Помимо метода наименьших квадратов, с помощью которого в большинстве случаев определяются неизвестные параметры модели регрессии, в случае линейной модели парной регрессии осуществим иной подход к решению данной проблемы.
Линейная модель парной регрессии может быть записана в виде:
где у – значения зависимой переменной;
х – значения независимой переменной;
у – среднее значение зависимой переменной, которое определяется на основании выборочных данных вычисленное по формуле средней арифметической:
Коэффициенту В при объясняющем факторе в парной линейной регрессии можно дать естественную экономическую интерпретацию. Коэффициент показывает, на какую величину изменяется в среднем изучаемый эконометрический показатель при увеличении объясняющего фактора на одну единицу.
Итак. Параметр В x называется выборочным коэффициентом регрессии переменной у по переменной х. Данный параметр показывает, на сколько в среднем изменится зависимая переменная у при изменении независимой переменной х на единицу своего измерения.
Выборочный коэффициент регрессии переменной у по переменной х рассчитывается по формуле:
где ryx – это выборочный парный коэффициент корреляции между переменными у и х, который рассчитывается по формуле:
уx – среднее арифметическое значение произведения зависимой и независимой переменных:
Sy – показатель выборочного среднеквадратического отклонения зависимой переменной у. Этот показатель характеризует, на сколько единиц в среднем отклоняются значения зависимой переменной у от её среднего значения. Он рассчитывается по формуле:
у2 - среднее значение из квадратов значений зависимой переменной у:
у2 - квадрат средних значений зависимой переменной у:
Sx – показатель выборочного среднеквадратического отклонения независимой переменной х. Этот показатель характеризует, на сколько единиц в среднем отклоняются значения независимой переменной х от её среднего значения. Они рассчитывается по формуле:
x2 - среднее значение из квадратов значений независимой переменной х:
x2 - квадрат средних значений независимой переменной х:
При использовании рассмотренного подхода оценивания неизвестных параметров линейной модели парной регрессии, следует учитывать что ryx=rxy, однако βyx≠βxy.
Оценка качества соответствия выборочного равнения регрессии наблюдаемым данным может производиться и с помощью средней ошибки аппроксимации регрессии по формуле:
Как указывают некоторые авторы, в практических исследованиях значение этой ошибки в пределах 5–7 % свидетельствует о хорошем соответствии модели эмпирическим данным.
Коэффициент регрессии В, как уже отмечалось выше, показывает, на сколько единиц в среднем изменяется значение показателя У, когда фактор Х увеличивается на одну единицу, поэтому он также может служить мерой тесноты связи между Х и У. Однако У зависит от единиц измерения переменных. Именно поэтому удобно использовать некоторую «стандартную» систему единиц измерения тесноты связи, в которой различные данные были бы сравнимы между собой. В качестве единиц измерения такой системы используется среднее квадратическое отклонение переменных, а показателем тесноты связи служит коэффициент корреляции. Величина:
Или
Проверка статистической значимости
в парной линейной регрессии
Проверка значимости (статистической) уравнения регрессии означает проверку соответствия модели, выражающей зависимость между переменными, экспериментальным данным, а также проверку достаточности включенных в уравнение объясняющих переменных для описания зависимой переменной.
Как всегда, проверка статистических гипотез осуществляется при некотором уровне значимости. В практических эконометрических исследованиях наиболее часто используются 5 и 1 %-ный уровни значимости. Выбор того или иного уровня значимости определяется исследователем.
Напомним, что если нулевая гипотеза отклоняется при 1 %-ном уровне значимости, то она автоматически отклоняется и при 5 %-ном уровне.
Если нулевая гипотеза принимается при 5 %-ном уровне значимости, то она принимается и при 1 %-ном уровне.
Если же при 5 %-ном уровне значимости нулевая гипотеза отклоняется, то необходимо проверить ее при 1 %-ном уровне, и если при этом уровне она принимается, то результаты проверки гипотезы приводятся для двух уровней значимости.
Правило проверки статистической значимости оценок и основывается на статистических свойствах оценок МНК и проверке статистических гипотез и. Невозможность отклонения нулевой гипотезы означает статистическую незначимость соответствующего коэффициента и наоборот, отклонение нулевой гипотезы по сравнению с альтернативной означает, что соответствующий коэффициент статистически значим.