Стартовая панель модуля Непараметрические статистики
Стартовая панель модуля имеет вид:
Таблицы частот 2× 2: статистики Хи-квадрат, Макнемара, точный критерий Фишера
Опция открывает диалоговое окно, в котором можно ввести частоты в таблицу 2×2 (состоящую из двух строк и двух столбцов) и вычислить различные статистики, позволяющие оценить зависимость между двумя переменными, принимающими только два значения.
| Пепси | Кола | Сумма | |
| Мужчины | |||
| Женщины | |||
| Сумма |
Типичный пример таких таблиц — определение, например, числа мужчин и женщин, предпочитающих рекламу ПЕПСИ или КОКИ, или числа заболевших и не заболевших людей из числа сделавших и не сделавших прививки, и т. д.
Итак, одна переменная — ПОЛ, другая переменная — НАПИТОК. Первая переменная имеет 2 уровня (принимает 2 значения) — мужчина, женщина. Вторая переменная, НАПИТОК, также имеет 2 уровня, например, ПЕПСИ или КОКА.
Задача состоит в том, чтобы оценить зависимость между двумя табулированными переменными.
Укажем на важное методологическое отличие использования слова связь (зависимость) в повседневной жизни и в анализе данных. Обычно мы говорим, что два признака А и В связаны между собой, если они часто встречаются вместе. В анализе данных дается строгое определение: если А встречается относительно чаще с В, чем с не-В, то А и В связаны. Или переходя на язык теории вероятностей, Р(АХВ) должна быть больше Р(АХ не-В). Оценкой вероятности является частота.
В приведенной выше таблице пусть признак А — пол, признак В — напиток, принимающий, например, два значения: пепси — не-пепси. Пусть a, b — частоты в первой строке, с, d — частот во второй строке. Если а/(а+с) = b/(b+d) то признаки независимы. Формально имеем: 17/(17+27) = 0,39, 19/(19+29) - 0,396. Теперь нам нужно понять, существенно или нет различие в частотах. Статистические критерии, реализованные в этом диалоге, как раз и позволяют это сделать. В данном случае различие, конечно, несущественно (или, как говорят в анализе данных, незначимо). Следовательно, признаки независимы, — пол не связан с выбором напитка.
Опция 2x2 может быть использована как альтернатива корреляциям, если обе рассматриваемые переменные являются категориальными.
Дополнительно к стандартному критерию хи-квадрат Пирсона и скорректированному хи-квадрат вычисляются следующие статистики:
Классическая статистика хи-квадрат Пирсона замечательна тем, что ее распределение приближается распределением хи-квадрат, для которого имеются подробные таблицы. Процентные точки распределения хи-квадрат могут быть также эффективно вычислены в системе STATISTICA с помощью вероятностного калькулятора.
Свойство критерия хи-квадрат (точность аппроксимации распределения статистики распределением хи-квадрат) для таблиц 2× 2 с малыми ожидаемыми частотами может быть улучшено за счет уменьшения абсолютного значения разностей между ожидаемыми и наблюдаемыми частотами на величину 0,5 перед возведением в квадрат.
Это так называемая поправка Йетса на непрерывность для таблиц частот 2×2, которая обычно применяется, когда ячейки содержат только малые частоты и некоторые ожидаемые частоты становятся меньше 5 (или даже меньше 10).
Хи-коэффициент. Статистика хи-квадрат представляет собой меру связи между номинальными или категориальными переменными, значения которых нельзя упорядочить.
Пусть даны частоты в таблице 2×2. Предположим, что оба фактора в таблице независимы. Зададимся вопросом: какова вероятность получить наблюдаемые частоты? Это и делается в критерии Фишера. STATISTICA вычисляет р-уровни одностороннего и двустороннего критерия Фишера.
Если сумма частот небольшая, то лучше использовать точный критерий Фишера вместо критерия хи-квадрат.
Известны рекомендации Кокрена для таблиц 2×2: если сумма всех частот в таблице меньше 20, то следует использовать точный критерий Фишера.
Если сумма частот больше 40, то можно применять критерий хи-квадрат с поправкой на непрерывность.
Рассмотрим следующий пример.
Пример. Исследуются 30 человек, совершивших преступления. У каждого из преступников есть брат-близнец. Спрашивается, имеется ли связь между родственными отношениями и преступлением. Данные приведены в таблице:
| Оба брата преступники | Только один брат преступник | Сумма | |
| Однояйцевые близнецы | |||
| Разнояйцовые близнецы | |||
| Сумма |
Проверяемая гипотеза состоит в том, что зависимости между родством и преступностью нет. Альтернативная гипотеза заключается в следующем: чем теснее родственные связи, тем более вероятно совместное участие в преступлении (то есть между признаками имеется положительная связь). Заметьте — это односторонняя альтернатива, т. к. нас интересует отклонение от гипотезы лишь в одну сторону (вольно выражаясь, с сохранением знака больше).
Введем данные в систему STATISTICА.
После нажатия на кнопку ОК получим следующую электронную таблицу с результатами:
Так как в данных имеются ячейки с малыми частотами (2 и 3), то для улучшения точности критерия хи-квадрат используем поправку Йетса. Поскольку нас интересует односторонняя альтернатива, мы делим уровень р = 0,0012 пополам и получаем 0,0006.
Точное значение одностороннего критерия Фишера равно 0,0005 (см. таблицу). Оба эти результата высокозначимы, следовательно, мы отвергаем исходную гипотезу об отсутствии зависимости между родством и преступлением в пользу альтернативы: «между признаками имеется тесная положительная связь».
Заметьте, что сумма всех частот в таблице меньше 40, но оба критерия, точный Фишера и хи-квадрат Йетса, дают почти одинаковые результаты.
Критерий хи-квадрат Макнемара. Этот критерий применяется, когда частоты в таблице 2x2 получены по зависимым выборкам. Например, когда наблюдения фиксируются до и после воздействия на одном и том же экспериментальном материале.
STATISTICА включает также модуль Логлинейный анализ, позволяющий выполнить полный логлинейный анализ многовходовых таблиц сопряженности. STATISTICA содержит программу на STATISTICA BASIC для вычисления критерия Ментела—Хенцела (файл Ma.nthaen.stb в каталоге STBASIC), позволяющего сравнить две группы данных. Обратитесь к комментариям в программе Manthaen.stb за дополнительной информацией.