Задача 1. Вычислить площадь фигуры, которая расположена
на плоскости Oxy.
Для каждого номера варианта заданы линии, ограничивающие фигуру.
Вар. | Уравнения линий, ограничивающих фигуру |
, и касательная к этой линии в точке её пересечения с осью | |
, , | |
и касательная к этой линии в начале координат | |
и прямая, проходящая через концы этой линии | |
, и касательная к этой линии в точке пересечения ее с осью Ox | |
y=arcsinx, касательная к этой линии в начале координат и прямая x=1 | |
y=arcsinx, y=-arcsin(x-2), y=-π/2 | |
и прямая, проходящая через начало координат и через точку с абсциссой на заданной линии. | |
, и касательная к этой линии в точке пересечения ее с осью Ox | |
Задача 2. Фигура, расположенная на плоскости Oxy, вращается около координатной оси. Вычислить объём полученного тела вращения.
Для каждого номера варианта заданы линии, ограничивающие фигуру, и ось вращения.
Вар. | Уравнения линий, ограничивающих фигуру | Ось вращения |
OY | ||
OX | ||
OY | ||
OX | ||
OY | ||
и касательная к этой кривой в точке пересечения ее с осью Ox | OY | |
OY | ||
и ветвь тангенсоиды , проходящая через начало координат | ||
OY | ||
OY | ||
и | ||
(между двумя соседними точками касания этой линии с осью Ox) | ||
OY | ||
. | ||
OY | ||
, при , , при , | OY | |
OY | ||
OY | ||
OY | ||
OY | ||
и касательная к этой кривой в начале координат | OY | |
и касательная к этой линии в точке её пересечения с осью Ox | OY | |
OY | ||
OY | ||
Задача 3. Вычислить площадь фигуры.
Для каждого номера варианта задана соответствующая фигура
1. Внутри окружности и одновременно внутри кардиоиды ..
2. Внутри кардиоиды и одновременно внутри окружности .
3. Внутри кардиоиды и одновременно слева от прямой .
4. Внутри окружности и одновременно внутри кардиоиды
5. Внутри кардиоиды и одновременно внутри кардиоиды .
6. Внутри правой ветви лемнискаты и одновременно вне окружности .
7. Внутри кардиоиды и одновременно внутри окружности .
8. Внутри окружности и одновременно вне лемнискаты .
9. Внутри кардиоиды и одновременно внутри окружности .
10. Внутри кардиоиды и одновременно вне окружности .
11. Внутри окружности и одновременно вне окружности .
12. Внутри окружности и одновременно внутри кардиоиды .
13. Внутри окружности и одновременно вне кардиоиды .
14. Внутри лемнискаты и одновременно внутри окружности .
15. Внутри кардиоиды и одновременно вне кардиоиды .
16. Внутри четырёхлепестковой розы и одновременно внутри окружности .
17. Внутри окружности и одновременно вне кардиоиды .
18. Внутри окружности r = 3 и одновременно вне кардиоиды .
19. Внутри кардиоиды и одновременно вне кардиоиды .
20. Внутри кардиоиды и одновременно справа от прямой .
21. Внутри окружности и одновременно внутри лемнискаты .
22. Внутри окружности и одновременно вне кардиоиды .
23. Внутри кардиоиды и одновременно вне окружности .
24. Внутри лемнискаты и одновременно вне окружности .
25. Внутри кардиоиды и одновременно внутри окружности
26. Между двумя лемнискатами и .
27. Внутри кардиоиды и одновременно вне окружности .
28. Внутри кардиоиды и одновременно вне кардиоиды .
29. Внутри окружности и одновременно вне четырёхлепестковой розы .
30. Внутри окружности и одновременно вне трёхлепестковой розы .
Задача 4. Вычислить длину дуги кривой.
Вар. | Уравнение кривой ограничения на переменные |
, | |
, внутри | |
, , | |
, вне | |
, | |
, | |
, внутри ветвей гиперболы | |
, | |
, | |
, | |
, внутри ветвей гиперболы | |
, внутри окружности | |
, | |
где | |
, | |
, | |
, | |
, | |
, внутри | |
, | |
, внутри | |
, | |
, | |
, | |
между точками пересечения с осью | |
, | |
, |
Задача 5. Вычислить площадь поверхности, полученной при вращении заданных линий вокруг заданной оси.
Вар. | Уравнения кривых, ограничения на переменные | Ось вращения |
, | ||
, | ||
, | ||
, | ||
, | ||
, | ||
, | ||
, | ||
, | ||
, . | ||
, | ||
, | ||
и касательная к этой кривой в точке её пересечения с осью , | ||
, | ||
полярная ось | ||
, | ||
между точками пересечения с осью | ||
, | ||
полярная ось | ||
, касательная к этой кривой в точке с абсциссой и ось | ||
и касательная к этой кривой в точке её пересечения с осью |
Задача 6. Исследовать несобственные интегралы на сходимость.
Вар. | А) | Б) | В) |