Решение продолжаем в МС.

Аналитический способ с использованием МС.

1.Вводим данные переменных по варианту, выбирая их из раздела Б.

2.Формируем дифференциальное уравнение, записываем начальные условия.

3. Решаем характеристическое уравнение, находим значения λ1 и λ2.

4. Поскольку решение характеристического уравнения есть действительные и различные корни, то общее решение диф. уравнения принимает вид:

5.Записываем вид частного решения диф. ур-ния.

6. Подставляем частное решение в левую часть, получаем вид функции.

7. Выделяем коэффициенты при функциях. Составляем систему уравнений и находим коэффициенты k1, k2.

8. Следовательно, мы имеем уже конкретное решение диф. уравнения, которое состоит из суммы общего решения (λ1 и λ2уже найдены) и частного решения (k1, k2) также уже найдены).

9. Значения коэффициентов с1 и с2 найдем, используя начальные условия:

y(1) = 1, y'(1) = - 4

10.Получаем производную от найденного решения, проверяем его, получая значения функций в контрольных точках, строим графики.

Листинг решения из MathCad.

 

2.2.a. Вычислить «вручную» значения y(a+h), y'(a+h), где при разбиении N.

Рассмотрим заданное дифференциальное уравнение второго порядка.

-1*y''(x)-3*y’(x)= 3*x - 3 с начальными условиями y(1) = - 1; y’(1) = - 4

Преобразуем его в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка:

введем замену z(x) = y'(x), тогда z'(x) = y''(x);

дифференциальное уравнение примет вид

-1*z’(x) - 3*z(x) = 3*x - 3

y(1) = -1; y’(1) = - 4

сделаем подстановку и сформируем систему диф. уравнений 1-го порядка.

y(1) = -1; y’(1) = - 4

Вспомогательная функция примет вид:

D(x,y(x),z(x)) =

 

Используя формулы метода Рунге-Кутты IV порядка, вычислим значения функции y(1+h), y’(1+h) при h= (3-1)/8 = 1/4.

На начальном шаге имеем значения по условию: x0 = 1, y0 = - 1, z0 = - 4

Тогда на следующем шаге имеем:

Вычисления проводились с использованием МС, чтобы не делать глупых ошибок при вычислении дробей.

2.2.б. Составить макрос (процедуру) в VBA и выполнить его в Еxcel с выводом результатов на рабочий лист при разбиении N.

1) В VBA составим процедуру, использующую метор Рунге-Кутты для вычисления значений функций, являющихся решением дифференциального уравнения по блок-схеме, предоставленной в методичке.

 

ub Met_RK()

a = Cells(1, 2)

b = Cells(2, 2)

n = Cells(3, 2)

h = (b - a) / n

Cells(4, 2) = h

ya = Cells(1, 5)

y1a = Cells(2, 5)

x = a: y = ya: z = y1a

Cells(7, 1) = x: Cells(7, 2) = y: Cells(7, 3) = z

Cells(7, 4) = Fun_D(x, y, z)

 

For i = 1 To n

k1 = h * z

m1 = h * Fun_D(x, y, z)

k2 = h * (z + m1 / 2)

m2 = h * Fun_D(x + h / 2, y + k1 / 2, z + m1 / 2)

k3 = h * (z + m2 / 2)

m3 = h * Fun_D(x + h / 2, y + k2 / 2, z + m2 / 2)

k4 = h * (z + m3)

m4 = h * Fun_D(x + h, y + k3, z + m3)

 

dy = 1 / 6 * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4)

dz = 1 / 6 * (m1 + 2 * m2 + 2 * m3 + m4)

 

x = x + h

y = y + dy

z = z + dz

 

Cells(7 + i, 1) = x

Cells(7 + i, 2) = y

Cells(7 + i, 3) = z

Cells(7 + i, 4) = Fun_D(x, y, z)

Next i

 

End Sub

 

2) Для работы этой процедуры необходимо задать вспомогательную функцию:

 

Function Fun_D(x, y, z)

Fun_D = (3 * x - 3 + 3 * z) / (-1)

End Function

 

3) На листе Excel вводим данные для работы процедуры:

В1 - начальная точка

В2 – последняя точка

В3 – число разбиений

Е1 – начальное значение функции Y(1)

У2 – начальное значение производной Y’(1)

 

4). Запускаем процедуру и получаем таблицу значений искомых функций:

 

 

5) Построим графики полученных функций.

 

2.3. Встроенные возможности системы MathCad

 

Задание 3.

Груз D массой m, получив в точке А начальное ускорение, начинает движение из состояния покоя в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости; первый участок трубы горизонтальный, а второй – опущен вниз под углом α.

На участке АВ длиной Sp на груз кроме силы тяжести (g принимаем равным 9.8) действуют движущая сила F и сила сопротивления среды Fc/

В точке В груз, не изменяя своей скорости. Переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действует сила сопротивления среды. На участке торможения Вс груз двигается до полной остановки за счет накопленной при разгоне кинетической энергии.

Требуется:

ü Определить скорость, ускорения и время на участке АВ, ивпользуя метод Рунге-Кутты решения дифференциальных уравнений (при числе разбиений N=4*n)

ü Установить время Тр прохождения грузом D участка АВ

ü Определить скорость, ускорение и время на участке ВС в n точках с шагом h=0.1

ü Установить время Тт прохождения грузом D участка ВС (с точностью до 0,00001), используя анализ экспериментальных данных методом наименьших квадратов и встроенные возможности для решения уравнений в вычислительных системах.

ü Построить графики s(t), v(t), a(t) в диапазоне от начала до окончания движения

.

Замечание: Расчет для участка АВ проводить в Excel, а для участка ВC и графики – в MathCad.

 

Раздел А. Вариант 4

 

 

Раздел В вариант 6:

 

M=5 Fо=38 c=0.22 Fc=20 Sp=0.4 α=20 n=5

 

Решение.

ü Определить скорость, ускорения и время на участке АВ, иcпользуя метод Рунге-Кутты решения дифференциальных уравнений (при числе разбиений N=4*5 =20)

Поскольку v(t)=s’(t), a a(t)=v’(t) = s’’(t), то для выполнения задачи сформируем решение дифференциального уравнения вида m*s’’(t)= F., Т.к. на участке АВ тело движется верх под углом α=20 и составляющая силы тяжести тормозит движение, то наше дифференциальное уравнение будет иметь вид: Начальные условия s(0)=0; v(0)=0, т.к. тело начинает движение из состояния покоя.

 

Используя процедуру Met_RK из задания 2, построим таблицу значений функций s(t), v(t), a(t) на отрезке [0; Tp ]. Момент времени Tp подберем так, чтобы s(Tp)=Sp =0,4.

 

Для данной задачи вспомогательная функция Fun_D примет вид

 

Function Fun_D(x, y, z)

Fc = 20

m = 5

Fd = 38 + 4 * 0.22 * Sqr(y) + Sin(y)

Fun_D = (Fd - Fc) / m

End Function

 

Результат выполнения процедуры:

 

 

ü Установить время Тр прохождения грузом D участка АВ

ü

Время Тр подбираем, до тех пор, пока в ячейке В27 не появится «ИСТИНА».

 

 

 

ü Определить скорость, ускорение и время на участке ВС в n точках с шагом h=0.1

Решение продолжаем в МС.

На участке ВС тело движется горизонтально, а движущая сила прекращает свое действие, поэтому уравнение движения его будет иметь вид: с начальными условиями Тр = 0,46816, S(Tp)=Sp = 0,400001352 v(Tp)=1,72364474 - определяем по таблице, полученной в Excel.

 

Импортируем данные из Excel и формируем решение, используя функцию rkfixed

 

 

 

 

ü Установить время Тт прохождения грузом D участка ВС (с точностью до 0,00001), используя анализ экспериментальных данных методом наименьших квадратов и встроенные возможности для решения уравнений в вычислительных системах

Поскольку в момент остановки Tt выполняется условие v(Tt)=0, то для определения момента Tt необходимо решить уравнение F1(t)=0

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

 

1. Гарнаев А.Ю. Microsoft VBA В подлиннике. Наиболее полное руководство. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 848 с.: ил.

2. Кудрявцев Е.М. «MathCad 8 Символьное и численное решение разнообразных задач» – М.: ДМК, 2000. – 320с.:ил.

3. Долженков В.А. Microsoft Excel 2003. В подлиннике. Наиболее полное руководство. – Спб.: БХВ-Петербург, 2006. – 1024 с.: ил

4. Компьютерные технологии обработки информации. Под ред. Назарова С.В. - М.: Фи­нансы и статистика, 1995.

5. Громов Ю.Ю., О.Г. Иванова, А.В. Лагутин Информатика: Учебное пособие. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2002. 92 с.

6.. Очков В.Ф. «MathCAD 7 Pro для студентов и инженеров» М.: КомпьютерПресс, 1998.

7. Новиков Ф.А. Microsoft Word 2003. В подлиннике. Наиболее полное руководство. – Спб.: БХВ-Петербург, 2004. – 976 с.: ил.