Компенсационные и апериодические регуляторы




 

Главной задачей замкнутых систем регулирования является воспроизведение с максимальной точностью заданного сигнала

 

.

 

 

 

а)

 

 
 

 


б)

 

Рис.2.1 Система с дискретным ПИД-регулятором

 

Т.е. регулятор должен компенсировать инерционность объекта. Для одноконтурных систем управления на рис.1.5. передаточная функция замкнутой системы при полной компенсации должна представлять безинерционное звено, например с коэффициентом kс

 

.

 

Приняв для упрощения вывода WСП(p)=1 и WД(p)=1 согласно (1.5) получим

 

 

Откуда при kс<1 (в этом проявляется этатизм системы) выражение для передаточной функции компенсационного регулятора определяется следующим образом

 

.

Например, для объекта первого порядка

 

,

 

где ;

 

Т.е. для полной компенсации требуется реализовать идеальное дифференцирующее звено, что на практике не осуществимо. Поэтому требования к компенсационному регулятору необходимо ослабить

 

 

где Wg(p) - желаемая передаточная функция замкнутой системы. Из (2.16) следует, что

 

.

 

Передаточная функция Wg(p) должна выбираться из двух противоречивых условий ­­­- возможно более точного воспроизведение задающего сигнала и реализуемости регулятора. Признаком реализуемости непрерывной передаточной функции является

m £ n

где m - порядок полинома числителя;

n - порядок полинома знаменателя.

Учитывая, что при перемножении полиномов их порядки складываются, условие реализуемости компенсационного регулятора согласно (2.18) будет определятся следующим выражением

 

 

где n и m - соответственно порядок числителя и знаменателя желаемой передаточной функции.

Для рассматриваемого примера с объектом первого порядка это условие будет иметь вид

 

.

 

Значить минимальное значение порядков числителя и знаменателя Wg(p), очевидно, будет следующим

n = 0; m = 1.

Т. е. желаемая передаточная функция будет иметь вид звена первого порядка

 

,

 

но в отличии от объекта зададим условие Tg << To.

По формуле (2.17) получим

.

 

Для удовлетворения требования (2.16) в установившемся режиме примем kg = 1. В этом случае

 

,

 

где ; .

Таким образом получили реализуемый ПИ-регулятор. При Tg®0 обеспечивается приближение к требованию (2.16) и в переходных режимах. Практически минимальное значение Tg ограничивается технической реализуемостью коэффициентов kП и kИ, величина которых возрастает с увеличением Tg, и помехозащищенность контура регулирования.

Если объект более высокого порядка, то согласно условию (2.20) соответствующий порядок будет иметь компенсационный регулятор. Задача упрощается, когда модель объекта можно представить в виде последовательно соединенных простейших звеньев с измеряемыми выходными сигналами. В этом случае инерционность каждого звена компенсируется своим регулятором. По этому принципу строятся системы подчиненного (каскадного) регулирования.

Очевидно, что выражение (2.17) справедливо и для одноконтурной дискретной системы (рис.1. 5).

 

, (2.21)

 

где WC(z) - дискретная передаточная функция объекта с формирующим звеном.

Из этого выражения следует, что

 

. (22)

 

Условие реализуемости дискретной передаточной функции определяется также соотношением (2.20), где m и n - порядок полинома числителя и знаменателя положительных степеней относительно переменной z. В противном случае выходной сигнал с выхода дискретного звена будет зависеть от значения выходного сигнала в такты времени, которое еще не поступило, что практически не реализуемо. Следовательно, реализуемость дискретного компенсационного регулятора также определяется условием (2.20).

Рассмотрим определение WR(z) также на примере первого порядка.

В преобразований получим выражение, аналогичное выражению (1.25)

 

, (2.23)

 

где ; .

Необходимо отметить, что в дискретной системе на минимальную величину Tg накладывается дополнительное ограничение (2.12), связанное с длительность периода квантования Т.

Подставляя в (2.22) выражения для передаточных функций (1.25) и (2.23), получим

 

 

или

 

 

где ; .

Т. е. получили дискретный ПИ-регулятор.

Особый интерес в дискретных системах представляет особой вид компенсационных регуляторов, которые обеспечивают апериодическую обработку ступенчатого задающего сигнала за n-тактов, где n - порядок объекта управления. Такие регуляторы называются апериодическими.

Если передаточная функция объекта совместно с формирователем имеет вид

 

(2.24)

 

Т. е. желаемая передаточная характеристика замкнутой системы регулирования, которая соответствует апериодическому переходному процессу за n тактов будет определятся следующим выражением

 

(2.25)

 

где

.

 

Убедимся, что при ступенчатом воздействии uз(k)=const при k=0,1,2… переходный процесс закончится за n тактов. В соответствии с (2.24) и (2.25) выходная координата определяется выражением

 

.

 

Применив к этому выражению обратное z-преобразование получим следующее разностное уравнение

 

.

 

Определим y(k) при k=1,2,3…

 

;

;

…………………………………………………………………….

;

;

……………………………………………………………………..

 

Учитывая, что uз(k) постоянная величина, ее можно вынести за скобки. Из анализа двух последних выражений видно, y(n+1)=y(n). Т. е. переходный процесс закончился за n тактов. Подставив из (2.24) выражение для коэффициента q0, получим, что за это время выходная координата достигает заданного значения

 

.

 

Определим передаточную функцию регулятора, который обеспечивает такой апериодический переходный процесс. Подставим в (2.22) выражение для передаточных функций (2.24) и (2.25)

 

.

 

После преобразования получим передаточную функцию апериодического регулятора

 

(2.26)

 

В развернутом виде согласно (2.23) и (2.25) получим

 

, (2.27)

 

где q0=1/Sbi; qi=q0ai; pi=-q0bi, i=1,2,…,n;

ai, bi - коэффициенты передаточной функции объекта управления.

В качестве примера определим апериодический регулятор для объекта первого порядка (1.25). Подставив в (2.27) значение коэффициентов передаточной функции (1.25), определим, что

 

(2.28)

 

где ; ;

; .

 

Полученная передаточная функция соответствует типовому дискретному регулятору (2.5) при n=1. Т.е. апериодический регулятор для объекта первого порядка представляет собой дискретный ПИ-регулятор. Отличие регулятора (2.28) состоит в том, что его коэффициенты определены из условия достижения выходной координаты за один такт квантования (в рассматриваемом примере n=1). Убедимся в этом, подставив в (2.21) выражения передаточных функций (1.25) и (2.28), получим

 

.

 

После элементарных преобразований

 

 

Разностное уравнение, соответствующее этому выражению

 

(2.31)

 

показывают, что величина выходной координаты повторяет задающий сигнал с отставанием на один такт. Т.е. при ступенчатом изменении uз(k) переходный процесс закончится за один такт.

Определим характер изменения управляющего воздействия, поступающего с апериодического регулятора на объект управления. Разностное уравнение, соответствующее передаточной функции апериодического регулятора (2.28), будет иметь вид

 

. (2.32)

 

При k=0 согласно (2.31) y(0)=0, следовательно

 

.

 

Или подставляя выражение для q0 из (2.28) получим

 

. (2.34)

 

При k=1 согласно (2.31) y(1)=uз(0)=uз, следовательно

 

.

 

Принимая во внимание (2.31) и (2.34) получим

 

. (2.35)

 

На рис.2.2 представлены графики зависимости задающего и управляющего сигналов и выходной координаты. Очевидно, что возможность технической реализации апериодического регулятора с величиной периода квантования. Из (2.34) видно, что при Т®0 величина управляющего воздействия u(0)®0. На рис.2 представлены графики переходных процессов при уменьшении периода квантования в два раза. Реально эта величина ограничена определенной величиной umax. При таком ограничении длительность периода квантования может быть определена из (2.34) при uз=1 следующим образом

 

. (2.36)

 

Величина umaxko равна максимальному значению выходной координаты объекта. Отношение есть коэффициент форсировки. При y=1, что соответствует uз=0, выражение (2.36) примет следующий вид

 

. (2.37)

       
   
 
   

 


а) б)

 

Рис.2.2 Переходные процессы в системе с апериодическим

регулятором и объектом первого порядка

 

Для объектов высокого порядка формула расчета из условия ограничения управляющего воздействия значительно усложняется. Наиболее просто задание управляющего воздействия осуществляется с помощью апериодического регулятора повышенного порядка, который производит установление выходной координаты за n+1 тактов. Передаточная функция такого регулятора имеет вид:

 

, (2.38)

 

где – задается;

;

.

Для рассматриваемого в примере объекта первого порядка согласно (1.25) и (2.38) получим следующее выражение

 

, (2.39)

 

где ;

;

;

;

.

 

Если объект имеет на m тактов запаздывание, которое согласно (1.21) в дискретной передаточной функции учитывается сомножителем z-m, то аналогично можно доказать, что передаточная функция апериодического регулятора будет иметь следующий вид:

 

 

Длительность переходного процесса при ступенчатом изменении задания будет составлять, очевидно, n+m тактов.

Из (2.4), (2.27) и (2.39) следует, программно дискретные ПИД - регуляторы и апериодические регуляторы реализуются практически одинаково. Применение того или иного регулятора зависит от конкретных требований к качеству управления, вида объекта управления и допустимой величины периода квантования. Типовые дискретные И, ПИ, ПИД - регуляторы целесообразно применять для объектов не выше третьего порядка или в системах подчиненного или каскадного регулирования особенно для стабилизации выходной координаты при uз=const. Достоинством этих регуляторов является наличие разработанных рекомендаций для их настройки, особенно для случаев, когда синтез можно производить по непрерывному описанию системы управления (условие (2.14)).

Достоинство компенсационных регуляторов состоит в возможности их синтеза путем задания желаемой передаточной функции замкнутой системы. В принципе, порядок объекта не ограничен. Однако, надо учитывать, что результирующая передаточная функция получается путем сокращения полюсов и нулей в передаточной функции объекта управления (путем их компенсации). Поэтому регулятор применим только для устойчивых объектов, т.е. таких, у которых полюсы и нули дискретной передаточной функции лежат на плоскости внутри единичной окружности.

Наиболее просто осуществляется синтез апериодического регулятора. Однако конечное время установления достигается только при точном совпадении модели объекта и истинными параметрами самого объекта. Если такого совпадения нет, то в замкнутой системе могут возникнуть колебания. Поэтому апериодический регулятор целесообразно использовать только для хорошо задемпфированных устойчивых объектов или в системах адаптивного управления с идентификацией параметров объекта.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-11 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: