ПРЕПОДАВАТЕЛЬ: СЕРОВА О.Ю.

САЛЬСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ

ДОКЛАД

ПО ДИСЦИПЛИНЕ: «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА»

НА ТЕМУ:

«СИСТЕМА ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ»

СТУДЕНТ ГРУППЫ219 Р ПАВЛИВСКИЙ В.В.

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ: СЕРОВА О.Ю.

 

 

ГИГАНТ 2012

 

 

Содержание

1. Система двух параллельных сил.

2. Система двух антипараллельных сил.

3. Замечание

4. Литература

 

 

Имеет ли система параллельных сил, приложенных к абсолютно твердому телу, равнодействующую, т.е. существует ли одна сила, эквивалентная данной системе? Если да, то как ее найти? Для ответа на эти вопросы рассмотрим сначала простейший случай двух сил.

Рис. 12

1. Система двух параллельных сил. Пусть две параллельные силы F 1 и F 2, направленные в одну сторону, приложены к абсолютно твердому телу в точках А и В (рис. 12). Добавим к этим силам эквива­лентную нулю систему численно рав­ных и противопо­ложных сил { }, действующих вдоль линии АВ и прило­женных в точках А и В.

Построим равно­­действующие R 1= F 1+ P и R 2= F 2 - P которые оказыва­ются уже не параллельными. Очевид­но, { F 1, F 2} { R 1, R 2}. Найдем точку пересечения линий действия сил R 1 и R 2 и перенесем в нее эти силы. Таким образом, вместо парал­лель­ных сил F 1 и F 2 мы полу­чили эквивалентную систему {R 1, R 2¢} приложен­ных в одной точке непараллельных сил, имею­щих равнодейст­вующую.

Для ее отыскания раз­ло­жим каждую из сил R 1 и R 2¢ по правилу паралле­ло­г­рамма на две составля­ющие P, F 1 и соответственно - P, F 2, парал­лельные прямой АВ и силам F 1 и F 2. Получим сис­тему четырех сил { F 1, F 1, P, - P }, приложенных в точке С. Систему сил { P, - P } отбросим как эквивалентную нулю; останутся силы и направленные вдоль прямой, параллельной силам F 1 и F 2. Очевидно, их сумма R (перенесенная в точку О) и является равнодействующей сил F 1 и F 2. Направлена она в ту же сторону, а величина ее

R=F1+F2. (9)

Линия действия R проходит через точку О, положение которой на прямой АВ определяется соотношением величин сил F 1 и F 2. Действительно, из подобия соответствующих треугольников имеем

. (10)

Деля первое равенство на второе, получим

. (11)

Итак, система двух параллельных сил, направленных в одну сторону, имеет равнодействующую, направленную в ту же сторону. Величина ее равна сумме модулей складываемых сил, а линия действия делит отрезок, соединяющий точки их приложения, на части, обратно пропорциональные силам.

Замечание. Нетрудно видеть, что разложение заданной силы R на две параллельные неоднозначно. Задача полностью определится, если задать еще, например, величину одной из сил и линию ее действия.

Рис. 13

Пример. Гантель заданных размеров равномерно соскальзывает с наклонной плоскости (рис. 13). Какой из ее шаров действует на плоскость с большей силой и во сколько раз, если угол наклона плоскости равен?

При скольжении гантели обе реакции R 1 и R 2 наклонены к нормали под одним и тем же углом тр, т.е. параллельны. Так как движение равномерное, их равнодействующая должна уравновешивать силу тяжести m g, т.е. быть вертикальной, причем линия ее действия должна проходить через точку О. Но точка О ближе к R 1, чем к R 2, стало быть, R1>R2. В соответствии с (11) и рис.13

Рис.14

.

2. Система двух антипараллельных сил. Рассмотрим две неравные по величине параллельные силы, направленные в противоположные стороны (рис. 14). Для отыскания их равнодействующей разложим большую из них (F 2) на две параллельные составляющие Q и R, одна из которых (Q) равна по величине силе F 1 и лежит на линии ее дей­ствия. Таким образом, { F 1, F 2} { F 1, R, Q }. Но система сил { F 1, Q } 0, и ее можно отбросить. Останется сила R, которая и является равнодействующей двух антипараллельных сил F 1 и F 2. Направлена она в сторону большей силы F 2, а ее величина и линия действия определяется из соотношений (9) и (11):

R=F2 - Q, (12)

. (13)

С учетом того, что Q=F1, (12) и (13) примут вид

R=F2 - F1, (14)

. (15)

Итак, система двух неравных антипараллельных сил имеет равнодействующую, направленную в сторону большей силы. Величина ее равна разности модулей складываемых сил, а линия действия проходит за пределами отрезка (со стороны большей силы), соединяющего точки их приложения, и отстоит от них на расстояния, обратно пропорциональные силам.

Рис. 15

Замечание. Приведенные рассуждения неприменимы к случаю равных по величине антипараллельных сил. Если F1 F2, то R 0, а линия ее действия, как это следует из соотношения (15), "уходит" в бесконечность. Такая система сил, называемая парой, равнодействующей не имеет и является в механике самостоятельным элементом (таким же, как и сила).

Пример. Однородная балка лежит на ступеньке, образуя с горизонталью угол (рис.15). При каком k2 возможно равновесие, если k1=0?

Поскольку k1=0, реакция R 1 вертикальна. Значит, реакция R 2 должна уравновесить равнодействующую двух антипараллельных сил R 1 и m g, т.е. должна быть тоже вертикальна и, следовательно, отклониться от нормали к балке на угол. Поскольку этот угол не может быть больше угла трения, k2 tg.

Рис. 16

3. Система многих параллельных сил. Центр тяжести. Рассмотрим совокупность нескольких параллельных сил F 1, F 2,..., F n, направ­-ленных в одну сторону и приложенных к абсолютно твердому телу в точках A1, A2,..., An, положение которых задается радиус-векторами r 1, r 2,..., r n (рис.16). Найдем сперва равнодействующую R 2 сил F 1 и F 2. Она, очевидно, будет направлена в ту же сторону, а величина ее в соответствии с (9)

R2=F1+F2. (16)

Для нахождения линии действия R 2 соединим точки A1 и A2 отрезком прямой и составим, используя (11), пропорцию

, (17)

или

F1A1C2=F2C2A2, (18)

где C2 — точка на отрезке A1A2, через которую проходит R 2.

Умножим скалярное равенство (18) на единичный вектор e, направленный вдоль прямой A1A2 (от A1 к A2; на рисунке не показан). Получим уже векторное соотношение

F1 A 1 C 2=F2 C 2 A 2 (19)

Учитывая, что A 1 C 2= r C2 - r 1, C 2 A 2= r 2 - r C2, получим уравнение, связы­ва­ющее радиус-векторы точек A1, А2 и С2:

F1(r C2 - r 1)=F2(r 2 - r C2). (20)

Решая его относительно r C2, найдем положение точки С2, через которую проходит равнодействующая сил F 1 и F 2:

. (21)

Положение этой точки определяется точками приложения сил F 1 и F 2 и их величинами.

Добавим теперь к равнодействующей R 2 силу F ₃, т.е. найдем равнодействующую R ₃ трех параллельных сил F 1, F 2 и F ₃. Направление ее будет тем же, а величина в соответствии с (9) и (16)

R3=R2+F3=F1+F2+F3. (22)

Радиус-вектор точки ее приложения (точнее, точки, через которую она проходит) определяется выражением (21), в которое вместо F1 и r 1 надо подставить R2 и r C2:

, (23)

или с учетом (16) и (21)

. (24)

Добавляя далее к R ₃ силу F 4 и используя (21), (22) и (24), получим равнодействующую четырех сил, затем пяти и т.д. Продолжая подобные рассуждения, для n сил найдем

, (25)

(26)

т.е. равнодействующая системы параллельных сил, направленных в одну сторону, существует, направлена в ту же сторону, величина ее равна сумме модулей складываемых сил, а радиус вектор точки, через которую проходит линия ее действия, определяется выражением (26)*). Точка эта называется центром параллельных сил.

Векторное соотношение (26) можно представить в виде трех выражений, определяющих координаты центра параллельных сил:

. (27)

Замечание 1. Мы рассмотрели систему параллельных сил, направленных в одну сторону. Если в заданной системе имеются силы, направленные в противоположную сторону, то ее нужно разбить на две подсистемы с одинаковым направлением сил, найти для каждой системы равнодействующую и затем их сложить как две антипараллельные силы.

Замечание 2. Если параллельными силами, действующими на тело, являются силы однородного поля тяжести, то центр таких сил называется центром тяжести тела. Нетрудно видеть, что он совпадает с центром масс этого тела. Действительно, если поле тяжести однородно, т.е. g в каждой точке постоянно по величине и направлению, то сила тяжести, приложенная к i-й материальной точке массы mi P i=mi g i и для центра тяжести получим

(28)

Физический мир, как и мир, окружающий нас, тесен: комбинация снова "всплыла", хотя центр масс и центр параллельных сил физически совершенно различные понятия!

Замечание 3. Как видно из формул (26) или (27), положение центра параллельных сил определяется точками приложения этих сил и их модулями, но не направлением их действия. Отсюда следует, что если повернуть все силы (не меняя точек их приложения) на один и тот же угол, то центр этих сил останется в прежней точке. В частности, при повороте тела на произвольный угол в поле тяжести его центр тяжести не переместится относительно тела, т.е. это вполне определенная точка, связанная с геометрией тела (это следует, впрочем, и из формулы (28)).

 

Литература

https://www.studfiles.ru/dir/cat41/subj1321/file13772/view139996.html

physlearn.narod.ru/phis1/part3.html