141-150. Найти производные данных функций.
141. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
142. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
143. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
144. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
145. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
146. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
147. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
148. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
149. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
150. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
151-160. Найти и .
151. а) ; б) .
152. а) ; б) .
153. а) ; б) .
154. а) ; б) .
155. а) ; б) .
156. а) ; б) .
157. а) ; б) .
158. а) ; б) .
159. а) ; б) .
160. а) ; б) .
Приложения дифференциального исчисления
191-200. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.
191. . 192. .
193. . 194. .
195. . 196. .
197. . 198. .
199. . 200. .
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
231. Дана функция .
Показать, что .
232. Дана функция .
Показать, что .
233. Дана функция .
Показать, что .
234. Дана функция .
Показать, что .
235. Дана функция .
Показать, что .
236. Дана функция . Показать, что .
237. Дана функция .
Показать, что .
238. Дана функция .
Показать, что .
239. Дана функция .
Показать, что .
240. Дана функция .
Показать, что .
251-260. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x, y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.
251. z=x 2 +y 2 - 9 xy+ 27; 0≤ x ≤3, 0≤ y ≤3.
252. z=x 2 + 2 y 2 + 1; x ≥0, y ≥0, x + y ≤3.
253. z= 3-2 x 2 -xy - y 2; x ≤1, у ≤ х, у ≥0.
254. z=x 2 + 3 y 2+x-y; x ≥1, y ≥-1, х+y ≤1.
255. z=x 2 + 2 xy +2 y 2; -1≤ x ≤1, 0≤ y ≤2.
256. z= 5 x 2 - 3 xy + y 2 + 4; x ≥-1, y ≥-1, х+y ≤1.
257. z= 10+2 xy - x 2; 0≤ y ≤4- x 2.
258. z=x 2+2 xy -y 2 + 4 x; x ≤0, y ≤0, х+y +2≥0.
259. z=x 2 + xy -2; 4 x 2-4≤ y ≤0.
260. z=x 2+ xy; -1≤ x ≤1, 0≤ y ≤3.
261-270. Дана функция z=z(x, y), точка А(х0, у0) и вектор . Найти: 1) в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора .
261. .
262. .
263. .
264. .
265. .
266. .
267. .
268. .
269. .
270. .
Неопределённый и определённый интегралы
281-290. Найти неопределенные интегралы. В двух примерах (пункты а и б) проверить результаты дифференцированием.
281. а) ; б) ;
в) ; г) .
282. а) ; б) ;
в) ; г) .
283. а) ; б) ;
в) ; г) .
284. а) ; б) ;
в) ; г) .
285. а) ; б) ;
в) ; г) .
286. а) ; б) ;
в) ; г) .
287. а) ; б) ;
в) ; г) .
288. а) ; б) ;
в) ; г) .
289. а) ; б) ;
в) ; г) .
290. а) ; б) ;
в) ; г) .
301-310. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
30 1. . 30 2. . 30 3. . 30 4. . 30 5. . 306. .
30 7. . 30 8. . 30 9. . 310. .
Дифференциальные уравнения
321-330. Найти общее решение дифференциального уравнения.
321. . 322. .
323. . 324. . 325. .
326. . 327. .
328. . 329. .
330. .
341-350. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .
341. ; , .
342. ; , .
343. ; , .
344. ; , .
345. ; , .
346. ; , .
347. ; , .
348. ; , .
349. ; , .
350. ; , .
Двойные и криволинейные интегралы
351-360. Вычислить двойные интегралы по области D.
351. , где D – область, ограниченная линиям
352. , где D – область, ограниченная линиями
353. , где D – область, ограниченная линиями
354. , где D – область, ограниченная линиями
355. где D – область, ограниченная линиями
356. , где D – область, ограниченная линиями
357. где D – область, ограниченная линиями
358. где D – область, ограниченная линиями
359. , где D – область, ограниченная линиями
360. где D – область, ограниченная линиями
.
371 – 380. Вычислить криволинейные интегралы
371. где L – контур треугольника, образованного осями координат и прямой в положительном направлении, т.е. против движения часовой стрелки.
372. где L – дуга параболы от точки О (0;0) до точки
А(2;4).
373. где L – контур прямоугольника, образованного прямыми
в положительном направлении (против часовой стрелки).
374. вдоль кривой .
375. вдоль кривой от точки О (0;0) до точки А(1;1).
376. вдоль отточки О (0;0) до точки А(1;1).
377. , где L – четверть окружности 0 , против часовой стрелки.
378. , где L – первая арка циклоиды 0 .
379. вдоль линии от точки О (0;0) до точки А(1;1).
380. вдоль отрезка ОА, О (0;0), .
Ряды
421-430. Исследовать сходимость числового ряда.
421. . 422. . 423. . 424. . 425. . 426. .
427. . 428. . 429. . 430. .
431-440. Найти интервал сходимости степенного ряда.
431. . 432. . 433. .
434. . 435. . 436. .
437. . 438. . 439. .
440. .
441-450. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд, и, затем, проинтегрировав ее почленно.
441. . 442. . 443. .
444. . 445. . 446. .
447. . 448. . 449. . 450. .
451 – 460. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .
451. 452.
453. 454.
455. 456.
457. 458.
459. 460.
461 – 470. Разложить данную функцию в ряд Фурье в интервале .
461. в интервале
462. в интервале
463. в интервале
464. в интервале
465. в интервале
466. в интервале
467. в интервале
468. в интервале
469. в интервале
470. в интервале