый неблагоприятный случай: p=1/2, тогда q= 
.
Получаем
Φ(0,1 
)=0,45.
В приложении 2 находим значение x=1,65, удовлетворяющее условию:
Φ(x)=0,45; тогда 0,1 =1,65,
=16,5, n≈272.
Ответ: 272.
10. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫРАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
10.1. Величина, которая в результате опыта в зависимости от различных, случайных обстоятельств может принимать различные числовые значения, называется случайной величиной.
Например, курс доллара, температура воздуха в наугад взятый день, цены товаров, прибыль или убытки фирмы и т. д.
10.2. Случайная величина, которая может принимать лишь отдельные, изолированные друг от друга на числовой оси значения, называется дискретной.
10.3. Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать все числовые значения, сплошь заполняющие некоторый промежуток на числовой оси.
10.4. Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между всеми возможными значениями случайной величины и соответствующих им вероятностями.
Приняты следующие формы (способы задания) законов распределения, функция распределения и плотность рапределения.
10.5. Величины, в сжатой форме характеризующие основные особенности распределения случайной величины, называются его числовыми характеристиками.
К числу важных числовых характеристик относятся математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
10.6. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:
М(X) = х1р1 + х2р2 + … + хnрn.
Математическое ожидание обладает следующими свойствами:
- Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
М(с) = 0.
Ø Постоянный множитель можно выносить за знак математическое ожидание математического ожидания:
М(сX) = сМ(X).
Ø Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:
М(X1X2 … Xn) = М(X1)•М(X2) … •М(Xn).
Ø Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
М(X1 + X2 + … + Xn) = М(X1) + М(X2) + … +М(Xn).
10.7. Математическое ожидание М(X) числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:
М(X) = nр.
10.8. Отклонением случайной величины от ее математического ожидания называют разность между этой случайной величиной и ее математическим ожиданиям.
10.9. Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(X) = М[х – М(X)]2.
Удобнее для вычисления дисперсии пользоваться формулой
D(X) = М(X2) – [М(X)]2.
Дисперсия обладает следующими свойствами:
Ø дисперсия постоянной равна нулю:
D(с) = 0;
Ø постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:
D(cX) = c2D(X);
Ø дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
D(X1 + X2 + … +Xn) = D(X1) + D(X2) + … + D(Xn);
Ø дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
D(X – Y) = D(X) – D(Y).
10.10. Если производится n независимых испытаний, в каждом их которых вероятность р появления события А постоянна, то дисперсия числа появлений события А равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:
D(X) = nрq.
10.11. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется корень квадратный из дисперсии:
σ (X) = 
.
10.12. Функция распределения вероятностей случайной величины. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
Для задания непрерывной случайной величины используется так называемая функция распределения вероятностей случайной величины, т.е. вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение меньше х. Вероятность события Х < х обозначается: F(x)
Функцией распределения случайной величины Х называется такая функция F(x), которая определяется для каждого значения Х как вероятность выполнения неравенства Х < х, т.е. F(x)=P(X < x).
Геометрически это равенство понимается так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.
Функция распределения обладает следующими свойствами:
Ø Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]:
0 ≤ F(x) ≤ 1;
Ø Функция распределения – функция неубывающая, т.е.
F(x2) ≥ F(x1), если х2>х1.
Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:
P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a).
Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю;
Ø Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то: 1) F(x)=0 при х ≤ a; 2) F(x)=1 при х ≥ b.
Следствие3. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения:
lim F(x) = 0; lim F(x) = 1.
x → - ∞ x → ∞
10.13. График функции распределения
Из свойств функции распределения следует:
Ø График расположен в полосе, ограниченной прямыми y=0 и y=1;
Ø При возрастании х в интервале (a,b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график “поднимается вверх”;
Ø При х ≤ a ординаты графика равны нулю; при х ≥ b ординаты графика равны единице.
График функции распределения непрерывной случайной величины имеет вид:
F(x)
 |
a b x
10.14. Функцию распределения вероятностей случайной величины называют интегральной функцией.
По функции распределения вероятностей трудно судить о характере распределения в небольшой окрестности точки числовой оси. Для этого удобнее пользоваться плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
10.15. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x):
f(x) = F′(x).
Функцию f(х) называют дифференциальной функцией.
10.16. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b:
Р(а < X < b) = 
f(x)dx.
Если известна плотность распределения f(x), то функция распределения F(x) находится по формуле:
F(x) = 
f(x)dx.
10.17. Плотность распределения обладает следующими свойствами:
Ø плотность распределения – неотрицательная функция:
f(x) ≥ 0.
Геометрически это свойство означает, что точки, принадлежащие графику плотности распределения, расположены либо над осью ОХ, либо на этой оси;
Ø несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - ∞ до ∞ равен единице:
f(x)dx = 1.
Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то
f(x)dx = 1.
10.18. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку
[a, b], называется определенный интеграл:
M (X) = 
x f(x)dx
Если возможные значения принадлежат всей оси ОХ, то
М(X) = 
f(x)dx.
Все свойства математического ожидания, указанные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных величин.
Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством:
D(X) = 
[x – M(X)]2 f(x)dx,
или D(X) = 
x2 f(x)dx – [M(x)]2.
Если все возможные значения Х принадлежат интервалу (a, b), то
D(X) = [x – M(X)]2 f(x)dx,
или D(X) = x2 f(x)dx – [M(X)]2.
Все свойства дисперсии, указанные для дискретных случайных величин сохраняются и для непрерывных величин.
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной величины:
Задача 19. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной по данному закону ее распределения:
| Х | -5 | |||
| р | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
Решение. Дисперсию можно вычислить, исходя из ее определения, однако мы воспользуемся формулой
D(X) = M(X2) – [M(X)]2.
Найдем математическое ожидание случайной величины Х:
M(X) = х1р1 + х2р2 + … + хnрn = -5∙0,4 + 1∙0,3 + 8∙0,1 + 4∙0,2 = -0,1
Напишем закон распределения для Х2:
| Х2 | ||||
| р | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
Найдем математическое ожидание квадрата случайной величины Х2:
M(X2) = х21 р1+ х 22р2 + … + х2nрn,
M(X2) = 25∙0,4 + 1∙0,3 + 64∙0,1 + 16∙0,2 = 19,9.
Найдем искомую дисперсию:
D(X) = M(X2) – [M(X)]2 = 19,9 – (-0,1)2 = 19,89.
Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:
.
Ответ: Дисперсия равна 19,89, среднее квадратическое отклонение равно 4,46.
Задача 20. Случайная величина Х задана интегральной функцией (функцией распределения) F(x). Требуется: 1) найти дифференциальную функцию (плотность вероятности); 2) найти математическое ожидание и дисперсию Х; 3) построить графики интегральной и дифференциальной функций.
0 при х ≤ 0
х2 ПРИ 0 < x ≤ 11;
F(x) = 121
1 при х > 11.
Примечание. Для решения задачи необходимо знать:
1. (c∙f(x))′ = c∙(f(x))′;
2. (xn)′ = n∙xn-1;
3. ∫ f(x)dx = F(x) + c;
4. ∫ c∙f(x)dx = c ∫ f(x)dx;
5. ∫ (f1(x)+f2(x) + … +fn(x))dx = ∫ f1(x)dx + ∫ f2(x)dx + … + ∫ fn(x)dx;
xn+1
6. 
∫ xndx = n + 1 + c;
b b
7. ∫ f(x)dx = F(x)│ = F(b) – F(a).
a a
Решение.
1) Плотность распределения вероятностей равна первой производной функции распределения:
0 при x ≤ 0
f(x) = F′(x) = 2∙x при 0 < x ≤ 11
121
0 при x > 11
2) Найдем математическое ожидание:
11 11 11 11
М(Х) = ∫ x∙f(x)dx = ∫ x∙2∙x /121dx = 2/121∫ x2dx = 2/121 ∙ x3/ 3 =
0 0 0 0
= 2/362 ∙ (113 – 03) = 22/3 = 7,3.
3) Найдем искомую дисперсию, учитывая, что М(Х) = 22/3:
b
или D(X) = ∫ x2 f(x)dx – [M(X)]2.
a
11 11
D(Х) = ∫ [x ]2∙f(x)dx-М2(х) = ∫ (x)2 ∙2x/121dx –(22/3)2 =
0 0
11
=2/121(x4/4) –(22/3)2 = 6,72.
0
4) Построим графики интегральной и дифференциальной функций:
у
Х 0 11
F(x) 0 1
1
0 11 x
 |
у X 0 11
f(x) 0 2/11
2/11
 |
0 11 x
Ответ: 1)Дифференциальная функция равна:
 |
0 при x ≤ 0;
f(x) = F′(x) = 2∙x ПРИ 0 < Х ≤ 11;
121
0 ПРИ Х > 11.
2)Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны: М(Х) = 7,3, D(X) = 6,72