Теория вероятностей и математическая статистика. Гр.ЭЭ1-14, ЭЭ2-14,ЭЭ3-14. 2 семестр 2015-16 уч. г.

Теоретические вопросы и образцы задач к экзамену.

К заданию 1. Теоретические вопросы к экзамену

1. Случайные события. Относительная частота случайного события, устойчивость частоты, вероятность. Границы вероятности, вероятности достоверного и невозможного событий. Практически невозможные и практически достоверные события.Несовместные события, полная группа событий. Элементарные исходы, классическое определение вероятности случайного события.Элементарные понятия комбинаторики: размещения, перестановки, сочетания.

2. Операции над событиями: сумма событий, произведение событий, противоположное событие. Правило (аксиома) сложения вероятностей. Правило сложения для несовместных событий, вероятность противоположного события. Аксиома счетной аддитивности вероятности.Условная вероятность случайного события как следствие понятия условной частоты. Правило умножения вероятностей. Независимость случайных событий.

3. Одномерные случайные величины. Закон распределения вероятностей случайной величины. Функция распределения вероятностей как общий способ задания закона распределения, вероятность попадания случайной величины на полуинтервал. Свойства функции распределения вероятностей.

4.Одномерные дискретные случайные величины. Значение суммы вероятностей, таблица распределения вероятностей, график функции распределения вероятностей одномерной случайной величины. Одномерные непрерывные случайные величины. Плотность распределения вероятностей, вероятность попадания на числовой промежуток. Связь функции распределения вероятностей одномерной непрерывной случайной величины с плотностью распределения.

5. Простейшие числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение одномерной дискретной случайной величины.Преобразованная формула для вычисления дисперсии.Элемент вероятности и простейшие числовые характеристики непрерывной случайной величины. Медиана и мода одномерной случайной величины.

6. Нормальный закон распределения вероятностей. Плотность распределения вероятностей нормального закона, график плотности распределения, характерные точки графика и их связь с параметрами нормального закона. Вероятностный смысл параметров нормального закона.Функция Лапласа и формула для вероятности попадания нормальной случайной величины на числовой промежуток. Таблица значений функции Лапласа. Формула для вероятности попадания на симметричный числовой промежуток и «правило трёх сигм».

7. Многомерные случайные величины, закон и функция распределения вероятностей, дискретные и непрерывные случайные величины. Двумерные дискретные случайные величины, таблица распределения вероятностей, восстановление законов распределения составляющих величин, пример.Независимость случайных событий и общее понятие независимости многомерных случайных величин. Независимость дискретных одномерных случайных величин и , совместный закон распределения вероятностей которых задан таблицей распределения. Выражение независимости одномерных случайных величин через функцию совместного распределения вероятностей .

8. Функции случайных величин, математическое ожидание функции, формула для математического ожидания функции дискретных случайных величин в общем случае и в случае функции двух одномерных случайных величин, совместный закон распределения вероятностей которых задан таблицей. Начальные и центральные моменты. Корреляционный момент и коэффициент корреляции.

9. Свойства математического ожидания. Свойства дисперсии. Свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции. Некоррелированность случайных величин, связь с независимостью случайных величин. Дисперсия суммы некоррелированных и независимых случайных величин. Многомерное нормальное распределение, эквивалентность некоррелированности и независимости для нормального распределения.

10. Понятие о центральной предельной теореме теории вероятностей. Интегральная ЦПТ в форме Линденберга-Леви. Сходимость последовательности случайных величин по вероятности. Теорема Чебышева и теорема Бернулли. Общее понятие о законе больших чисел.

11. Основная формальная задача математической статистики. Выборка, выборочная случайная величина, выборочное распределение и выборочные характеристики.Сходимость последовательности случайных величин по вероятности, теорема Бернулли. Закон распределения вероятностей случайной величины как предел последовательности законов распределения выборочных случайных величин.

12. Выборка для одномерной случайной величины, вариационный ряд, выборочная случайная величина, таблица распределения выборочной случайной величины, эмпирическая функция распределения, многоугольник частот (частостей) и многоугольник относительных частот. Сходимость по вероятности последовательности эмпирических функций распределения к теоретической функции распределения вероятностей. Метод вычисления выборочной медианы по вариационному ряду.

13. Выборка, выборочная случайная величина, выборочное распределение и выборочные характеристики. Общая формула для вычисления выборочногоматематического ожидания функции случайных величин как среднего значениязначений функции в выборочных точках. Частные случаи этой формулы для вычисления выборочного математического ожидания (выборочного среднего), выборочной дисперсии и выборочного корреляционного момента.

14. Группировка выборочных данных, гистограмма частот и гистограмма относительных частот. Использование группировки для приближения выборочного распределения, выборочной функции распределения и приближенного вычисления выборочных характеристик.

15. Параметры распределений (параметры семейства случайных величин). Точечные оценки параметров. Оценка параметра как функция от одинаково распределенных независимых случайных величин (статистика). Несмещенная оценка, доказательство несмещённости выборочного математического ожидания. Математическое ожидание выборочной дисперсии. Исправленная несмещенная оценка дисперсии. Исправленная оценка среднего квадратического отклонения.

16. Параметры распределений (параметры семейства случайных величин). Точечные оценки параметров. Оценка параметра как функция от одинаково распределенных независимых случайных величин (статистика). Сравнение несмещенных оценок по эффективности, эффективность несмещенной оценки. Сходимость последовательности случайных величин по вероятности, состоятельность последовательности оценок параметра распределения. Теорема Чебышева и состоятельность последовательностей выборочных характеристик.

17. Точность и надежность оценки параметра, симметричный доверительный интервал. Построение симметричного доверительного интервала для математического ожидания нормальной случайной величины при известной дисперсии (определение точности стандартной оценки математического ожидания при заданной надежности), практический смысл такого доверительного интервала.

18. Точность и надежность оценки параметра, симметричный доверительный интервал. Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины при известной дисперсии. Определение количества экспериментов, необходимых для получения заданной точностисреднего значения результатов измерений при заданной надежности.

19. Точность и надежность оценки параметра, симметричный доверительный интервал. Доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины при известной дисперсии. Определение вероятности отклонения выборочного среднего от математического ожидания на заданную величину (определение надежности оценки математического ожидания по заданной точности).

20. Нормальный закон распределения вероятностей, стандартное нормальное распределение. Распределение хи-квадрат и распределение Стьюдента с степенями свободы как функции от независимых стандартных нормальных случайных величин.

21. Параметры распределений (параметры семейства случайных величин). Общее понятие доверительного интервала для параметра распределения. Нормальный закон распределения вероятностей, распределение хи-квадрат. Теорема Фишера о распределении выборочного математического ожидания и выборочной дисперсии нормальной случайной величины. Общий метод построения несимметричных доверительных интервалов для дисперсии и среднего квадратического отклонения нормальной случайной величины.

22. Нормальный закон распределения вероятностей, распределение хи-квадрат и распределение Стьюдента. Теорема Фишера о распределении выборочного математического ожидания и выборочной дисперсии нормальной случайной величины. Построение симметричного доверительного интервала для математического ожидания нормальной случайной величины при неизвестной дисперсии.

23. Статистические гипотезы, общие принципы проверки статистических гипотез.

24. Мера Пирсона отклонения выборочных данных от предполагаемого теоретического закона распределения вероятностей. Распределение хи-квадрат. Теорема Пирсона о предельном поведении меры Пирсона. Критерий Пирсона для проверки гипотезы о полностью заданном законе распределения вероятностей.

25. Мера Пирсона-Фишера отклонения выборочных данных от предполагаемого теоретического закона распределения вероятностей, зависящего от конечного числа неизвестных параметров. Распределение хи-квадрат. Теорема Фишера о предельном поведении меры Пирсона-Фишера. Проверка гипотезы о принадлежности случайной величины к семейству случайных величин, зависящему от конечного числа параметров по критерию Пирсона-Фишера.

26. Условные распределения вероятностей для случая дискретных случайных величин, совместный закон распределения которых задан таблицей. Условные распределения в непрерывном случае, механическая интерпретация условных законов распределения вероятностей.Определение функций регрессии.

27. Определение функций и кривых регрессии, механическая интерпретация кривых регрессии. Минимизирующее свойство функций регрессии. Доказательство теоремы о минимизирующем свойстве для дискретных случайных величин. Среднеквадратическая регрессия в заданном классе функций и среди функций заданного вида.

28. Определение функций и кривых регрессии, минимизирующее свойство функций регрессии. Среднеквадратическая регрессия в классе линейных функций, вывод стандартных уравнений прямых линий среднеквадратической регрессии. Роль коэффициента корреляции.

29. Метод наименьших квадратов для получения приближенных зависимостей по экспериментальным данным.

30. Определение функций регрессии, минимизирующее свойство функций регрессии, среднеквадратическая регрессия в классе функций заданного вида. Приближенное определение функций среднеквадратической регрессии по экспериментальным данным, связь с методом наименьших квадратов.

 

Образцы задач

К заданию 2.

1). – двумерная случайная величина. Проведено 10 экспериментов, получена выборка: (-2,3), (-3,1), (1,-2), (2,-3), (-2,1), (1,-3), (2,0), (3,-1), (2,-2), (3,-3). Вычислить значения выборочных математических ожиданий (выборочных средних), выборочных дисперсий , выборочных средних квадратических отклонений , выборочного корреляционного момента и выборочного коэффициента корреляции . Составить выборочные уравнения прямых линий среднеквадратической регрессии. Найти значения исправленных (несмещенных) оценок дисперсии и корреляционного момента . Записать законы распределения вероятностей выборочных случайных величин в форме таблиц распределений, построить графики эмпирических (выборочных) функций распределения .

2). – одномерная (числовая) случайная величина.

Получена выборка: 31,3; 31,1; 29,7; 31,5; 31,1; 31,3; 31,3; 31,9; 31,5, 31,3. Записать выборку в виде вариационного ряда. Составить таблицу распределения вероятностей выборочной случайной величины . Ввести условную случайную величину и, применяя метод условных вариант, вычислить значение исправленной оценки дисперсии случайной величины .

К заданию 3.

1). Произведено 25 измерений физической величины a прибором без систематических ошибок и со средним квадратичным отклонением = 0,4. Выборочное среднее . Построить доверительный интервал для измеряемой величины a с надежностью =0,99.

2). Прибор не имеет систематических ошибок. Средняя квадратическая погрешность измерения = 0,2. Сколько нужно произвести измерений, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения выборочного среднего от измеряемой величины a не превзойдет 0,05.

3). Произведено 16 измерений физической величины a прибором без систематических ошибок со средним квадратическим отклонением = 0,5. Среднее значение результатов измерений =100. С какой вероятностью можно утверждать, что истинное значение величины a будет отличаться от 100 не более чем на 0,2?

4). Произведено 9 экспериментов, в результате которых получены выборочные значения нормальной случайной величины X и вычислены выборочные характеристики: = 14,7; D* = 0,08. Построить доверительный интервал для математического ожидания с надежностью =0,99.

5). Произведено 9 экспериментов, в результате которых получены выборочные значения нормальной случайной величины X, и вычислена выборочная дисперсия D* = 0,32. Построить доверительный интервал для среднего квадратического отклонения с надежностью = 0,99.

К заданию 4.

1). Гипотеза : непрерывная случайная величина равномерно распределена на отрезке . Получена выборка объема . Отрезок разбит на 7 числовых промежутков. Распределение выборочных значений по промежуткам представлено в таблице:

Промежуток

Проверить гипотезу при уровне значимости .

2). Гипотеза : закон распределения вероятностей дискретной случайной величины задан таблицей распределения:

	-5	-3	-1
	0,1	0,2	0,2	0,3	0,1	0,1

Получена выборка объема . Распределение выборки представлено в следующей таблице:

	-5	-3	-1

Проверить гипотезу при уровне значимости .

3). Гипотеза : непрерывная двумерная случайная величина равномерно распределена в квадрате площади 1м². Квадрат разбит на 5 прямоугольников площади 0,25м², 0,1м², 0,3м², 0,2м², 0,15м². Произведено 100 экспериментов. Распределение выборочных точек по подмножествам представлено в таблице:

Подмножество

Проверить гипотезу при уровне значимости .

К заданию 5.

	-2
	0,1	0,3		0,2

1. Закон распределения вероятностей одномерной дискретной случайной величины задан таблицей:

 

Определить значение параметра . Найти вероятности событий и . Построить график функции распределения вероятностей и записать её аналитически. Вычислить простейшие числовые характеристики случайной величины : математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение . Определить моду (наивероятнейшее значение) .

\	-1
	0,1		0,05
	0,05	0,05		0,1
		0,1	2,5	0,3

2. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины задан таблицей:

 

Условные случайные величины определены в точках -1, 1, 2, 4, и только в этих точках заданы значения функции регрессии случайной величины на случайную величину . Определить условные законы распределения вероятностей , , , , найти значения функции регрессии и изобразить график функции регрессии, то есть точки с координатами для значений = -1, 1, 2, 4. Восстановить законы распределения вероятностей составляющих величин и , вычислить простейшие числовые характеристики составляющих величин, найти корреляционный момент и коэффициент корреляции, написать уравнение прямой линии среднеквадратической регрессии случайной величины на случайную величину , изобразить прямую линию регрессии.

3. – двумерная случайная величина. Получена выборка: (-1,-1), (0,1), (1,2), (1,0), (2,1). Составить выборочное уравнение прямой линии среднеквадратической регрессии случайной величины на случайную величину , изобразить прямую линию регрессии и выборочные значения (выборочные точки). Сравнить!

4. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины задана формулами:

Определить вероятности событий и . Найти плотность распределения вероятностей. Вычислить значение медианы . Нарисовать эскиз графика функции распределения и плотности распределения вероятностей. Вычислить простейшие числовые характеристики случайной величины : математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение . Найти функцию распределения вероятностей случайной величины , нарисовать эскизы графиков плотности и функции распределения вероятностей.

5.Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины задана формулами:

(1) .

(2)

В обоих случаях (1), (2) найти значение параметра , определить вероятности событий , . Вычислить простейшие числовые характеристики случайной величины : математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение . Найти функцию распределения вероятностей случайной величины , нарисовать эскизы графиков плотности и функции распределения вероятностей. Определить значения медианы и моды .

6. Заданы значения числовых характеристик: , , , . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

7. В каждом из трех ящиков помещены пять табличек, на которых написаны числа 1, 2, 3, 4, 5. Из каждого ящика наудачу извлекается одна табличка. Какова вероятность того, что сумма квадратов чисел на этих табличках не превзойдет тринадцати?

8. В партии шестнадцать деталей, среди которых четыре бракованных и двенадцать качественных. Для контроля наудачу отбирается партия из шести деталей. Какова вероятность того, что среди отобранных деталей окажутся две бракованных детали и четыре качественных?

9. В лифт восьмиэтажного дома входят пять случайных пассажиров. Лифт стоит на первом этаже и на этом этаже никто не выходит. Определить вероятности следующих событий: =(все пассажиры выйдут на одном этаже); =(все выйдут на разных этажах); =(три пассажира выйдут вместе на одном этаже, а два – на другом).

10. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,9, для второго – 0,8, а для третьего – 0,6. Определить вероятность того, что при одном залпе мишень будет поражена не менее двух раз.

11. Имеются три группы ящиков, содержащих белые и черные шары. В первой группе 5 ящиков, каждый из которых содержит 2 белых шара и 8 черных шаров. Во второй группе 7 ящиков, в каждом из которых содержатся 7 белых и 3 черных шара. В третьей группе 8 ящиков, в каждом из которых содержатся 8 белых и 12 черных шаров. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

12. На производственном участке имеется пять однотипных станков, коэффициент использования которых по времени равен 0,8. Какова вероятность того, что в данный момент будут работать: а) только два станка; б) не более двух станков?; в) больше трех станков?

Дополнительные вопросы (на эти вопросы надо давать разумные ответы при минимальном времени на подготовку, по существу, основа знаний ТВ и МС)

1. Что такое относительная частота случайного события в серии экспериментов (в серии независимых испытаний Бернулли)?

2. Что такое элементарные исходы, классическое определение вероятности?

3. Что такое размещение из элементов по элементам, перестановка из элементов, сочетание из элементов по элементам?

4. Что такое сумма, произведение событий, противоположное событие?

5. Что такое правило сложения вероятностей, аксиома счетной аддитивности вероятности, правило умножения вероятностей, независимость случайных событий?

6. Напишите формулу полной вероятности, формулу Байеса.

7. Что такое закон распределения вероятностей одномерной случайной величины, функция распределения вероятностей? Как с помощью функции распределения найти вероятность попадания на полуинтервал?

8. Что такое дискретная случайная величина, непрерывная случайная величина?

9. Что такое простейшие числовые характеристики одномерной случайной величины? По каким формулам вычисляются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной и непрерывной случайной величины?

10.Что такое мода и медиана случайной величины?

11. Что такое нормальная случайная величина (нормальный закон, закон ошибок, распределение Гаусса, распределение Лапласа)?

12. Какой вид имеет график плотности распределения вероятностей нормальной случайной величины , какие характерные точки можно указать на этом графике?

 

13. Что такое выборка, выборочная случайная величина, выборочное распределение, выборочные характеристики?

14. Что такое сходимость по вероятности, что утверждает теорема Бернулли, в каком смысле выборочное распределение приближает теоретическое распределение?

15. Что такое вариационный ряд, эмпирическая функция распределения, гистограмма частот и относительных частот, многоугольник частот?

16. Что такое параметр распределения, оценка параметра, несмещенная оценка параметра, несмещенная оценка дисперсии, эффективная оценка, состоятельность последовательности оценок?

17. Что такое точность и надежность оценки, симметричный доверительный интервал для параметра, несимметричный доверительный интервал?

18. Что такое распределение хи-квадрат, распределение Стьюдента?

19. Какой вид имеют доверительные интервалы для математического ожидания нормальной случайной величины при известном среднеквадратическом отклонении, при неизвестном среднеквадратическом отклонении?

20. Что такое статистическая гипотеза? Что значит проверить гипотезу? Каковы общие принципы проверки статистических гипотез, что такое уровень значимости?

21. Как строятся меры Пирсона и Пирсона-Фишера для проверки гипотез об известном законе распределения и о виде закона распределения? Как эти меры связаны с распределением хи-квадрат?

22. Что такое функции и кривые регрессии? Какой вид имеет уравнение прямой линии средней квадратической регрессии одной случайной величины на другую, выборочное уравнение прямой регрессии?

23. Что такое метод наименьших квадратов?