Задание 6.1. Решить дифференциальное уравнение первого порядка.
а) ;
б) ;
в) .
Решение.
а) Уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.
1. Разделим переменные. Перенесем слагаемые с dx в левую часть, а слагаемые с dy в правую: . Вынесем за скобки общие множители: . Разделим обе части на (4 + y )·(x + 1): .
2. Возьмем интегралы от правой и левой частей уравнения, применив метод подстановки:
, =
= . Аналогично .
Тогда: = , здесь .
3. Выразим y из данного равенства. Для этого умножим данное равенство на 2 и применив свойства логарифмов, получим: .
Откуда Здесь . Таким образом, y = .
б) Уравнение является линейным уравнением. Разделим обе части на x. Тогда получим: y' + = 1 + .
Решим данное уравнение методом Бернулли. Решение уравнения ищем в виде y = uv, тогда y' = u'v + uv'. Подставим y' и y в уравнение y' + = 1 + y' + = 1 + . Тогда получим:
u'v + uv' + = 1 + . Сгруппируем второе и третье слагаемое левой части уравнения и вынесем за скобки u, тогда получим u'v + u (v' + ) = 1 + .
1. Найдем частное решение уравнения v' + = 0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Заменим v' на и разделим переменные v и x: . Тогда и . Откуда по свойствам логарифмов получаем v = . Возьмем C = 1 и получим искомое частное решение: v = .
2. Подставим данное частное решение в уравнение u'v + u (v' + ) = 1 + . Тогда получим u'· = 1 + , которое является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем общее решение данного уравнения. Так как u' = то имеем . Умножим обе части данного уравнения на dx·x, получим du = (x + 1) dx. Взяв интегралы от обеих частей уравнения: , получим u = + x + C.
3. Тогда y = uv = ( + x + C)· = .
в) Разделим обе части уравнения на y, тогда получим , которое является однородным дифференциальным уравнением первого порядка, так как .
Введем новую переменную u = и найдем y' = u'x + u. Подставим y' и y в уравнение , которое будет уравнением с разделяющимися переменными: u'x + u = u·lnu. Разделим переменные u и x. Так как u' = то имеем . Умножим обе части уравнения на . В итоге получим .
Возьмем интегралы от обеих частей уравнения. Так как , то имеем: . Перенесем в правую часть уравнения и применив свойства логарифмов (учитывая, что С – константа), получим lnu – 1 = C x, откуда lnu = Cx + 1. Тогда u = e . Так как y = ux, то получаем: y = x·e .
Ответ: а) y = ; б) y = ; в) y = x·e .
Задание 6.2. Решить уравнения:
а)
б)
в)
г)
Решение.
а) Общее решение данного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами найдем, как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения исходного неоднородного уравнения:
1. Найдем общее решение однородного уравнения Для этого составим характеристическое уравнение для данного линейного однородного дифференциального уравнения: Найдем корни этого квадратного уравнения: Так как в случае D = 0 общее решение линейного однородного дифференциального второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , то общее решение исходного уравнения будет иметь вид:
2. Теперь найдем частное решение исходного дифференциального уравнения
. Так как f (x) = , то частное решение данного дифференциального уравнения имеет вид:
= y = .
Для нахождения A воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
Подставляя в исходное уравнение , получаем:
Откуда
Частное решение имеет вид: =
3. Тогда общее решение линейного неоднородного уравнения будет иметь вид:
б) Общее решение данного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами найдем, как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения исходного неоднородного уравнения:
1. Найдем общее решение однородного уравнения Для этого составим характеристическое уравнение для данного линейного однородного дифференциального уравнения: Найдем корни этого квадратного уравнения: i. Так как в случае D < 0 общее решение линейного однородного дифференциального второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , то общее решение исходного уравнения будет иметь вид: .
2. Теперь найдем частное решение исходного дифференциального уравнения
. Так как f (x) = , то частное решение данного дифференциального уравнения имеет вид:
= y = .
Для нахождения A и B воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
Приведя подобные слагаемые в левой части уравнения, получим:
.
Откуда
Тогда = y = .
3. Тогда общее решение линейного неоднородного уравнения будет иметь вид:
в) Общее решение данного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами найдем, как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения исходного неоднородного уравнения:
1. Найдем общее решение однородного уравнения Для этого составим характеристическое уравнение для данного линейного однородного дифференциального уравнения: Найдем корни этого квадратного уравнения: Так как в случае D >0 общее решение линейного однородного дифференциального второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , то общее решение исходного уравнения будет иметь вид:
2. Теперь найдем частное решение исходного дифференциального уравнения
. Так как f (x) = , то частное решение данного дифференциального уравнения имеет вид:
= y = .
Для нахождения A и B воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
Подставляя в исходное уравнение , получаем:
2 A – 2 Ax – B = x + 2. Приравнивая коэффициенты при и , получим:
: – 2 Ax = 1;
: 2 A – B = 2. Откуда находим: A = , B = – 3.
Тогда частное решение имеет вид: =
3. Тогда общее решение линейного неоднородного уравнения будет иметь вид:
г) Общее решение данного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами найдем, как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения исходного неоднородного уравнения:
1. Найдем общее решение однородного уравнения Для этого составим характеристическое уравнение для данного линейного однородного дифференциального уравнения: Найдем корни этого квадратного уравнения: Так как в случае D > 0 общее решение линейного однородного дифференциального второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , то общее решение исходного уравнения будет иметь вид:
2. Теперь найдем частное решение исходного дифференциального уравнения
Так как f (x) = , то частное решение данного дифференциального уравнения имеет вид:
= y = .
Для нахождения A и B воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
= . Подставляя в исходное уравнение , получаем: - 7 +
+ 6 = . Вынесем в левой части уравнения за скобки, разделим обе части уравнения на и уравняем коэффициенты при , и . Тогда получим:
: A - 7 A + 6 A = 0,
: B + 4 A – 7 B – 14 A + 6 B = 1,
: 2 A + 2 B – 7 B = – 2.
После упрощений получаем:
: 0 = 0,
: – 10 A = 1, откуда A = - 0,1.
: 2 A – 5 B = – 2. Подставляя вместо A = - 0,1, получим B = 0,36.
Таким образом, частное решение имеет вид: =
3. Тогда общее решение линейного неоднородного уравнения будет иметь вид:
Тема 7. Ряды.