Модуль «Реальная математика»

ЧАСТЬ 1

Модуль «Алгебра»

1. Рас­по­ло­жи­те в по­ряд­ке воз­рас­та­ния:

1)	2)
3)	4)

Ре­ше­ние.

За­пи­шем за­дан­ные чис­ло­вые вы­ра­же­ния в виде де­ся­тич­ных дро­бей:

 

 

За­ме­тим, что По­это­му вер­ный ва­ри­ант от­ве­та ука­зан по но­ме­ром 4.

Ответ: 4

2. Одна из точек, от­ме­чен­ных на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой, со­от­вет­ству­ет числу . Какая это точка?

1) точка M; 2) точка N; 3) точка P; 4) точка Q.

Ре­ше­ние.

Воз­ведём в квад­рат числа 3, 4, 5:

 

 

Число 14 лежит между чис­ла­ми 9 и 16 и на­хо­дит­ся ближе к числу 16, по­это­му со­от­вет­ству­ет точке N.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

3. Пред­ставь­те вы­ра­же­ние в виде сте­пе­ни с ос­но­ва­ни­ем c.

1) c ¹⁸
2) c ⁵
3) c ⁻²⁹
4) c ⁻¹⁶

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние:

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

4. Ре­ши­те урав­не­ние

Ре­ше­ние.

Умно­жим левую и пра­вую часть урав­не­ния на 4, по­лу­ча­ем:

 

 

Ответ: −20.

Ответ: -20

5. На одном из ри­сун­ков изоб­ра­жен гра­фик функ­ции Ука­жи­те номер этого ри­сун­ка.

 

1)		2)
3)		4)

6. Рас­по­ло­жи­те в по­ряд­ке убы­ва­ния числа: ; ; 5,5.

 

1)
2)
3)
4)

Ре­ше­ние.

Гра­фик функ­ции про­хо­дит через точку (−1; 2). Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко гра­фик, изоб­ражённый на ри­сун­ке 4.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

Ре­ше­ние.

Опре­де­лим раз­ность гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии:

 

 

Член гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии с но­ме­ром может быть най­ден по фор­му­ле

 

 

Не­об­хо­ди­мо найти , имеем:

 

 

 

Ответ: 256.

Ответ: 256

7. Упро­сти­те вы­ра­же­ние и най­ди­те его зна­че­ние при .

 

 

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

 

 

Най­дем зна­че­ние вы­ра­же­ния при :

 

 

Ответ: 1,7.

Ответ: 1,7

8. Ре­ши­те не­ра­вен­ство . Укажите наибольшее целое отрицательное число, являющееся решением неравенства.

Модуль «Геометрия»

Ре­ше­ние.

Решим не­ра­вен­ство:

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

9. Раз­ность углов, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не па­рал­ле­ло­грам­ма, равна 40°. Най­ди­те мень­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма. Ответ дайте в гра­ду­сах.

10. Най­ди­те боль­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD, если диа­го­наль AC об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем AD и бо­ко­вой сто­ро­ной AB углы, рав­ные 30° и 45° со­от­вет­ствен­но.

Ре­ше­ние.

Пусть мень­ший угол равен тогда боль­ший угол равен

По­сколь­ку сумма од­но­сто­рон­них углов равна 180°, имеем:

Таким об­ра­зом, наи­мень­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма равен 70°.

 

Ответ: 70.

Ответ: 70

Ре­ше­ние.

Тан­генс угла равен от­но­ше­нию про­ти­во­ле­жа­ще­го углу ка­те­та к при­ле­жа­ще­му:

 

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

11. Диа­го­наль тра­пе­ции делит её сред­нюю линию на от­рез­ки, рав­ные 4 см и 3 см. Най­ди­те мень­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Пусть KN — сред­няя линия тра­пе­ции, где L — точка пе­ре­се­че­ния с диа­го­на­лью.

Так как KN — сред­няя линия тра­пе­ции, то KL и LN сред­ние линии тре­уголь­ни­ков ABC и СAD со­от­вет­ствен­но.

 

 

 

Таким об­ра­зом, длина мень­ше­го ос­но­ва­ния равна 6 см.

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

12. На ри­сун­ке изоб­ра­же­на тра­пе­ция . Ис­поль­зуя ри­су­нок, най­ди­те .

Ре­ше­ние.

Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му. Тре­уголь­ник — пря­мо­уголь­ный по­это­му

Вы­чис­лим по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра длину ги­по­те­ну­зы :

 

 

Тогда

Ответ: 0,8.

Ответ: 0,8

13. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

 

1) Пло­щадь тра­пе­ции равна по­ло­ви­не вы­со­ты, умно­жен­ной на раз­ность ос­но­ва­ний.

2) Через любые две точки можно про­ве­сти пря­мую.

3) Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, можно про­ве­сти един­ствен­ную пря­мую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную дан­ной пря­мой.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

 

 

Модуль «Реальная математика»

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Пло­щадь тра­пе­ции равна по­ло­ви­не вы­со­ты, умно­жен­ной на раз­ность ос­но­ва­ний.» — не­вер­но, пло­щадь тра­пе­ции равна по­ло­ви­не вы­со­ты, умно­жен­ной на сумму ос­но­ва­ний.

2) «Через любые две точки можно про­ве­сти пря­мую.» — верно, это ак­си­о­ма гео­мет­рии.

3) «Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, можно про­ве­сти един­ствен­ную пря­мую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную дан­ной пря­мой.» — верно, это тео­ре­ма пла­ни­мет­рии.

 

Ответ: 2; 3.

Ответ: 2; 3

14. На диа­грам­ме по­ка­за­но ко­ли­че­ство по­са­жен­ных де­ре­вьев и ку­стар­ни­ков в г. Сочи за пе­ри­од с 2009 по 2012 гг. Опре­де­ли­те, сколь­ко всего было по­са­же­но зелёных на­саж­де­ний за 2011 г. и 2012 г.?

1) 10 000; 2) 4 000; 3) 12 000; 4) 8 000.

Ре­ше­ние.

Зе­ле­ные на­саж­де­ния, по­са­жен­ные в 2011 году со­от­вет­ству­ют на диа­грам­ме столб­цу 3, в 2012 году — столб­цу 4. Из диа­грам­мы мы видно, что в 2011 было по­са­же­но 8 тысяч, в 2012 году — 4 ты­ся­чи зелёных на­саж­де­ний. Таким об­ра­зом, за 2011 и 2012 года было по­са­же­но 12 000 зелёных на­саж­де­ний.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 3.

Ответ: 3

15. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик из­ме­не­ния силы тока при под­клю­че­нии цепи, со­дер­жа­щей рео­стат, к ис­точ­ни­ку тока. По вер­ти­каль­ной оси от­кла­ды­ва­ет­ся сила тока (в A), по го­ри­зон­таль­ной — время (в сек). По ри­сун­ку опре­де­ли­те силу тока через 6 се­кунд с мо­мен­та под­клю­че­ния дан­ной цепи.

Ре­ше­ние.

По гра­фи­ку видно, что через 6 се­кунд сила тока до­стиг­ла зна­че­ния в 4 ам­пе­ра.

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

16. Какая сумма (в руб­лях) будет про­став­ле­на в кас­со­вом чеке, если сто­и­мость то­ва­ра 520 р., и по­ку­па­тель опла­чи­ва­ет его по дис­конт­ной карте с 5%-ной скид­кой?

Ре­ше­ние.

Рас­счи­та­ем скид­ку, ко­то­рую по­лу­ча­ет по­ку­па­тель опла­чи­вая товар по дис­конт­ной карте с 5%-ной скид­кой: руб. Таким об­ра­зом, ито­го­вая цена со скид­кой равна: руб.

Ответ: 494.

Ответ: 494

17. Какой угол (в гра­ду­сах) об­ра­зу­ют ми­нут­ная и ча­со­вая стрел­ки часов в 5 ч?

Ре­ше­ние.

Ча­со­вы­ми де­ле­ни­я­ми ци­фер­блат раз­бит на 12 кру­го­вых сек­то­ров. Угол каж­до­го из них равен 360°: 12 = 30°. Между ми­нут­ной и ча­со­вой стрел­кой пять ча­со­вых де­ле­ний. Они об­ра­зу­ют угол 150°.

 

Ответ: 150.

Ответ: 150

18. На диа­грам­ме пред­став­ле­но рас­пре­де­ле­ние ко­ли­че­ства поль­зо­ва­те­лей не­ко­то­рой со­ци­аль­ной сети по стра­нам мира. Всего в этой со­ци­аль­ной сети 12 млн поль­зо­ва­те­лей.

Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

 

1) Поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Бе­ло­рус­сии и Укра­и­ны вме­сте.

2) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей Лат­вии.

3) При­мер­но две трети об­ще­го числа поль­зо­ва­те­лей — из Рос­сии.

4) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны боль­ше 3 мил­ли­о­нов.

 

В ответ за­пи­ши­те номер вы­бран­но­го утвер­жде­ния.

 

Ре­ше­ние.

Разъ­яс­ним каж­дый ва­ри­ант от­ве­та:

1) Оче­вид­но, что поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны и Бе­ло­рус­сии вме­сте.

2) Сек­тор «Укра­и­на» за­ни­ма­ет боль­шую пло­щадь диа­грам­мы, чем сек­тор «Дру­гие стра­ны», а т. к. «Лат­вия» вклю­че­на в «Дру­гие стра­ны», имеем: поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Лат­вии.

3) Сек­тор в две трети диа­грам­мы от­се­ка­ет­ся углом в 2·360°/3 = 240°. Оче­вид­но, что угол, от­се­ка­ю­щий сек­тор «Рос­сия» при­мер­но равен 240°, зна­чит при­мер­но две трети об­ще­го числа поль­зо­ва­те­лей — из Рос­сии.

4) Видно, что поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны мень­ше чет­вер­ти всех поль­зо­ва­те­лей, зна­чит, мень­ше 12/4=3 мил­ли­о­нов.

Ответ: 4.

Ответ: 4

19. Ро­ди­тель­ский ко­ми­тет за­ку­пил 25 паз­лов для по­дар­ков детям на окон­ча­ние года, из них 15 с ма­ши­на­ми и 10 с ви­да­ми го­ро­дов. По­дар­ки рас­пре­де­ля­ют­ся слу­чай­ным об­ра­зом. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Толе до­ста­нет­ся пазл с ма­ши­ной.

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность по­лу­чить пазл с ма­ши­ной равна от­но­ше­нию числа паз­лов с ма­ши­ной к об­ще­му числу за­куп­лен­ных паз­лов, то есть .

Ответ: 0,6.

Ответ: 0,6

20. Пло­щадь лю­бо­го вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка можно вы­чис­лять по фор­му­ле , где — длины его диа­го­на­лей, а угол между ними. Вы­чис­ли­те , если .

ЧАСТЬ 2

Модуль «Алгебра»

Ре­ше­ние.

Вы­ра­зим :

Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

 

 

Ответ: 0,4.

Ответ: 0,4

Ре­ше­ние.

1) .

2) .

Ответ: −3.

21. Из пунк­тов А и В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 27 км, вышли од­но­вре­мен­но нав­стре­чу друг другу два пе­ше­хо­да и встре­ти­лись в 15 км от А. Най­ди­те ско­рость пе­ше­хо­да, шед­ше­го из А, если из­вест­но, что он шёл со ско­ро­стью, на 2 км/ч боль­шей, чем вто­рой пе­ше­ход, и сде­лал в пути по­лу­ча­со­вую

оста­нов­ку.

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость пе­ше­хо­да, шед­ше­го из пунк­та A, равна км/ч. Тогда ско­рость пе­ше­хо­да, шед­ше­го из пунк­та B, равна км/ч. Время дви­же­ния пе­ше­хо­да из пунк­та A до места встре­чи ч на пол­ча­са мень­ше, чем время дви­же­ния дру­го­го пе­ше­хо­да ч. Со­ста­вим урав­не­ние: . После пре­об­ра­зо­ва­ния оно при­мет вид: Корни урав­не­ния 6 и -10. Зна­чит, ско­рость пе­ше­хо­да, шед­ше­го из А, равна 6 км/ч.

Ответ: 6.

Модуль «Геометрия»

Ре­ше­ние.

Рас­кры­вая мо­ду­ли, по­лу­ча­ем, что при функ­ция при­ни­ма­ет вид при функ­ция при­ни­ма­ет вид а при функ­ция при­ни­ма­ет вид

Гра­фик функ­ции изоб­ражён на ри­сун­ке.

Пря­мая имеет с гра­фи­ком дан­ной функ­ции ровно одну общую точку при

 

Ответ:

22. Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен 30, а диа­го­наль равна 14. Най­ди­те пло­щадь этого пря­мо­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Пусть одна из сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна . Тогда дру­гая сто­ро­на равна , а пло­щадь . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

 

 

 

 

 

Зна­чит, ис­ко­мая пло­щадь равна 14,5.

Ответ: 14,5.