Предельный переход под знаком интеграла




Глава 7

Собственные интегралы (Римана), зависящие от параметра

Пусть f(x,y) – функция двух переменных, определённая на прямоугольнике

Если для любого существует интеграл, то этот интеграл является функцией от переменной y (которая и называется здесь параметром):

Таким образом, мы получаем новый способ задания функции – в виде интеграла, зависящего от параметра, т.е. определяемые т.о. функции часто используют в математических рассуждениях и приложениях.

Следует иметь ввиду, что

 

 

 

Пример 1. Рассмотрим функцию

 

В этом примере интеграл легко вычислить:

Значит, можно задать и обычным способом:

Однако часто встречаются интегралы, которые не выражаются через элементарные функции. Тогда приходится работать с функцией, заданной в виде интеграла с параметром. Значит, нужно научиться работать с такими функциями – в частности, знать правила их дифференцирования и интегрирования.

Возможна и более сложная ситуация, когда от параметра зависит не только подынтегральная функция, но и пределы интегрирования:

Основные теоремы

Предельный переход под знаком интеграла

Теорема 1 ( о непрерывности интеграла с параметром ).

Если функция f(x,y) непрерывна на прямоугольнике то

функция непрерывна на отрезке

Доказательство. По теореме Кантора, непрерывная на компактном множестве ∆ функция является равномерно непрерывной, т.е.

 

 

Возьмём Тогда из равномерной непрерывности следует:

 

Оценим теперь приращение функции I (y):

 

Итак, что и означает непрерывность функции I (y).

 

Замечание. В теореме 1 требуется, чтобы f (x,y) была непрерывной по обеим переменным в совокупности, т.е. чтобы

 

Недостаточно, чтобы f (x,y) была непрерывной по каждой из переменных. Например, функция

 

 

непрерывна по x (при любом фиксированном y), и непрерывна по y (при любом фиксированном x). Однако она не является непрерывной в точке (0,0) функцией (по совокупности переменных): предел не

существует. В данном случае не справедлив и вывод теоремы 1; например, функция

разрывна в точке y = 0.

Так как непрерывность в точке I (y) означает, по определению, что

в любой точке y 0, то непосредственно из теоремы 1

вытекает

Теорема 2 ( о предельном переходе под знаком интеграла ).

Если f (x,y) непрерывна на то для любого

 

Если – непрерывные функции, а f (x, y) непрерывна на множестве

то можно доказать, что

 

Это утверждение усиливает теоремы 1 и 2.

Ещё одно усиление теорем 1,2 связано с заменой требования непрерывности f (x, y) более слабым условием.

Теорема 3. Если f (x, y) непрерывна по x (при любом фиксированном y) и f (x, y) равномерно сходится к функции g (x) при yy 0, то

 

 

Равномерная сходимость: означает:

 

Доказательство. просто – оно проводится с помощью той же оценки, что и доказательство теоремы 1.

Теорема 3 справедлива также в случае y → ∞, лишь определение равномерной сходимости имеет другой вид:

 

 

Пример 2. Вычислить.

Решение. Так как функция непрерывны при любых

x, y, то возможен предельный переход под знаком интеграла:

 

 

Пример 3. Вычислить.

 

Решение. Подынтегральная функция непрерывна при любых x, y и y →∞ стремится к g (x)= x:

 

 

Эта система равномерная, так как

,

 

если только. Значит, возможен переход к пределу под

знаком интеграла:

.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-11 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: