Тригонометрические преобразования.




Доказательство формулы.

Вспомним, что по правилу дифференцирования произведения, которое мы доказывали в прошлом семестре: = . Тогда = .

Тогда и неопределённые интегралы от этих двух функций совпадают:

= .

Но первообразная от производной, это сама функция и есть, т.е.

.

Поэтому = .

Задача 1. Вычислить .

Решение. Если обозначить , , то при переходе к степенной понизится степень, в данном случае она вообще перейдёт в 1. А вот для второго множителя переходим к первообразной, но там не усложняется, остаётся точно так же как и было, . Поэтому на следующем шаге интеграл содержит вообще не два множителя, а один!

Составим таблицу:

= , тогда получаем ответ: .

 

Задача 2. Вычислить интеграл: Составим таблицу:

После применения формулы, останется интеграл, в котором всего лишь один множитель, а не два, потому что переходит в 1, и один из множителей исчезает.

= = .

 

А есть такие случаи, когда функция состоит не из 2 множителей, а всего из одного, но мы ведь всё равно можем считать, что второй множитель есть, только он равен 1.

Задача 3. Вычислить .

Решение. Пусть , так надо, чтобы понизилась степень на следующем шаге. Составим таблицу:

Тогда = = .

Ответ. .

 

Задача 4. Вычислить интеграл .

Решение. Так как степенная функция 2-й степени, то эта задача решается в 2 шага. На первом шаге, обозначаем , .

Тогда = .

На 2-м шаге, обозначим , .

В скобке происходит вычисление как бы для нового примера, выполним это вложенное действие:

= = .

Итак, ответ: .

 

Задача 5. .

Решение. Обозначим через u всю функцию, которая есть в этом интеграле. Несмотря на то, что один сомножитель, можно условно считать, что их два, но просто второй равен 1.

Здесь производная от подынтегральной функции устроена лучше и проще, чем сама функция, но правда, пришлось допустить некоторое незначительное усложнение типа функции при переходе от к .

= = = .

Задача 6. Вычислить интеграл

Производная арктангенса это рациональная дробь. И это мы используем, обозначая её при интегрировании по частям:

Тогда: = .

Второе слагаемое далее уже решается подведением под знак dx.

= =

= =

. Знак модуля даже не нужен, т.к. .

 

 

(циклические интегралы)

Задача 7. Вычислить интеграл

Решение. Пусть .

. На первом шаге, обозначаем , .

. = .

На 2-м шаге, в том интеграле, который получился, обозначим аналогичным образом: , .

Получается = = .

Из равенства можно выразить :

, .

Примечание. Интегралы вида и называются «циклические интегралы», потому что они решаются таким способом: через 2 цикла вычисления получается сведение к исходному интегралу.

Ответ. = .

 

Задача 8. Вычислить .

Решение. На первом шаге,

= . Теперь в скобках аналогичное выражение, применим к нему такие же преобразования.

 

Продолжим преобразования:

=

.

После двух действий, мы видим снова интеграл в конце строки.

Можно записать так, раскрыв скобки:

. А теперь можно просто выразить это арифметическим путём.

.

Итак, = .

Задача 9. Вывести формулу вычисления интегралов вида .

Решение. Обозначим всю функцию через u и применим интегрирование по частям, и при этом формально считаем второй множитель равным 1. Для удобства, временно применим отрицательные степени вместо дробей.

= = =

Теперь можем разбить на две дроби, интеграл от первой сводится к , а второй к .

= , то есть

, откуда выразим через :

,

вывели «рекурсивную» формулу , с помощью которой интеграл такого типа для большей степени сводится к меньшей степени, а значит, все они последовательно сводятся к , который равен .

 

Задача 10. Вычислить интеграл .

Решение. Применим формулу, при этом n+1 = 2 (n=2 было бы неправильно, ведь в формуле та степень, которую выражаем, это n+1 а та, через которую, это n).

При этом n = 1. a = 1.

Формула приобретает такой вид: .

Ответ: = .

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Задача 11. Вычислить .

Решение. Здесь неправильная дробь. Сначала нужно выделить целую часть дроби и отделить правильную дробь. В данном случае для этого достаточно прибавить и отнять 2 в числителе.

= = = =

= и теперь, когда разбили на сумму или разность табличных интегралов, получаем ответ: .

Ответ. .

Задача 12. Вычислить .

Решение. В данном случае неправильная дробь, причём степень в числителе более высокая. Можно применить общий метод выделения целой части, то есть поделить числитель на знаменатель.

Получили частное , остаток . Теперь можно представить в виде суммы интегралов:

= = .

Впрочем, можно и не делить столбиком, а просто отнять и прибавить 25, тогда = = что тоже приводит к .

Теперь, когда свели к сумме табличных интегралов, то с помощью уже ранее изученных действий получаем ответ:

Ответ. .

Задача 13. Вычислить .

Решение. Дискриминант знаменателя отрицательный, поэтому здесь невозможно сделать как в прошлой задаче, так как нет корней знаменателя и дробь невозможно свести к виду .

Но при D < 0 можно выделить полный квадрат:

= = .

С помощью замены сводится к интегралу:

= , и далее с помощью обратной замены получаем ответ.

Ответ. .

Задача 14. Вычислить .

Решение. В предыдущей задаче было D<0, а в этой D=0.

Выделяя полный квадрат, получим = .

В этом случае сводится не к арктангенсу, а к степенной функции, потому что получается = = .

Ответ. .

Задача 15. Вычислить .

Решение. = = = = .

Для того, чтобы применить формулу,

нужно обозначить . Но сначала сделаем так, чтобы и в числителе оказался не просто а :

= = .

Теперь интеграл имеет вид , и равен .

После обратной замены получаем ответ.

Ответ. .

Тригонометрические преобразования.

Кроме различных арифметических преобразований типа разложения многочленов или дробей, существуют задачи, в которых нужно выполнить тригонометрические преобразования подынтегральной функции.

Задача 16. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся формулой понижения степени, чтобы перейти от степеней тригонометрических функций к выражениям типа или .

= = = .

Ответ. .

 

Задача 17. Вычислить .

Решение. Здесь можно было бы применить формулу для косинуса двойного угла, но это преобразование бы только увеличило степени. Поэтому в данном случае для удобнее применить формулу понижения степени ко второму множителю и не менять первый.

= = =

= = .

Первый интеграл вычисляется уже известным способом, а во втором снова понизим степень.

= = .

Ответ. .

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-04-03 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: