Критерий устойчивости Михайлова

Пусть дано уравнение замкнутой системы

где – передаточная функция замкнутой системы.

Тогда дифференциальное уравнение системы, преобразованное по Лапласу можно записать в виде:

где – характеристический полином n-ной степени.

В соответствии с основной теоремой алгебры этот полином можно разложить на множители в виде:

(4)

где p₁, p₂, …, p_n - корни характеристического уравнения А(р) = 0.

Выражение (5) действительно при любых значениях p, в частности при p=jw. Тогда (5) можно переписать так:

(5)

Выражение (5) называется кривой Михайлова и обычно обозначается D(jw) = A(jw). Каждый сомножитель выражения (5) отображается на комплексной плоскости вектором, конец которого лежит на мнимой оси (рис.4).

В основу критерия Михайлова положен принцип аргумента: произведение комплексных чисел имеет аргумент, равный сумме аргументов всех его сомножителей.

В нашем случае при изменении w от -¥ до + ¥ векторы сомножителей (jw - p_i), i = 1,n, поворачиваются на угол p (5). Если корни лежат в левой части полуплоскости, то изменение угла будет положительным, если в правой, то отрицательным. Вектор (jw - p_i) поворачивается против часовой стрелки в левой полуплоскости и по часовой стрелке – в правой.

Запишем выражение (5) в показательной форме. Учтем, что

где ;

Тогда

(6)

Из (5) вытекает, что изменение аргумента вектора Михайлова D(jw) равно сумме изменений аргумента каждого сомножителя выражения (6), т.е.

Если все корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси (т. е. система устойчива), то изменение аргумента каждого из сомножителей (jw - p_i) при изменении w от –¥ до + ¥, равно +p, а изменение аргумента произведения всех сомножителей Darg D(jw) = + pn.

Если хотя бы один корень будет расположен в правой полуплоскости (система неустойчива), то изменение аргумента вектора Михайлова Darg D(jw) = + p(n – 2).

Заметим, что при изменении w от –¥ до + ¥ кривая Михайлова симметрична относительно оси абсцисс, что позволяет ограничиться изучением кривой в диапазоне изменения w от 0 до + ¥. Тогда условие устойчивости системы по Михайлову можно записать в виде

(7)

Годографы кривой Михайлова при изменении w от 0 до + ¥ для устойчивых систем при различных значениях n приведены на рис. 5.

В соответствии с (7) критерий Михайлова формулируется следующим образом: для того, чтобы замкнутая система была ус­тойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при изменении w от 0 до + ¥ вектор Михайлова D(jw) повернулся на угол .

Рассматривая расположение D(jw) на комплексной плоскости (рис.4), условие устойчивости можно сформулировать иначе: чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора D(jw) прошел на комплексной плоскости последовательно n квадрантов в положительном направлении (против часовой стрелки), не проходя через начало координат. Если годограф проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости. Расположение годографа на комплексной плоскости для различных систем иллюстрируется рис. 6.

Пример. Используя критерий Михайлова, оценить устойчивость системы стабилизации угла тангажа самолета и определить критическое значение передаточного числа k_u.

Характеристическое уравнение замкнутой системы было получено выше и имеет вид

Сделаем замену s=jw и выделим вещественную и мнимую части

Построенная при заданных ранее параметрах системы кривая Михайлова имеет вид, показанный на рис.3.7.

Кривая начинается на вещественной положительной полуоси, проходит последовательно 4 квадранта и заканчивается в 4-м квадранте. Следовательно, при данных параметрах исследуемая система устойчива.

Для определения критического значения передаточного числа по углу тангажа составим систему уравнений

Из второго уравнения системы определяем частоту и подставив выражение для нее в первое уравнение, после преобразований получим квадратное уравнение относительно искомого значения передаточного числа

Полученное уравнение абсолютно идентично полученному при решении задачи по критерию Гурвица и результат таким же

Построение кривой Михайлова для систем высокого порядка может быть связано с громоздкими вычислениями и графическими построениями. В этих случаях может быть более просто оценить устойчивость по корням уравнений U(w)=0 и V(w)=0. Определим корни этих уравнений и расположим их на числовой оси

Корни вещественные и перемежаются между собой. Система стабилизации угла тангажа устойчива.