Теорема сложения вероятностей

1) вероятность суммы двух событий А и В можно найти по формуле:

, (9)

если события несовместны, то

; (4)

2) вероятность суммы n событий:

(11)

Терема умножения вероятностей

1) вероятность произведения двух событий

; (12)

если события А и В независимы, то

; (5)

2) вероятность произведения n событий

;

если события независимы в совокупности (т.е. каждое событие из совокупности попарно независимо с остальными, а также со всевозможными произведениями остальных событий), то .

Формула полной вероятности

Пусть задана полная группа событий: { H ₁, H ₂, …, H_n }. Для них выполняется: . Тогда вероятность некоторого события А, зависимого от H ₁, H ₂, …, H_n можно найти по формуле:

. (6)

Формула Байеса

1) для событий А и В:

;

2) для полной группы событий (гипотез) вероятность гипотезы при условии, что событие А произошло, равна:

. (7)

Формула Бернулли

Пусть при проведении серии n независимых испытаний в каждом из них событие А происходит с вероятностью р и не происходит с вероятностью . Пусть при этом событие В заключается в том, что событие А в серии n независимых испытаний произошло m раз. Тогда вероятность события В можно найти по формуле:

. (8)

Локальная формула Муавра-Лапласа (предельная теорема Муавра-Лапласа):

. (17)

Формула даёт наиболее точное значение при n > 100, а npq > 20.

Исходя из формулы Муавра-Лапласа, вероятность события В (в серии n независимых испытаний событие А произошло m раз) можно также получить, используя функцию Гаусса (её значения приведены в приложении Б): , тогда

. (9)

Интегральная формула Муавра-Лапласа

При большом числе испытаний в качестве события В рассматривают событие, заключающееся в том, что число успехов (наступлений события А) лежит в некотором интервале. Тогда справедлива интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа:

(19)

Так как значения функции (функции Лапласа) известны (приложение Б), то вероятность события В, исходя из интегральной формулы Муавра-Лапласа, находят следующим образом:

(10)

Формула Пуассона

Нахождение вероятности события B (в серии n независимых испытаний событие А произошло m раз) по формуле Бернулли при больших затруднителен. Но в случае малой вероятности успеха, можно оценить вероятность B следующим образом: если и , то . Обозначив , получим:

. (11)

Параметр равен среднему числу успехов в серии из испытаний, т.е. ожидаемому числу успехов, где под понимается частота успеха.

Случайные величины

Случайная величина – переменная величина, которая принимает значения в зависимости от исходов испытания, т.е. случайным образом. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены, [1, с. 57].

Дискретная случайная величина – случайная величина, принимающая конечное или счётное множество значений.

Непрерывная случайная величина – случайная величина, принимающая значения из некоторого промежутка.

Закон распределения дискретной случайной величины – соответствие между значениями этой величины и их вероятностями . Закон распределения дискретной случайной величины задаётся таблично или аналитически: