(1). Ур-е вольтера – частный случай ур-я Фредгольма. Покажем, что ур-е Вольтера разрешимо при любых знач-х 
. K(t,s), f(t) – непрер., 
. 
. Очевидно, что 
нормы эквив-ны. Обозначим 
пр-во непрер. ф-ций с нормой 
. Рассм. 
Можно показать, что 
. Проверим усл-е сжатия: 
Поскольку нер-во вып-ся вседа, то ур-е Вольтера всегда разрешимл и его м. решать методом посл. приближений.
8. ГП. Пр. Н-во К-Б-Ш. Непрер-ть скал. произвед-я. Т.Пифагора. Ортогональность.
Пусть Н-ЛП. Н н-ся предгильбертовым или пр-вом со скал-м произвед-м, если 
определено число (x,y) называемое скал-м произв-м так, что выполнены аксиомы: 1. 
2. 
3. 
4. 
. Замечание. Из (2) => что 
Скалярное произвед-е порождает норму по ф-ле 
Первые аксиомы очевидны, нер-во треуг-ка следует из Нер-ва Шварца: 
Д-во: 
Пусть 
и 
, 
, 
Нер-во Шварца. Проверим нер-во треуг-ка: 
Предгильбертово пр-во полное, относительно нормы, порожденной скал. произвед-м н-ся гильбертовым.
Утверждение. Скал-е произвед-е есть непрер-я ф-ция своих аргументов. Д-во: 
ЧТД,
Примеры Гильбертовых пр-в.
1. 
Нер-во Шварца запис. в виде: 
- Нер-во Коши-Буняковского
2. 
. Сх-ть ряда следует из оценки. 
3. 
. Опред-е корректно в силу нер-ва Шварца, К-Б. 
Ортогональность.
Пусть Н-ГП. х н-ся ортогонально y 
если 
. Бесконечная система 
н-ся лин. независимой, если линейно-независима любая её конечная подсистема. Бесконечная сист. 
н-ся ортогональной, если 
и ортонормированной, если 
Утверждение. Ортогональная система линейно независима. Д-во: 
умножим скалярно на 
ЧТД,
Теорема Пифагора. Если , то 
. Д-во: 
ЧТД.
Обобщенная теорема Пифагора. Если - ортогональн. система, то 
Д-во: самостоятельно.
Р-во параллелограмма. 
Д-во: самост-но ЧТД.
Замечание. Пусть 
- пр-во измеримых суммируемых с квадратом с весом 
ф-ций, т.е. 
. Введем скал-е произвед-е: 
, вещ-е.
Если применять независ. системе процесс ортогонализации Шмита, то м. получить многие известные ортонормированные системы.
Теорема (процесс ортогонализации Шмитта). По люб. незав. системе 
м. построить ортогональную систему и ортонормир-ю систему 
с помощью ф-л: 
(без д-ва)
Расстояние от точки до мн-ва. 
Если 
то 
н-ся элементом наилучшего приближения элемента х элементами мн-ва M. В НП такой эл-т м.б. неединственным. В ГП эт-т наил. приближ-я опред-ся однозначно.
9. Расст-е от т. до мн-ва. Т. о расстоянии. Проекция. Разложение ГП в прямую сумму.
Лемма. М – замкн. мн-во. Если 
, то 
. Если 
, то 
Д-во: 
Пусть ПП . По опр-ю инфинума 
. Устремим 
. Получим, что 
х – пред-я точка М, а т.к. М – замкнуто, то - это противоречие.
Теорема. Пусть М – замкнутое выпуклое мн-во в ГП Н и т. . Тогда 
. Д-во: Обозначим 
. По опр-ю инфинума 
(1). Покажем, что посл-ть 
фундам-на. Запишем р-во параллелограмма со сторонами 
и 
: 
Такое N сущ-т => - фундаментальна. Значит, т.к. ГП – полное, то 
т.к. М – замкнуто. Покажем, что этот эл-т единственный. ПП 
Запишем р-во параллелограмма со стор. 
: 
Такой эл-т единственный. ЧТД.
Замечание. Если мн-во М – незамкнутое, то такой эл-т может не существовать. Если М – невыпукло, то такой эл-т м.б. неединств.
Пусть 
-ГП и 
. Ортогональной проекцией х на L н-ся элемент - 
такой, что 
Расстояние от точки до подпр-ва. Пусть 
, т.к. подпр-во L – замкн. выпуклое мн-во, то 
Теорема. Пусть 
- проекция ортогональная х на подпр-во L. Д-во: Покажем, что 
. И это будет означать, что 
. Пусть 
. Тогда 
возв-м в квадрат 
. 
. 
. Мы проверим, что 
. ЧТД,
Утверждение. Пусть L натанут 
Тогда 
(2). Д-во: 
. Т.к. 
, то 
Значит 
ЧТД.