2.1. Пусть под действием управления 
объект перемещается из начального в конечное состояние и описывается уравнениями состояния 
; 
. Необходимо найти такое управляющее воздействие 
, чтобы энергетические затраты на перемещение объекта за время 
были бы минимальными.
Критерий оптимальности в этом случае имеет вид:
.
2.2. Для большей наглядности при рассмотрении данного вопроса будем опираться на данные, выполненной расчётно-графической работы
2.3. Задан исполнительный механизм – двигатель постоянного тока, питаемый от управляемого тиристорного преобразователя. Исполнительный механизм через редуктор перемещает рабочий орган из начального положения φо в конечное φк.
Рисунок 1 – Схема управления исполнительным механизмом
2.4. Для ОУ требуется найти управляющее воздействие, входящее для определенности в последнее уравнение:
(2.1)
Записываем функциональное уравнение (2.2) для объекта ОУ:
(2.2)
Коэффициент матрицы G принят равным единице, т.е. g1(X) = 1. Подставляя уравнение ОУ (2.1) в (2.2), получим:
(2.3)
или
Требуется определить оптимальное управление по критерию расхода «сигнала управления». Тогда в соответствии со свойством 3 необходимо и достаточно выполнить условия:
(2.4)
В этом случае оптимальное управление будет иметь всего два интервала, причем на последнем интервале управление равно нулю, то есть объект (2.1) на втором интервале должен быть устойчив при отсутствии управления.
Определяя из (2.4) коэффициенты g2(X), g3(X),..., gn(X), подставляя их в уравнение (2.2) и интегрируя его, получим искомую функцию переключения и оптимальное управление.
2.5. Для примера выполним синтез оптимальной по энергосбережению («расходу сигнала» управления) привода с двигателем постоянного тока, уравнения которого имеют вид (2.5):
Будем считать уравнения (2.5) уравнениями возмущенного движения в соответствии с концепцией Ляпунова о возмущенном – невозмущенном движении.
Выразим 
из первого уравнения системы (2.5), 
- из второго, 
- из третьего и подставим их в четвертое уравнение системы (2.5). После группировки всех производных слева от знака равенства, обозначая их за производную от функции переключения регулятора положения 
, можно получить:
(2.6)
По функциональному уравнению (2.6) определяем, что для регулятора положение вала:
Интегрируя последнее уравнение и вводя задание по выходной координате (угловому положению вала исполнительного механизма), получим закон управления для регулятора положения вала привода.
2.6. Для примера приведено сравнение потерь энергии и производительности при реализации треугольного и прямоугольного управления САУ ИМ (таблица 1):
Таблица 1 – Таблица соответствия треугольной и прямоугольной диаграмм оптимальности
| Тип схемы управления | Параметр | ||
| Энергосбережение | Производительность | Быстродействие | |
| q | a | T | |
| Δ | 
| 
| 
|
| □ | 
| 
| 
|
| Расчёт соотношений | 
| 
| 
|
| Краткий вывод | При использовании прямоугольной схемы управления потери выше на 33 % | При использовании треугольной схемы управления производительность выше на 15 % | При использовании треугольной схемы быстродействие выше на 11 % |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Современные идеи оптимального управления распространяются не только на технические объекты и технологические процессы в промышленности, но и на такие области, как организация и управление производством, экономика, менеджмент, биология, военное дело и даже политика. В нашем случае круг сужен до вопросов теории оптимального управления применительно к технике.
Современные промышленные производства характеризуются значительной сложностью и высокой интенсивностью технологических процессов, возросшими требованиями к экологической безопасности и надежности работы производственного оборудования. Исключительно важное народно-хозяйственное значение приобретает эксплуатация промышленного оборудования в режимах, близких к предельным возможностям, и построение систем наилучших (оптимальных) по какому-либо техническому или экономическому критерию. Особое место среди такого класса систем занимают системы, оптимальные по быстродействию и точности, функционирование которых обеспечивается релейными (разрывными) управлениями. Сокращение продолжительности переходных процессов при регулировании многих технологических объектов повышает производительность агрегатов, а увеличение точности отработки системой задающих воздействий улучшает качество продукции, что позволяет получить значительный экономический эффект. По мере уменьшения времени изготовления и улучшения качества выпускаемой продукции проблема синтеза релейных систем, оптимальных по точности и времени управления электроприводами становится все более актуальной.
Неослабевающий интерес к релейным управлениям (работы Я.З. Цыпкина, В.А. Олейникова, Ю.А. Борцова и др.) объясняется тем, что такие системы обладают рядом замечательных свойств: инвариантность к внешним возмущениям и низкая чувствительность к параметрическим возмущениям. Известно, что возмущающие воздействия, приложенные к объекту и не превышающие по модулю соответствующих релейных управлений, не вызывают отклонений фазовых координат объекта (работы М.В. Меерова, С.В. Емельянова, Е.А. Барбашина, В.И. Уткина и др.). Следствием реализации в релейной системе бесконечно большого коэффициента усиления с помощью конечных управляющих воздействий является снижение установившейся ошибки и повышение точности до оптимального значения. Известно также, что только релейный закон управления может обеспечить идеальное воспроизведение любого допустимого входного воздействия (работы А.А. Фельдбаума, А.А. Павлова, А. С. Клюева и др.), причем слежение за входным сигналом происходит в скользящем режиме. К достоинствам релейных систем следует также отнести простоту конструкции, настройки и эксплуатации.
С теоретической точки зрения релейные оптимальные системы относятся к классу существенно нелинейных, трудности анализа и синтеза которых широко известны. Несмотря на обилие теоретических работ по оптимальному управлению, если оценивать приведенные в них результаты с практической точки зрения, то их, к сожалению, следует признать весьма скромными. Как отмечает А. А. Колесников в книге Синергетическая теория управления. - М.: Энергоатомиздат, 1994. - 344 с. "...ситуация в этой области приняла в настоящее время угрожающий и, по всем признакам, кризисный характер" Авторы справочника по теории автоматического управления (ТАУ) под редакцией А.А. Красовского поясняют, что "...в развитии современной ТАУ (СТАУ) с точки зрения практики далеко не все обстоит благополучно. Классическую ТАУ в основном создавали инженеры для инженеров. СТАУ создают в основном математики для инженеров и во все большей мере математики для математиков. Последнее с точки зрения практики вызывает определенное беспокойство...". Авторы монографии Современная прикладная теория управления. Под ред. А.А. Колесникова - М: Изд-во ТРТУ, 2000. - 400 с. связывают пути выхода из кризисной ситуации с тем, что "в самые последние годы появились новые фундаментальные направления в теории и технике управления. Их развитие может приобрести важное практическое значение. К таким направлениям можно отнести физическую теорию управления, синергетический подход к проблемам управления..." и далее они отмечают, что "Основное внимание ученых и политиков все в большей мере концентрируется на фундаментальных проблемах управления, связанных с ресурсосберегающими технологиями".
Итак, в настоящее время не существует законченных общетеоретических методов исследования и аналитического конструирования высокоточных, быстродействующих и энергосберегающих систем управления нелинейными электромеханическими объектами. Причинами этого являются: невыполнение для них принципа суперпозиции; разнообразие классов функций, используемых для описания динамики нелинейных ОУ и СУ; разнообразие требований к качеству процессов в различных режимах функционирования СУ; различные уровни сложности управляемых объектов, характеризуемые многомерностью, многосвязностью, многоконтурностью и т.д.; отсутствие общего математического аппарата для аналитического решения систем нелинейных дифференциальных уравнений. Для многих практически важных классов электромеханических нелинейных объектов отсутствуют теоретически законченные, относительно простые, инженерные методы проектирования систем управления. Следовательно, в данном направлении поле деятельности для развития и разработок весьма велико.