Корни многочлена. Теорема Безу
Многочленом степени n называется многочлен вида Pn(x) = a0xn + a1xn-1 +... + an-1x + an,где a0, a1,..., an-1, an — заданные числа, a0 ≠0, , a0xn — старший член многочлена, n — степень многочлена, an — свободный член многочлена.
Алгебраическим уравнением n -йстепени называется уравнение вида a0xn + a1xn-1 +... + an-1x + an =0. ТеоремаБезу . Если уравнение a0xn + a1xn-1 +... + an-1x + an = 0 с целыми коэффициентами a0, a1,..., an-1, an, где an ≠ 0, имеет целый корень, то этот корень является делителем числа an (свободного члена уравнения). Пример 1.х3 + 4х2 – х – 4 = 0.Решение. Преобразуем левую часть уравнения: х3 + 4х2 – х – 4 = х2(х + 4) – (х + 4) = (х2 – 1)(х + 4). Тем самым уравнение приведено к виду (х2– 1)(х + 4) = 0, откуда х1 = 1, х2 = -1, х3 = -4.
Корни квадратного уравнения на множестве действительных чисел
Общая формула вычисления корней:
(1), Где — коэффициенты;
Подкоренное выражение называется дискриминантом
-при корней два;-при корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях);-при корней на множестве действительных чисел нет.
5. Формулы для решения квадратного уравнения Квад ур-е-алгеброическое ур-е общего вида ax^2+bx+c=0, где х-неизвестное, a,b,c-коэффициенты, причем а 0, выражение ах^2+bx+c наз квад трехчленом. Решение квад ур-я сводится к нахождению дискриминанта: D=b^2-4ас; D 0- ур имеет 2 корня; D=0 ур имеет 1 корень; D 0 ур не имеет корней В общем случае корни ур-я равны:х1,2= В случаем с 0 дискриминантом: х1,2=
6.Графический способ решения квадратного уравнения …Чтобы получить решение квад ур-я графич способом квадр ур-е разделяют на две функции, линейную и квадратичную. А затем строят графики этих функций на одной координатной плоскости. Квад ур-е 1.ах^2+bx+c=0 разбивают на две функции 2.у1=ах^2; 3.y2=-(bx+c)Функция у1 это парабола. Функцияу2 это прямая линия. Решением, корнями квад ур-я явл точки пересечения этих функций. При решении могут представиться 3 варианта: Ф-ции имеют 2 точки пересечения; Ф-ции имеют 1 точку; ф-ции не имеют точек
Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту
Если в квадратном уравнении ах^2+bx+с=0 сумма 1-го коэфф и свободного члена равна 2-ому коэфф:а+с=b, то его корнями явл -1 и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэфф(-с/а)
8.Теорема Виета позволяет получить относительно корней уравнения след систему уранения
Решение алгебраических уравнений способом разложения многочлена на множители
Тождественное преобразование, приводящее к произведению нескольких множителей - многочленов или одночленов, называют разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих множителей.
Вынесение общего множителя за скобки. Этопреобразование является непосредственным следствием распределительного закона ac + bc = c(a + b)
Пример. Разложить многочлен на множители 12 y 3 – 20 y 2. Решение. Имеем: 12 y 3 – 20 y 2 = 4 y 2 · 3 y – 4 y 2 · 5 = 4 y 2 (3 y– 5). Ответ. 4 y 2(3 y – 5).
Использование формул сокращенного умножения. Формулы сокращённого умножения позволяют довольно эффективно представлять многочлен в форме произведения.
Пример. Разложить на множители многочлен x 4 – 1. Решение. Имеем: x4 – 1 = (x 2) 2 – 1 2 = (x 2 – 1)(x 2 + 1) = (x 2 – 1 2)(x 2 + 1) = (x + 1)(x – 1)(x 2+ 1). Ответ. (x + 1)(x – 1)(x 2 + 1).