Поверхности и кривые в пространстве.
Поверхность в декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением вида:
А кривая в общем случае определяется как линия пересечения некоторых поверхностей, т. е. заданием системы двух уравнений:
Классификация поверхностей по типу преобразования пространства.
Выделяются три класса поверхностей: цилиндрические, конические и поверхности вращения.
Цилиндрической поверхностью (цилиндром) называется поверхность инвариантная относительно преобразований параллельного переноса, определяемых любым вектором, коллинеарным некоторому вектору
.
Таким образом, если точка 
принадлежит цилиндру, то и прямая
называемая образующей, принадлежит этому цилиндру (пример рис. 5а). Всякая кривая, лежащая на цилиндре и пересекающая все его направляющие, называется образующей.
Конической поверхностью (конусом) называется поверхность, инвариантная относительно преобразования гомотетии с произвольным коэффициентом 
и центром в некоторой точке , называемой вершиной конуса.
Следовательно, если точка 
принадлежит конусу, то и вся прямая
называемая образующей, целиком лежит на конусе (пример рис. 3). Всякая кривая, лежащая на конусе и пересекающая все его направляющие, называется образующей.
Поверхностью вращения называется поверхность, инвариантная относительно поворотов на любой угол 
вокруг некоторой фиксированной оси 
. Эта поверхность может быть получена вращением вокруг оси кривой получающейся в сечении поверхности любой плоскостью, проходящей через эту ось.
Алгебраические поверхности второго порядка.
Алгебраической поверхностью второго порядка называется поверхность, уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид:
,
где не все коэффициенты при членах второго порядка одновременно равны нулю.
Поверхность второго порядка, рассматриваемая, как геометрический объект, не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Исходное уравнение и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны.
Если поверхность не является вырожденной (т. е. не представляет собой пустое множество, точку, плоскость, пару плоскостей или мнимые поверхности), то преобразованием декартовой прямоугольной системы координат ее уравнение может быть приведено к одному из следующих видов, называемых каноническими и определяющих тип поверхности:
1. Эллипсоид: 
(рис.1)
2. Гиперболоид
а) однополостный: 
(рис.2а),
б) двуполостный: 
(рис.2б).
3. Конус второго порядка: 
(рис.3),
4. Параболоид
а) эллиптический: 
(рис. 4а),
б) гиперболический: 
(рис. 4б).
5. Цилиндр второго порядка
а) эллиптический: 
(рис. 5а),
б) гиперболический: 
(рис. 5б),
в) параболический: 
(рис. 5в)
Рис 1.
а) 
б) 
Рис 2.
Рис 3.
а) 
б) 
Рис 4.
а) б)
в)
Рис 5.
Одним из основных методов исследования формы поверхности по ее уравнению является метод сечений. Он состоит в анализе пересечений уравнения поверхности 
с плоскостями, параллельными координатным плоскостям, например, с плоскостями вида 
. Для каждого значения с, система:
задает соответствующее пересечение.
В качестве примера рассмотрим исследование методом сечений эллиптического параболоида, заданного каноническим уравнением: .
В сечении плоскостью имеем эллипсы 
, при 
. Оси эллипса с ростом параметра 
увеличиваются. При этом при 
сечение совпадает с началом координат и пусто при 
. Таким образом, уже можно представить форму поверхности (рис. 6а).
В сечении этой же поверхности плоскостями 
и 
соответственно получим параболы
которые имеют равные параметры, не зависящие от , но у которых меняется начало координат в зависимости от . Данные сечения могут дать еще одно геометрическое построение эллиптического параболоида (рис. 6б и рис. 6в соответственно)
а) б) в)
Рис 6.