Метод узловых потенциалов

Введение

Расчет параметров линейных электрических цепей

Вариант

R4’

R4’’

R6’

R6’’

6,5

2,5

5,5

0,4

Таблица2.1

Рис 2.1

Замена схемы эквивалентной(упрощённой)

Упростим схему, заменив последовательно и параллельно соединённые резисторы четвёртой и шестой ветвей эквивалентными, заменим источники тока на эквивалентные источники ЭДС. Дальнейший расчёт будем вести для упрощённой схемы (Рис 2.2).

Рис 2.2

Идеальный источник тока J3 можем исключить из цепи, так-как J3=0

Вариант	R1	R2	R3	R4	R5	R6	E’2	E3
	Ом	В
	6,5	2,5			5,5	7,5

Таблица 2.2

Расчёт токов методом Кирхгофа

Выберем направления токов в ветвях схемы произвольно (Рис 2.3)

Рис 2.3

В этой схеме:

Узлов У=4

Ветвей В=6

Контуров К=3

Количество уравнений необходимых по законам Кирхгофа

· по первому закону n1=У-1=4-1=3

· по второму закону n2=К=3

· общее количество n=n1+n2=3+3=6

Выбрав направление обхода по часовой стрелке во 2 контуре и против часовой в 1 и 3, составляем уравнения:

По первому закону Кирхгофа

· для узла “ a ”: + =0

· для узла “ b ”: =0

· для узла “ c ”: =0

По второму закону Кирхгофа:

· для контура “I”: * + * * =

· для контура “II”: * + * * =

· для контура “III”: * * * =

Подставив значения сопротивлений и решив систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, получим значения искомых токов в цепи. (Рис2.4).

Рис 2.4

Метод контурных токов

Выберем направления контурных токов произвольно (Рис 2.5)

Рис 2.5

Число уравнений, которые необходимо составить для расчёта токов в ветвях схемы, всегда равно числу независимых контуров. В данной схеме три независимых контура, поэтому имеем следующую систему:

где

· – контурные токи первого, второго и третьего контуров соответственно(необходимо определить)

· – суммарные сопротивления первого, второго и третьего контуров соответственно

· – алгебраическая сумма ЭДС соответственно первого, второго и третьего контуров, причём если ЭДС совпадает с направлением контурного ток, то ЭДС берётся со знаком “+”, а если не совпадает, то со знаком “-”.

Сопротивления с одинаковыми индексами - это собственные сопротивления контуров, равные сумме всех сопротивлений входящих в контур. Сопротивления с разными индексами - это взаимные сопротивления, входящие одновременно в состав двух контуров, причем знак взаимного сопротивления берется положительным, если направления контурных токов на нем совпадают, и отрицательным, если нет.

где

= 2,5+4+6,5=13 Ом

5,5+4+7,5=17 Ом

6,5+1+7,5=15 Ом

= = = 4 Ом

= = 6,5 Ом

= = 7,5 Ом

= =6 В

0 В

= =10 В

Подставим найденные значения в систему уравнений:

Решая эту систему методом Гаусса (Рис 2.6), находим контурные токи

Рис2.6

Где x 1; x 2; x 3 являются значениями контурных токов.

Далее выразим истинные токи через контурные. Ток в ветви,принадлежащей двум или нескольким контурам, равен алгебраической сумме соответствующих контурных токов. Со знаком “+” берутся контурные токи, совпадающие с током этой ветви, со знаком “ ”не совпадающие с ним.

где

Метод узловых потенциалов

Выберем в качестве базисного узел “a” и его потенциал приравняем к нулю

Остаются неизвестными потенциалы узлов “b”, “c” и “d”

Рассчитаем собственные проводимости ветвей:

где

По первому закону Кирхгофа

Выразим токи через разность потенциалов и собственную проводимость

где

G – собственная проводимость ветви

Подставив эти значения в систему с учётом того, что

Получим:

Найдём потенциалы узлов, решив данную систему методом Гаусса (Рис 2.7):

Рис 2.7

-0,4714 А

2.5 Определение тока методом эквивалентного генератора

Используя метод эквивалентного генератора, выделяем ветвь «d-a » в схеме,

(Рис 2.2).Всю цепь относительно ветви с сопротивлением , представим эквивалентным генератором с источником ЭДС равным и сопротивлением (Рис 2.8).

(Рис 2.8)

Согласно схеме (Рис 2.8) интересующий ток в ветви определиться как

, т.е. решение задачи сводится к определению двух параметров эквивалентного генератора и

Найдем ЭДС генератора. По определению равно напряжению между узловыми точками d и a разомкнутой ветви с сопротивлением (Рис 2.9)

(Рис 2.9)

Рассчитаем токи методом Кирхгофа.

В схеме (Рис 2.9):

Узлов У=2

Ветвей В=3

Количество уравнений необходимых по законам Кирхгофа

· по первому закону n1=У-1=2-1=1

· по второму закону n2= У-1+1=1+1=2

· общее количество n=n1+n2=2+1=3

Выбрав направление обхода по часовой стрелке, составляем уравнения:

I6= I4=I’1

I2= I3=I’2

Подставив значения из таблицы 2.2 в данное уравнение, находим токи, решив его методом Гаусса. (Рис 2.10)

Рис 2.10

По второму закону Кирхгофа найдём

Внутреннее сопротивление эквивалентного источника равно входному сопротивлению относительно выводов «d-a » пассивного двухполюсника.

Входное сопротивление двухполюсника ( относительно выводов «d-a» определяется при устранении из схемы активного двухполюсника всех источников (ветви с источниками тока разрываются, а источники ЭДС в ветвях закорачиваются).

Перерисуем данную схему (Рис 2.11) заменив соединение треугольником резисторов , , на эквивалентное сопротивление звездой (Рис 2.12) , ,

Рис 2.11

Рис 2.12

Найдём значения сопротивлений , ,

Найдём входное сопротивление цепи

Нужные параметры найдены , находим ток

Видно, что полученное значение достаточно хорошо совпадает со значением полученным в пунктах 2.3, 2.4, 2.5

Результаты расчётов токов, проведённых в пунктах 2.3, 2.4, 2.5 сведём в таблицу


Законы Кирхгофа	0,8049	0,1719	0,9769	-0,2994	-0,4714	0,5054
Метод контурных токов	0,8049	0,1720	0,9769	-0,2994	-0,4715	0,5054
Метод узловых потенциалов	0,8049	0,1719	0,9769	-0,2994	-0,4714	0,5054

Как видно из таблицы расчёты, проведённые тремя способами, хорошо совпадают, а небольшие неточности обусловлены округлением промежуточных величин при вычислении токов этими методами.

Баланс мощностей

Составим баланс мощностей в исходной схеме, вычислив суммарную мощность источников и суммарную мощность нагрузок (сопротивлений)

Суммарная мощность источников