Отношение 
А 
А называется отношением на A. Такие отношения называются также бинарными отношениями на множестве A. То есть отношение на A - это отношение между элементами одного и того же множества A.
Для таких отношений можно выделить несколько специальных свойств.
1. Рефлексивность
Отношение А А является рефлексивным, если
.
Простейшее рефлексивное отношение на A - это множество, состоящее из всех пар вида (a, a), где a 
A. Такое отношение называется единичным отношением или диагональю и обозначается как e.
2. Симметричность
Отношение А А - является симметричным, если
" a, b Î A (a r b Þ b r a).
То есть отношение А А симметрично, если для любых a и b из того что (a, b) 
следует, что пара (b, a) .
Поэтому отношение r несимметрично, если хотя бы для одной пары (a, b) не выполняется указанное свойство. Нетрудно видеть, условие симметричности равносильно условию:
" a, b Î A (a r b Û b r a).
3. Антисимметричность
Отношение А А - антисимметричное, если
" a, b Î A (a r b & b r a Þ a = b).
То есть отношение А А является антисимметричным, если из (a, b) и (b, a) следует, что a = b.
Заметим, что антисимметричность представляет свойство несимметричности в сильной форме. Отношение антисимметрично, если оно несимметрично всюду за исключением пар из единичного отношения e. При этом не требуется, чтобы в антисимметричном отношении содержались все пары, компоненты которых совпадают. Поэтому существуют отношения, которые являются симметричными и антисимметричными одновременно. Такие отношения составлены парами, имеющими равные первую и вторую компоненты.
4. Транзитивность
Отношение А А - транзитивное, если
" a, b, c Î A (a r b & b r c Þ a r c).
Отношение А А является транзитивным если из (a, b) r и
(b, c) r следует, что (a, c) r. Содержательно транзитивность состоит в том, что если осуществляется последовательный многократный переход между элементами множества A, по связям отношения r, то между первым и последним элементами такого перехода также выполняется отношение r.
Упражнение. Доказать следующие свойства отношений:
1) - рефлексивное 
e Í r;
2) r - симметричное r = r-1;
3) r - антисимметричное r Ç r-1Í e;
4) r - транзитивное r r Í r.
Упражнение. Является ли транзитивным бинарное отношение, на множестве { a, b, c, d, e, f } заданное диаграммой:
a d
b e
c f
Рассмотрим несколько примеров отношений на множестве.
Пусть A - это множество всех людей.
Отношение r = " дружить ". Для этого отношения справедливость условия (a, b) r означает, что a дружит с b. Это отношение симметричное, но оно нетранзитивное и нерефлексивное.
Отношение " любить " - несимметричное и нетранзитивное, но, по-видимому, рефлексивное.
Отношение " быть родственником " - рефлексивное, симметричное и транзитивное.
Отношение " руководить " - антисимметричное, транзитивное и нерефлексивное.
Если А А - некоторое отношение, то рефлексивным, симметричным, транзитивным замыканиями этого отношения называются минимальные отношения на А, которые содержат r и являются соответственно рефлексивными, симметричными и транзитивными.