Восьмеричная и шестнадцатеричная система счисления. Правила перевода.

Понятие системы счисления

Система счисления – совокупность приемов и правил записи чисел с помощью определенного набора символов.

 

Виды систем счисления

Выделяют позиционные и непозиционные системы счисления.

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа называется непозиционной.

Примером непозиционной системы счисления является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:

I	V	X	L	С	D	М

Пример 1. Число CCXXXII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум.

 

В римских числах цифры записываются слева направо в по­рядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа — большая, то их значения вычитаются.

Пример 2.

VI = 5 + 1= 6, а IV = 5-1= 4.

 

Позиционная система счисления — система счисления, в которой значение каждый цифры в записи числа зависит от его позиции (разряда). Количество цифр (знаков), используемых для представления чисел называют основанием системы счисления.

Система счисления, применяемая в современной математи­ке, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, так как запись любых чисел производится с по­мощью десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нуж­но иметь алфавит из п цифр. Обычно для этого при п < 10 исполь­зуют п первых арабских цифр, а при п > 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем:

Основание	Название	Алфавит
п = 2	Двоичная	0 1
п = 3	Троичная	0 1 2
п = 8	Восьмеричная	0 1234567
п =16	Шестнадцатеричная	0123456789ABCDEF

Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу. Например:

101101₂, 367l₈, 3B8F₁₆.

3. Алгоритм перевода чисел из произвольной системы счисления в десятичную ( алгоритм замещения ):

Для перевода числа системы счисления с основанием n в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания системы счисления (т.е. n) на соответствующие цифры в разрядах числа.

 

Пример 3. Перевести числа в десятичную систему счисления:

112₃ = 1 • 3² + 1• 3¹ + 2• 3° = 9 + 3 + 2 = 14₁₀.

 

101101₂ = 1 • 2⁵ + 0 • 2⁴ + 1 • 2³ + 1 • 2² + 0 • 2¹ + 1• 2° = 32 + 8 + 4 + 1= = 45₁₀.

 

4. Алгоритм перевода чисел из десятичной системы счисления в другие системы:

a. Последовательно выполнять деление данного числа и по­лучаемых неполных частных на основание новой системы счис­ления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя;

b. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

c. Составить число в новой системе счисления, записывая его из полученных остатков, начиная с последнего частного.

 

Пример 4. Перевести десятичное число 19 в двоичную систему счисления.

 

19₁₀=10011₂

 

5. Арифметика в двоичной системе счисления

Любая позиционная система счисления определяется основанием системы, алфавитом и правилами выполнения арифметических операций. В основе правил арифметики лежат таблицы сложения и умножения однозначных чисел. Таблицы сложения и умножения в двоичной системе счисления выглядят так:

 

+

×

 

Пример 5. Вычислить в двоичной системе:

а) 1101+110

б) 110*101

Восьмеричная и шестнадцатеричная система счисления. Правила перевода.

Двоично-восьмеричная таблица

Восьмеричная система счисления	Двоичная система счисления

 

Двоично-шестнадцатеричная таблица

 

Шестнадцатеричная система счисления	Двоичная система счисления	Шестнадцатеричная система счисления	Двоичная система счисления
		А
		В
		С
		D
		Е
		F

 

 

Алгоритм перевода из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления:

· разбить на группы по 3 цифры справа налево начиная с младшего разряда;

· если до полной группы цифр не хватает, то добавляем нужное количество нулей слева;

· затем каждую тройку цифр заменяем соответственно цифрой восьмеричной системы счисления.

Обратный переход (из восьмеричной в двоичную): осуществляется заменой каждой восьмеричной цифры ее двоичным эквивалентом.

Для перевода из двоичной системы в шестнадцатеричную алгоритм такой же, только цифры группируют по 4.

Пример 6. Перевести из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления число 101011001011₂

101011001011₂= 101 011 001 011₂ = 5313₈

1010110010112= 1010 1100 10112= ACB16

Пример 7. Перевести число 15FC₁₆ в двоичную систему:

Каждую цифру в шестнадца­теричном числе 15FC заменим на соответствующую ей в табли­це четверку двоичных знаков. Иначе говоря, перекодируем число 15FC по таблице в двоичную форму. Получается:

15FC₁₆=0001 0101 1111 1100₂.

 

Задания для самостоятельного выполнения:

Задача 1. Перевести числа из десятичной системы счисления в двоичную, пятеричную, восьмеричную:

1) 523, 65, 700, 230, 325;

2) 12, 524, 76, 121, 56.

Задача 2. Запишите в десятичной системе счисления числа:

1) A5=34; A8=12;

2) A3=22; A6=37.

Задача 3. Перевести восьмеричные числа в двоичную систему счисления: 256; 321; 120; 15.

Задача 4. Перевести шестнадцатеричные числа в двоичную систему счисления: 1AC7; FACC; DDF; 7B8D.

Задача 5. Перевести двоичные числа в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления:

1) 110000110101; 1010101; 11100001011001;

2) 11011010001; 111111111000001; 10001111010.

Задача 6. Выполнить действия в двоичной системе счисления:

1) 1100+111;

2) 10101+101;

3) 11101+1110;

4) 1101+1001;

5) 11*11;

6) 111*11;

7) 101*10.