Частотная характеристика LC-фильтров.

Фильтры, по­строенные из конденсаторов и катушек индуктивности, могут иметь весьма крутые характеристики. Примером этого мо­жет служить параллельный резонансный LC-контур. Введение в конструкцию ка­тушек индуктивности дает возможность создать фильтр с любой желаемой бли­зостью участка характеристики в полосе пропускания к горизонтальной прямой в сочетании с резкостью переходной обла­сти и крутизной спада вне полосы про­пускания.

Очевидно, что введение катушек индук­тивности в схему дает некий магический эффект, который без них не может быть достигнут. По терминологии теория цепей, эта магия заключается в наличии «внеосевых полюсов». Тем не менее, сложность фильтра возрастает по мере ужесточения требований к горизонтальности и плавности амплитудно-частотной характеристики в полосе пропускания и к крутизне спада вне ее, приводя к увеличении числа элементов по сравнению с предыдущим фильтром. Переходная и фазочастотная характеристики, вообще говоря, также ухудшаются, по мере приближена амплитудно-частотной характеристики к идеальной прямоугольной форме (кирпичная стена).

Синтез фильтров из пассивных элементов (R, L, С) - хорошо исследованная область. Единственной проблемой является то, что катушки индуктивности как элемент схемы часто оставляют желать лучшего. Они нередко бывают дорогими и громоздкими, далеки от идеала, поскольку ведут к «потерям», а именно, имеют значительное активное сопротивление, равно как и другие «патологии», такие, как нелинейность, распределенная межвитковая емкость обмотки и чувствительность к магнитным помехам.

Как уже отмечалось выше, для корректного сравнения АЧХ фильтров нужно, чтобы все кривые АЧХ пересекали уровень затухания 3 дБ на нор­мированной частоте 1 рад/c (w = 1). Такой фильтр и его АЧХ называются нормирован­ными к 1 рад/c.

Рис. 8. Правило пользования нормирован­ными АЧХ ФНЧ.

По семейству нормированных АЧХ ФНЧ различного порядка определяют, фильтр какого порядка обеспечивает требуемое гарантированное затухание в полосе задержания при заданном значении граничной частоты полосы задержания. Как видно из рис.8, затухание 50 дБ в полосе задержания при 3 рад обеспечивает ФНЧ не менее пятого порядка.

Фильтры-прототипы

Существует несколько критериев качества фильтров, используя которые, можно решать задачу оптимального выбора схемы фильтра.

Первым критерием такого рода является обеспечение максимально плос­кой характеристики в полосе пропускания за счет уменьшения крутизны перехода от полосы пропускания к полосе задержива­ния. С другой стороны, допуская некото­рую неравномерность, характеристики в полосе пропускания, можно добиться бо­лее крутого перехода от полосы, пропус­кания, к полосе задерживания. Третий кри­терий, который может оказаться важным, описывает способность фильтра, пропус­кать сигналы со спектром, лежащим в по­лосе пропускания, без искажений их фор­мы, вызываемых фазовыми сдвигами. Можно также интересоваться временем нарастания, выбросом и временем уста­новления.

Известны методы проектирования фильтров, пригодные для оптимизации любой из этих характеристик или их ком­бинаций. Действительно разумный выбор фильтра происходит не так, как описано выше; как правило, сначала задаются тре­буемая равномерность характеристики в полосе пропускания и необходимое зату­хание на некоторой частоте вне полосы пропускания и другие параметры. После этого выбирается наиболее подходящая схема с количеством полюсов, достаточ­ным для того, чтобы удовлетворялись все эти требования. Ниже будут рассмотрены три наиболее популярных типа фильтров, а именно фильтр Баттерворта (максимально пло­ская характеристика в полосе пропуска­ния), фильтр Чебышева (наиболее крутой переход от полосы пропускания к полосе подавления) и фильтр Бесселя (макси­мально плоская характеристика времени запаздывания). Любой из этих типов фильтров можно реализовать с помощью различных схем фильтров.

Фильтры Баттерворта. Фильтр Баттерворта обеспечивает наиболее плоскую характеристику в полосе пропускания, что достигается ценой плавности характеристики в переходной области, т.е. между полосами пропускания и задерживания. У него также плохая фазочастотная характеристика. Его передаточная характеристика не имеет нулей (только полюсы на s-плоскости в левой половине окружности единичного радиуса), амплитудно-частотная характеристика задается следующей формулой:

Uвых/Uвх= 1/[1+(w/w₀)²ⁿ]^1/2, (1)

где n определяет порядок фильтра (число полюсов); w₀ – частота среза, равная 1 рад/с для фильтра-прототипа.

Сравнивая выражение (1) с формулой АЧХ простейшего НЧ фильтра в виде RC-цепочки

,

нетрудно видеть, что однозвенный RC-фильтр – это фильтр Баттерворта первого порядка.

Увеличение числа полюсов (количества звеньев RC-цепочки) да­ет возможность сделать более плоским участок характеристики в полосе пропускания, и увеличить крутизну спада от по­лосы пропускания к полосе подавления, как это показано на рис.9.

Рис.9. Нормированные характеристики фильтров нижних частот Баттерворта.

На самом деле фильтр Баттерворта с максимально плоской характеристикой в полосе пропускания не столь привлека­телен, как это может показаться. В любом случае приходится мириться с некоторой неравномерностью в полосе пропускания - для фильтра Баттерворта это будет постепенное понижение характе­ристики с приближением к частоте среза fс, а для фильтра Чебышева - пульсации, рас­пределенные по всей полосе пропускания. Кроме того, активные фильтры, постро­енные из элементов, номиналы которых имеют некоторый допуск, будут обладать характеристикой, отличающейся от рас­четной, а это значит, что в действитель­ности на характеристике фильтра Баттер­ворта всегда будет иметь место некоторая неравномерность в полосе пропускания.

Фильтры Чебышева. Выбирая фильтр Баттерворта, мы ради максимально плоской характеристики по­ступаемся всем остальным. Однако в большинстве применений самым существенным обстоятельством является то, что неравномерность характеристики в полосе пропускания не должна превышать некоторой определенной величины, скажем 1 дБ.

Фильтр Чебышева первого рода отвечает этому требованию, допуская некоторую неравномерность характеристики во всей полосе пропускания, - при этом сильно увеличивается острота ее излома.

Передаточная характеристика фильтра Чебышева первого рода также не имеет нулей, а ее полюсы расположены в левой половине эллипса на s-плоскости. АЧХ этого фильтра описывается следующим соотношением:

Uвых/Uвх=1/[1+e²T²_n(w/w₀)]^1/2 , (2)

где Tn(x)- полином Чебышева n-го порядка, а e - параметр, определяющий неравномерность характеристики в поло­се пропускания. Фильтр Чебышева, как и фильтр Баттерворта, имеет фазочастотные характеристики, далекие от идеаль­ных. На рис.10 представлены, для срав­нения, АЧХ 6-полюсных фильт­ров нижних частот Бесселя, Чебышева и Баттер­ворта. Как легко заметить, все перечисленные фильтры намного лучше однозвенного RC-фильтра.

Рис. 10. Сравнение характеристик 6-полюсных НЧ фильтров: 1 - фильтр Бесселя; 2 - фильтр Баттерворта; 3 - фильтр Чебышева (пульсации 0,5 дБ).

В свете вышеизложенного фильтр Чебышева является весьма рациональной структурой. Иногда фильтр Чебышева называют равноволновым фильтром, так как его характеристика в области перехода имеет боль­шую крутизну за счет того, что по полосе пропускания распределено несколько равновеликих пульсаций, число которых воз­растает вместе с порядком фильтра при сравнительно малых пульсациях (порядка 0,1 дБ).

Пример. Предположим, что требуется фильтр с неравномерностью характеристики в полосе пропускания не более 0,1 дБ и затуханием 20 дБ на частоте, отличающейся на 25% от граничной частоты полосы пропускания. Расчет показывает, что в этом случае требуется 19-полюсный фильтр Баттерворт или всего лишь 8-полюсный фильтр Чебышева.

Фильтр Чебышева первого рода обладает той особенностью, что, в отличие от фильтра первого рода, его АЧХ в полосе пропускания монотонна, а в полосе задержания колеблется между нулем и значением . Функция передачи фильтра Чебышева второго рода тесно связана с функцией передачи фильтра Чебышева первого рода:

.

АЧХ фильтра Чебышева второго рода имеет вид:

Uвых/Uвх=1/[1+e² T ^-2_n(w₀/w)]^1/2 . (3)

Функция передачи Чебышева второго рода имеет и нули, и полюсы.

Примечание. Частотой среза фильтра Чебышева второго рода считается не конец полосы пропускания, а начало полосы задержания.

Фильтры Чебышева изготовлять слож­нее, чем фильтры Баттерворта. Они "чув­ствительнее" к разбросу параметров эле­ментов схемы относительно номинала.

Эллиптический фильтр (фильтр Кауэра). Мысль о том, что можно мирится с пульсациями характеристики в полосе пропускания ради увеличения крутизны переходного участка, доводится до своей логического завершения в идее так называемого эллиптического фильтра (или фильтра Кауэра), в котором допускаются пульсации характеристики как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания ради обеспечения крутизны переходного участка даже большей, чем у характеристики фильтра Чебышева.

На рис.11 показано схематическое изображение АЧХ эллиптического фильтра. В этом случае (фильтр нижних частот) определяются допустимый диапазон коэффициента передачи фильтра (т.е. неравномерность) в полосе пропускания, минимальная частота, на которой характеристика покидает полосу пропускания, максимальная частота, где характеристика переходит в полосу задерживания, и минимальное затухание в полосе задерживания.

Рис. 11. Задание параметров частотной характеристики фильтра.

АЧХ эллиптического фильтра:

Uвых/Uвх=1/[1+e² R²_n(w/w₀, L)]^1/2 . (4)

где Rn(x)- рациональная функция Чебышева n-го порядка; e и L – параметры, определяющие величину пульсаций в полосах пропускания и задержания.

Фильтры Бесселя. АЧХ не содержит полной информации о свойствах фильтра. Так, фильтр с плоской амплитудно-частотной характеристикой может иметь большие сдвиги фаз. В результате этого форма сигнала, спектр которого лежит в полосе пропускания, будет искажена при прохождении через фильтр. Насколько страшно такое искажение сигнала?

Если сигнал речевой – не страшно, поскольку слух человека малочувствителен к фазовым искажениям. Если сигнал музыкальный – дело хуже, поскольку чуткое к музыке ухо может уловить фазовые искажения. Если сигнал представляет собой последовательность импульсов (обычно прямоугольной, или близкой к ней, формы), тогда фазовые искажения могут привести к неправильной работе систем, работающих с сигналами такого типа (обычно это системы связи).

В последнем случае (системы связи), когда форма сигнала имеет первостепенное значение, желательно иметь в распоряжении линейно-фазовый фильтр (фильтр с постоянным временем запаздывания). Предъявление фильтру требования обеспечения линейного изменения сдвига фазы, в зависимости от частоты, эквивалентно требованию постоянства времени запаздывания для всех гармонических компонентов сигнала. Фильтр Бесселя (также называемый фильтром Томсона) имеет наиболее плоский участок кривой времени запаздывания в полосе пропускания, подобно тому, как фильтр Баттерворта имеет наиболее плоскую амплитудно-частотную характеристику.

Функция передачи фильтра Бесселя имеет только полюсы, лежащие на окружности с центром в положительной области вещественной оси. Аналитическое выражение функции передачи:

. (5)

На рис.12 изображены нормированные по частоте графики времени запаздывания для 6-полюсных фильтров нижних частот Бесселя и Баттерворта. Плохая характеристика времени запаздывания фильтра Баттерворта обуславливает появление эффектов типа выброса при прохождении через фильтр импульсных сигналов. С другой же стороны, за постоянство времени запаздывания у фильтра Бесселя приходится расплачиваться тем, что его амплитудно-частотная характеристика имеет еще более пологий переходной участок между полосами пропускания и задерживания, чем даже у характеристики фильтра Баттерворта.

Рис.12. Сравнение временных запаздывания для 6-полюсных фильтров нижних частот Бесселя (1) и Баттерворта (2).

Существует много различных способов проектирования фильтров, в которых де­лаются попытки улучшить рабочие пара­метры фильтра Бесселя во временной об­ласти, частично жертвуя постоянством времени запаздывания ради уменьшения времени нарастания и улучшения ампли­тудно-частотной характеристики. Фильтр Гаусса имеет почти столь же хорошие фазочастотные характеристики, как и фильтр Бесселя, но при улучшенной пере­ходной характеристике. Другой интерес­ный класс представляют собой фильтры, позволяющие добиться одинаковых по ве­личине пульсаций кривой времени запаз­дывания в полосе пропускания (аналогич­но пульсациям амплитудно-частотной ха­рактеристики фильтра Чебышева) и обес­печивающие примерно одинаковое запаз­дывание для сигналов со спектром вплоть до полосы задерживания. Еще один под­ход к созданию фильтров с постоянным временем запаздывания - это применение всепропускающих фильтров, называемых иначе корректорами во временной обла­сти. Эти фильтры обладают постоянной амплитудно-частотной характеристикой, а сдвиг фазы может меняться согласно конкретным требованиям. Таким обра­зом, их можно применять для выравнива­ния времени запаздывания любых фильт­ров, в частности фильтров Баттерворта и Чебышева.

Рис. 13. Сравнение переходных процессов 6-полюсных ФНЧ. Кривые нормированы приведением значения ослабления 3 дБ к частоте 1 Гц. 1-фильтр Бесселя; 2-фильтр Баттерворта; 3-фильтр Чебышева (пульсации 0,5 дБ).

Сравнение фильтров. Несмотря на ранее высказанные замечания о переходной ха­рактеристике фильтров Бесселя, он все же обладает очень хорошими свойствами во временной области по сравнению с фильт­рами Баттерворта и Чебышева. Фильтр Чебышева имеет хорошую АЧХ, однако имеет наихудшие параметры во вре­менной области из всех этих трех типов фильтров. Фильтр Баттерворта по своим качествам занимает промежуточное положение.

На рис.13 эти три типа фильт­ров сравниваются во временной области. По этим дан­ным можно сделать вывод, что в тех случаях, когда важны параметры фильтра во временной области, желательно при­менять фильтр Бесселя.