РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК СЕТЕВОГО ГРАФИКА И РЕЗЕРВОВ ВРЕМЕНИ

Расчет параметров сетевого графика, прежде всего, предпола­гает определение самого критического пути: входящих в него работ и его продолжительности, наиболее ранних из возможных и наиболее поздних из допустимых сроков начала и окончания ра­бот (наступления событий), а также всех видов резервов времени для работ, не принадлежащих к критическому пути.

Для решения всех этих задач необходимо располагать инфор­мацией о времени выполнения (продолжительности) работ.

Предположим, что время выполнения каждой работы точно известно. Обозначается продолжительность каждой работы t_ij, где i – но­мер начального события, а j – конечного (входящего). Можно прямо на сете­вом графике указать продолжительность работ цифрами у стрелок (над стрелками).

Любая последовательность работ в СГ, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следую­щей за ней работы, называется путем. Для каждого пути L мо­жет быть вычислена его длина в единицах времени T(L) как сум­ма значений времени выполнения работ, составляющих этот путь.

Последовательность работ между начальным и конечным со­бытиями, имеющую наибольшую протяженность во времени Т_КР, и называют критическим путем (КП). Критическими также называются работы и события, расположенные на этом пути. В сети может быть несколько критических путей, т. е. равнопродолжительных, и все ле­жащие на них работы влияют на срок наступления конечного со­бытия.

Длина критического пути определяет общую продолжитель­ность работ по проекту в целом. Любая задержка на работах критического пути удлиняет этот путь, а с ним и всю программу. Поэтому руководители проекта, чтобы не сорвать срок заверше­ния всего комплекса работ, в первую очередь, должны уделять внимание своевременному выполнению критических работ, обес­печению их необходимыми трудовыми и материальными ресурса­ми. Если длина критического пути окажется больше директивно­го срока выполнения задания Т_д, то необходимо изучить возмож­ность сокращения именно критических, а не любых работ.

Если для критических событий никакие отсрочки их наступле­ния недопустимы из-за угрозы срыва всего задания, то для не­критических событий такие отсрочки возможны.

Как быстро вычленить КП? Признаком кри­тического пути является совпадение ранних и поздних сроков на­ступления событий, лежащих на критическом пути.

Ранняя дата – наибольшая длительность пути, соединяющего данное событие с начальным (исходным). Расчет ранних дат наступления со­бытий ведется последовательно, от события к событию, начиная от исходного. При этом в качестве слагаемых принимается не дли­тельность пути от исходного к данному, а ранняя дата ближай­ших событий, предшествующих данному, и длительность работ, связывающих данное событие с предшествующими. Наибольшая сумма и есть ранняя дата наступления события Т^рн. Таким образом, Т^рн – раннее наступление i-го события, определяется по наиболее длинному пути, приводящему в это событие: Т^рн _i= max { L _1-i }.

Раннее начало работ, выходящих из i-го события, равно раннему окончанию всех работ, входящих в это событие. Последовательный расчет ранних сроков дает нам длину КП. Но какие работы лежат на нем? Для ответа на этот вопрос определим поздний срок наступления событий Т^пн.

Поздний срок наступления событий Т^пн в общем слу­чае – максимально допустимое время между данным и началь­ным событием при условии сохранения ранней даты наступления конечного события. Поэтому расчет Т^пн начинается от последнего событи я, наиболее поздний срок наступления которого принимается равным Т _кр. Поздняя дата наступления событий определя­ется как разница между продолжительностью критического пути и суммарной продолжительностью работ, лежащих на максималь­ном из путей, ведущих от данного к конечному событию. Это оз­начает, что для любого j-го события Т^пн определяется как мини­мальная разность между поздним наступлением последующих со­бытий, связанных с j-м работами, и продолжительностью этих ра­бот.

Поскольку известно, что для всех событий критического пути их ранние и поздние сроки наступления совпадают, то теперь можно выявить (идентифицировать) работы критического пути и те события, через которые он проходит. Эти работы, как правило, выде­ляют, двойной или «жирной» стрелкой.

Зная ранние и поздние сроки наступления для всех событий сети и продолжительности работ сети, можно для любой работы определить:

самый ранний из возможных сроков начала работы;

самый поздний из допустимых сроков начала работы;

самый ранний из возможных сроков окончания работы;

самый поздний из допустимых сроков окончания работы.

Работы, не лежащие на критическом пути, имеют известные резервы времени на выполнение, а события — резерв времени на наступление (свершение).

Резерв времени на свершение события Т_рс – это разность меж­ду поздней и ранней датами его наступления.

Максимальное рас­стояние между датами после вычета времени работы, выполняемой между ее завершающим и предшествующим событиями, образует полный резерв времени работы Т_пр.

Свободный резерв времени работы Т_ср образуется, как раз­ность между ранними датами завершающего и предшествующего события после вычета времени работы, выполняемой между со­бытиями.

Необходимо отметить одно существенное различие полных ре­зервов времени от свободных резервов. Свободные резервы мож­но было бы использовать (отсрочить начало или увеличить время выполнения) по всем работам сети одновременно, тогда все рабо­ты становятся критическими, но поздние сроки наступления собы­тий не изменяются. Полные резервы времени использовать одно-

временно на одном пути нельзя. Резерв времени пути Р_L определяется как разность между длиной критического пути Т_кр и длиной данного пути Т_L.

Определение резервов времени событий и работ сетевого гра­фика имеет большое значение как для этапа разработки и коррек­тировки, так и для выполнения задания. Во-первых, в проекте могут оказаться «узкие места» с точки.рения обеспеченности производственными ресурсами одновремен­но ведущихся работ. Тогда для более равномерного распределения ресурсов их следует передать этим «узким местам» и таким об­разом отсрочить начало работ, имеющих значительный свободный резерв времени. Во-вторых, в первоначально составленном графике общая про­должительность работ может оказаться выше заранее намечен­ного срока. Чтобы уложиться в этот срок, нужно сократить дли­тельность некоторых работ критического пути за счет привлече­ния к ним дополнительных ресурсов и удлинения продолжитель­ности некритических работ в пределах их резервов времени. При этом, в принципе, не должны появиться новые критические пути. Хотя часто оптимизация СМ заключается именно в превращении всех путей в критические, что резко повышает риск выполнения работ в директивный срок Т_дир.

В-третьих, уже в процессе осуществления проекта часто воз­никают отклонения от намеченных сроков выполнения работ и наступления событий. По некритическим работам и событиям фактическое запаздывание против графика может не отразиться на сроках выполнения всего проекта, если запаздывание находит­ся в пределах резервов времени. Знание величины этих резервов помогает руководителю разобраться, допустимо ли такое запаз­дывание или оно угрожает сорвать график в целом и должно быть предотвращено.

До сих пор считалось, что время выполнения каждой работы точно известно, детерминировано. При планировании новых ситуа­ций, научных исследований, зачастую не имевших в прошлом до­статочно близких аналогий, продолжительность выполнения ра­бот СГ – случайная величина, которая может принимать любые значения в некотором интервале, часто определяемом экспертным путем. Практика сетевого планирования выработала для анализа СГ со случайными и неизвестными дли­тельностями работ определенную общую процедуру, которая ра­циональна, удобна и не приводит к противоречивым результатам. Рассмотрим основные положения этого подхода.

По каждой работе, длительность которой точно установить нельзя, специалисты (исполнители и эксперты) на основании свое­го личного опыта, анализа аналогичных ситуации и интуиции на­зывают три оценки длительности работ:

оптимистическую а, т. е. то минимальное время, за которое работа может быть выполнена при наиболее благоприятном сте­чении обстоятельств;

пессимистическую b – максимальное время, которое понадо­бится для выполнения работы при наиболее неблагоприятном сте­чении обстоятельств;

наиболее вероятного времени выполнения работы m, при нор­мальных условиях.

На основании этих оценок определяют математическое ожи­дание времени выполнения работы и ее дисперсию.

Если дисперсия велика, т. е. коэффициент вариации V ≥ 30%, то существует значительная неопределенность относитель­но момента завершения работы. Если дисперсия мала, то оценка продолжительности работы достаточно точна в отношении срока ее завершения. При этом все расчеты параметров сети осуществ­ляются так, как описано выше, на основе данных о продолжительности работ и их взаимосвязях. При этом дисперсия времени пути равна сумме дисперсий работ, принадле­жащих этому пути.

Имея среднее время наступления события и его дисперсию, можно определить вероятность наступления любого события в любой момент времени от начала отсчета.

На семинаре рассмотрим небольшой пример.

На практике считают, что высокому качеству планирования соответствует вероятность выполнения работ в срок порядка 0,5-0,6. Более высокая вероятность сви­детельствует о достаточно расточительном использовании ресурсов. Вероят­ность менее 0,25 говорит о том, что если планы не пересмотреть, то программа может быть не выполнена в директивный срок.

Мы видим, что если известен закон распределения случайной величины времени выполнения работ, то нетрудно найти две ее важнейшие характеристики — математическое ожидание и диспер­сию и проводить необходимые расчеты. Однако применительно к работам сетевого графика уверенно судить о законе распределе­ния времени выполнения конкретных работ обычно не удается, и, как правило, он отличается от нормального. Здесь может помочь метод имитационного моделирования Монте-Карло, но это уже другая история.

В случае, если ни один из способов не приводит к успеху и сроки выполнения программы не укладываются в Т_дир, необхо­димо рассматривать вопрос о его изменении.