Доказательство формулы.
Вспомним, что по правилу дифференцирования произведения, которое мы доказывали в прошлом семестре: = . Тогда = .
Тогда и неопределённые интегралы от этих двух функций совпадают:
= .
Но первообразная от производной, это сама функция и есть, т.е.
.
Поэтому = .
Задача 1. Вычислить .
Решение. Если обозначить , , то при переходе к степенной понизится степень, в данном случае она вообще перейдёт в 1. А вот для второго множителя переходим к первообразной, но там не усложняется, остаётся точно так же как и было, . Поэтому на следующем шаге интеграл содержит вообще не два множителя, а один!
Составим таблицу:
= , тогда получаем ответ: .
Задача 2. Вычислить интеграл: Составим таблицу:
После применения формулы, останется интеграл, в котором всего лишь один множитель, а не два, потому что переходит в 1, и один из множителей исчезает.
= = .
А есть такие случаи, когда функция состоит не из 2 множителей, а всего из одного, но мы ведь всё равно можем считать, что второй множитель есть, только он равен 1.
Задача 3. Вычислить .
Решение. Пусть , так надо, чтобы понизилась степень на следующем шаге. Составим таблицу:
Тогда = = .
Ответ. .
Задача 4. Вычислить интеграл .
Решение. Так как степенная функция 2-й степени, то эта задача решается в 2 шага. На первом шаге, обозначаем , .
Тогда = .
На 2-м шаге, обозначим , .
В скобке происходит вычисление как бы для нового примера, выполним это вложенное действие:
= = .
Итак, ответ: .
Задача 5. .
Решение. Обозначим через u всю функцию, которая есть в этом интеграле. Несмотря на то, что один сомножитель, можно условно считать, что их два, но просто второй равен 1.
Здесь производная от подынтегральной функции устроена лучше и проще, чем сама функция, но правда, пришлось допустить некоторое незначительное усложнение типа функции при переходе от к .
= = = .
Задача 6. Вычислить интеграл
Производная арктангенса это рациональная дробь. И это мы используем, обозначая её при интегрировании по частям:
Тогда: = .
Второе слагаемое далее уже решается подведением под знак dx.
= =
= =
. Знак модуля даже не нужен, т.к. .
(циклические интегралы)
Задача 7. Вычислить интеграл
Решение. Пусть .
. На первом шаге, обозначаем , .
. = .
На 2-м шаге, в том интеграле, который получился, обозначим аналогичным образом: , .
Получается = = .
Из равенства можно выразить :
, .
Примечание. Интегралы вида и называются «циклические интегралы», потому что они решаются таким способом: через 2 цикла вычисления получается сведение к исходному интегралу.
Ответ. = .
Задача 8. Вычислить .
Решение. На первом шаге,
= . Теперь в скобках аналогичное выражение, применим к нему такие же преобразования.
Продолжим преобразования:
=
.
После двух действий, мы видим снова интеграл в конце строки.
Можно записать так, раскрыв скобки:
. А теперь можно просто выразить это арифметическим путём.
.
Итак, = .
Задача 9. Вывести формулу вычисления интегралов вида .
Решение. Обозначим всю функцию через u и применим интегрирование по частям, и при этом формально считаем второй множитель равным 1. Для удобства, временно применим отрицательные степени вместо дробей.
= = =
Теперь можем разбить на две дроби, интеграл от первой сводится к , а второй к .
= , то есть
, откуда выразим через :
,
вывели «рекурсивную» формулу , с помощью которой интеграл такого типа для большей степени сводится к меньшей степени, а значит, все они последовательно сводятся к , который равен .
Задача 10. Вычислить интеграл .
Решение. Применим формулу, при этом n+1 = 2 (n=2 было бы неправильно, ведь в формуле та степень, которую выражаем, это n+1 а та, через которую, это n).
При этом n = 1. a = 1.
Формула приобретает такой вид: .
Ответ: = .
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Задача 11. Вычислить .
Решение. Здесь неправильная дробь. Сначала нужно выделить целую часть дроби и отделить правильную дробь. В данном случае для этого достаточно прибавить и отнять 2 в числителе.
= = = =
= и теперь, когда разбили на сумму или разность табличных интегралов, получаем ответ: .
Ответ. .
Задача 12. Вычислить .
Решение. В данном случае неправильная дробь, причём степень в числителе более высокая. Можно применить общий метод выделения целой части, то есть поделить числитель на знаменатель.
Получили частное , остаток . Теперь можно представить в виде суммы интегралов:
= = .
Впрочем, можно и не делить столбиком, а просто отнять и прибавить 25, тогда = = что тоже приводит к .
Теперь, когда свели к сумме табличных интегралов, то с помощью уже ранее изученных действий получаем ответ:
Ответ. .
Задача 13. Вычислить .
Решение. Дискриминант знаменателя отрицательный, поэтому здесь невозможно сделать как в прошлой задаче, так как нет корней знаменателя и дробь невозможно свести к виду .
Но при D < 0 можно выделить полный квадрат:
= = .
С помощью замены сводится к интегралу:
= , и далее с помощью обратной замены получаем ответ.
Ответ. .
Задача 14. Вычислить .
Решение. В предыдущей задаче было D<0, а в этой D=0.
Выделяя полный квадрат, получим = .
В этом случае сводится не к арктангенсу, а к степенной функции, потому что получается = = .
Ответ. .
Задача 15. Вычислить .
Решение. = = = = .
Для того, чтобы применить формулу,
нужно обозначить . Но сначала сделаем так, чтобы и в числителе оказался не просто а :
= = .
Теперь интеграл имеет вид , и равен .
После обратной замены получаем ответ.
Ответ. .
Тригонометрические преобразования.
Кроме различных арифметических преобразований типа разложения многочленов или дробей, существуют задачи, в которых нужно выполнить тригонометрические преобразования подынтегральной функции.
Задача 16. Вычислить интеграл .
Решение. Воспользуемся формулой понижения степени, чтобы перейти от степеней тригонометрических функций к выражениям типа или .
= = = .
Ответ. .
Задача 17. Вычислить .
Решение. Здесь можно было бы применить формулу для косинуса двойного угла, но это преобразование бы только увеличило степени. Поэтому в данном случае для удобнее применить формулу понижения степени ко второму множителю и не менять первый.
= = =
= = .
Первый интеграл вычисляется уже известным способом, а во втором снова понизим степень.
= = .
Ответ. .