Все эти критерии представляют собой альтернативы t-критерию для независимых выборок. Пример основан на исследовании агрессивности четырехлетних мальчиков и девочек (Siegel, S. (1956) Nonparametric statistics for the behavioral sciences (2nded.) New York: McGraw-Hill). Данные содержатся в файле Aggressn.sta.
Двенадцать мальчиков и двенадцать девочек наблюдались в течение 15-минутной игры; агрессивность каждого ребенка оценивалась в баллах (в терминах частоты и степени проявления агрессивности) и суммировалась в один индекс агрессивности, который вычислялся для каждого ребенка.
Задание анализа. После запуска модуля Непараметрические статистики откройте электронную таблицу с данными (файл Aggressn.sta), выберите опцию Критерий серий Вальда—Волъфовица.
Далее нажмите ОК.
Нажмите кнопку Переменные и выберите переменную Пол — Gender как группирующую и переменную Aggressn как зависимую.
Коды для однозначного отнесения каждого наблюдения к определенному полу будут автоматически выбраны программой.
Далее нажмите OK, чтобы выполнить анализ.
Как видно из таблицы результатов, различие между агрессивностью мальчиков и девочек в этом исследовании высокозначимо.
Выполните то же самое исследование с помощью критерия Манна—Уитни.
Нажмите кнопку Переменные и выберите переменную Пол — Gender как группирующую и переменную Aggressn — как зависимую.
Коды для однозначного отнесения каждого наблюдения к определенному полу будут автоматически выбраны программой.
Выберите опцию Двухвыборочный критерий Колмогорова—Смирнова.
Нажмите кнопку Переменные и выберите переменную Пол — Gender как группирующую и переменную Aggressn — как зависимую.
Коды для однозначного отнесения каждого наблюдения к определенному полу будут автоматически выбраны программой.
Электронная мультимедийная таблица с результатами имеет вид:
Заметьте, что стандартные отклонения в обеих группах не равны (см. шестой и седьмой столбец в таблице результатов) и мы не можем непосредственно применить t-критерий.
График по умолчанию для этих тестов — диаграмма размаха. Вы можете построить его двумя способами: нажав кнопку Диаграмма размаха в окне Критерий знаков или щелкнув на таблице результатов правой кнопкой мыши и выбрав затем опцию Диаграмма размаха в меню Быстрые статистические графики. Далее программа попросит выбрать переменные. В этом примере выберите обе переменные. Затем выберите тип графика в окне Диаграмма размаха: (см. ниже). Выберите Медиана/кварт./размах и нажмите ОК.
На диаграмме размаха для каждой переменной показаны: медиана, квартальный размах (25%, 75% процентили), размах (минимум, максимум).
Из графика видно, что мальчики более агрессивны, чем девочки. Для того чтобы увидеть распределение зависимой переменной, разбитой на группы, нажмите кнопку Категоризованная гистограмма.
Критерий знаков
Это непараметрическая альтернатива t-критерию для зависимых выборок.
Критерий применяется в ситуациях, когда исследователь проводит два измерения (например, при разных условиях) одних и тех же субъектов и желает установить наличие или отсутствие различия результатов.
Для применения этого критерия требуются очень слабые предположения (например, однозначная определенность медианы для разности значений). Не нужно никаких предположений о природе или форме распределения.
Критерий основан на интуитивно ясных соображениях. Подсчитаем количество положительных разностей между значениями переменной (А) и значениями переменной (В).
При нулевой гипотезе (отсутствие эффекта обработки) число положительных разностей имеет биномиальное распределение со средним, равным половине объема выборки (положительных разностей будет примерно столько же, сколько отрицательных). Основываясь на биномиальном распределении, можно вычислить критические значения. Для малых объемов выборки n (меньше 20) предпочтительнее использовать значения, табулированные Siegel and Castellan (1988) Nonparametric statistics for the behavioral sciences (2nded.) New York: McGraw-НШ, чтобы оценить статистическую значимость результатов.
Критерий Вилкоксона
Критерий Вилкоксона парных сравнений является непараметрической альтернативой t-критерию для зависимых выборок.
После выбора опции на экране появится диалоговое окно, в котором можно выбрать переменные из двух списков. Каждая переменная первого списка сравнивается с каждой переменной второго списка. Это то же самое расположение данных, что и в f-критерии (зависимые выборки) в модуле Основные статистики и таблицы.
Предполагается, что рассматриваемые переменные ранжированы. W — статистика Вилкоксона равна сумме рангов элементов второй выборки в общем вариационном ряду двух выборок. Итак, наблюдения двух групп объединяются, строится общий вариационный ряд и вычисляется сумма рангов второй группы в построенном ряде.
Требования к критерию Вилкоксона более строгие, чем к критерию знаков. Однако если они удовлетворены, то критерий Вилкоксона имеет большую мощность, чем критерий знаков.
Замечание: Ранжирование. Попарные разности величин признака для каждого больного ранжируются следующим образом. Положительные и отрицательные значения ставят (кроме нулевых) в один ряд так, чтобы наименьшая абсолютная величина (без учета знака) получила первый ранг, одинаковым величинам присваивают один ранг. Отдельно вычисляют сумму рангов положительных и отрицательных разностей, меньшую из двух сумм без учета знака считают тестовой статистикой данного критерия. Нулевую гипотезу принимают при данном уровне значимости, если вычисленное значение превзойдет критической значение.
Пример. Допустим в результате проведения исследования был вычислен ряд попарных разностей между показателем эффекта в двух попарно связанных группах (n1 = n2 = 10) (например, так называемая задача "До и после лечения"):
| 0,2 | -0,4 | 0,7 | -0,9 | 1,3 | 1,5 | -0,1 | 0,8 | -1,0 | 1,1 |
Ранжируем попарно разности в один ряд, независимо от знака разности, получаем следующий ранжированный ряд:
| -0,1 | 0,2 | -0,4 | 0,7 | 0,8 | -0,9 | -1,0 | 1,1 | 1,3 | 1,5 |
Рассчитаем отдельно сумму рангов положительных (W+) и отрицательных (W-) разностей, в нашем случае W+ = 2 + 4 + 5 + 8 + 9 + 10 = 38, W- = 1 + 3 + 6 + 7 = 17. Для проверки двустороннего W-критерия используем меньшую статистику W- = 17и сравним ее с критическим значением для числа попарных разностей n = 10 и уровня значимости 5%. Такое значение равно 9. Рассчитанное минимальное значение W статистики превосходит соответствующее табличное значение, а значит нулевая гипотеза остается в силе.
В случае анализа результатов клинических исследований непараметрические критерии бывают полезны не только для анализа количественных данных, а также при качественной или альтернативной форме представления признаков.