ПОСТРОЕНИЕ КРИВОЙ ТОКА В КАТУШКЕ С ФЕРРОМАГНИТНЫМ СЕРДЕЧНИКОМ И АНАЛИЗ ЕЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО СОСТАВА

ЗАДАНИЕ НА РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКУЮ РАБОТУ

Электрическая цепь состоит из нелинейной индуктивности (катушки с ферромагнитным сердечником) и линейных элементов R₁, R₂, R₃, L и C. Напряжение на зажимах катушки изменяется по закону u_K = U_Kmsin(ωt + φ). Число витков катушки – w. Длина средней линии магнитопровода – l, поперечное сечение сердечника – S. Кривая намагничивания материала сердечника задана табл. 1.

Таблица 1

Основная кривая намагничивания

Таблица 2

Числовые значения параметров цепи, вариант 656

ПОСТРОЕНИЕ КРИВОЙ ТОКА В КАТУШКЕ С ФЕРРОМАГНИТНЫМ СЕРДЕЧНИКОМ И АНАЛИЗ ЕЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО СОСТАВА

Кривую тока можно получить графическим построением на основе вебер-амперной характеристики катушки ψ(i) и волновой диаграммы потокосцепления ψ(ωt).

Поставленная в заголовке задача решается в несколько этапов.

Прежде всего, строим вебер-амперную характеристику катушки, представляющую зависимость потокосцепления Ψ от тока i. Ее построение осуществляется путем пересчета координат основной кривой намагничивания с помощью формул:

Ψ = wSB;

Подставляя в них значения B и H из табл.1, а w, S и из табл.2, получим точки вебер-амперной характеристики, которые занесем в табл.3. Например:

Ψ = 400 ∙ 6∙10^-4 ∙ 0.2 =0.048 Вб;

i = (30 ∙ 0.8) / 400 = 0.06 А;

Таблица 3

Точки вебер-амперной характеристики

Зависимость Y(i), построенная по приведенным данным показана на рис. 1, а.

Далее строим кривую мгновенного значения потокосцепления. Согласно условиям, поставленным в задании, в катушке отсутствуют активные потери и поток рассеяния, поэтому при синусоидальном напряжении на ее зажимах потокосцепление и отстает от напряжения на угол 90^°:

ψ = Ψ_m sin(ωt + φ - 90^°),

где Ψ_m - амплитуда потокосцепления, равная Ψ_m = U_Km / ωt, φ - начальная фаза напряжения на зажимах катушки.

Напряжение на зажимах катушки определяется уравнением:

u_K = 120sin(ωt -90^°);

т.е. амплитуда напряжения U_Km = 120 В, а его начальная фаза φ = -90^°.

Тогда Ψ_m = 120 / 314 = 0.382 Вб, и мгновенное значение потокосцепления будет описываться уравнением:

ψ = 0.382sin(ωt -180^°).

Таблица 4

Точки кривой мгновенного значения потокосцепления

Кривая, построенная по этому уравнению, приведена на рис. 1, б.

Теперь строим кривую тока в катушке. Задаемся произвольным значением угла ωt (на рис. 1, б). На кривой ψ(ωt) ему соответствует точка, определяющая величину потокосцепления в данный момент. Проводя через нее горизонтальную прямую до пересечения с вебер-амперной характеристикой, получаем на ней точку, абсцисса которой определяет величину тока. Откладывая этот ток при том же значении угла, получаем точку, принадлежащую кривой тока i(ωt).

Рис. 1. Построение кривой тока в катушке

Построенная на рис. 1, в кривая – несинусоидальная периодическая непрерывная функция, удовлетворяющая условиям Дирихле (имеет конечное число разрывов первого рода на конечном интервале и конечное число максимумов и минимумов).

Из курса математики известно, что такого рода функцию можно представить в виде следующего тригонометрического ряда, ряда Фурье:

где A₀ – постоянная составляющая; A_m(1)sin(ωt+ψ₍₁₎) – первая гармоника; A_m(2)sin(2ωt+ψ₍₂₎) – вторая гармоника; A_m(k), ψ_(k) – соответственно амплитуда и начальная фаза k- йгармоники.

Анализ гармонического состава полученной кривой можно провести графоаналитическим методом, сущность которого заключается в следующем:

а) период функции f(ωt), равный 2p, разбивается на x равных интервалов;

б) известные формулы Эйлера – Фурье, определяющие коэффициенты тригонометрического ряда, заменяются следующими приближенными формулами:

где n – переменный индекс, принимающий значения от 1 до x; f_n(ωt), cos(k(ωt)), sin(k(ωt)) – значения соответствующих функций при k =0,1,2… g.

в) амплитуды и начальные фазы гармоник определяются формулами:

.

Точность разложения получается тем выше, чем больше интервалов берется на периоде.

В соответствии с заданием выполним расчет для первых трех гармоник – первой, третьей и пятой.

Разделим половину периода на 12 частей, т.е. примем x = 12. Значения ординат в точках деления, снятые с кривой тока на рис.1, в и обозначенные f_n(ωt), занесены в табл. 5. Там же приведены значения cos(k(ωt)), sin(k(ωt)) и их произведения с f_n(ωt) для трех гармоник (k =1,3,5). Приведены также результаты вычисления сумм, необходимых для отыскания коэффициентов B_{m(k )}и C_m(k), и сами коэффициенты, рассчитанные по двум последним формулам.

Таблица 5

Расчет амплитудных значений гармонических составляющих

Продолжение табл. 5

Теперь определяем амплитуды и начальные фазы гармоник:

Если амплитуда тока имеет отрицательное значение, меняем перед ней знак на противоположный, а начальную фазу сдвигаем на 180^°.

Следовательно, ряд тока, протекающего по катушке, имеет вид:

i = 2.609sin(ωt - 180^°) + 1.282sin(3ωt + 0^°) + 0.612sin(5ωt + 180^°)