При вращении линии m вокруг оси i образуется поверхность φ (рис. 3.2). Каждая точка образующей описывает в пространстве окружность с центром в точке, лежащей на оси вращения. Окружности вращения всех точек образующей линии лежат в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения. Эти окружности называются параллелями поверхности. Наибольшая n и наименьшая p параллели называются, соответственно, экватором и горлом поверхности.
Рис. 3.2. Поверхность вращения
Линии на поверхности, плоскости которых проходят через ось вращения, называются меридианами. За образующую поверхности удобно принимать меридиан поверхности. Если в качестве образующей выступает пространственная кривая линия или плоская линия, плоскость которой не проходит через ось вращения, то на образованной поверхности всегда можно выделить меридиан и считать, что именно он является образующей поверхности. Если ось вращения на чертеже занимает горизонтально проецирующее положение, меридиан, лежащий во фронтальной плоскости, называется главным меридианом и определяет очерк поверхности на фронтальной плоскости проекций. На горизонтальной проекции очерком поверхности является горло и экватор. Под очерком поверхности понимаются линии, ограничивающие проекции точек поверхности на плоскости проекций. Поверхности в пространстве могут неограниченно продолжаться, и их на чертеже, как правило, ограничивают двумя параллелями, т. е. задают отсеком. Множество параллелей и меридианов поверхности определяют каркас поверхности. Поверхность вращения задается осью вращения и образующей. Если поверхность задана, то можно построить проекции любой точки или линии, принадлежащей заданной поверхности. Точка принадлежит поверхности, если ее проекции принадлежат проекциям какой-либо линии поверхности, например, параллели. Линия принадлежит поверхности, если ее проекции проходят через проекции точек поверхности. Рассмотрим построение недостающей проекции точки А. Если задана фронтальная проекция точки А2, то для построения недостающей горизонтальной проекции точки А1 проведем через неё параллель q2 до пересечения с образующей m2 в точке 12, по линии связи определим 11 на m1, через которую проведем q1, на горизонтальной проекции полученной параллели по линии связи получим искомые точки А1 и А1'. Аналогично решается обратная задача. Если задана А1, то проведем q1 до пересечения с m1 в точке 1 1. Далее по линии связи отметим 12 на m2, проведем q2 и на ней по линии связи получим А2.
Если образующая поверхности является закономерной кривой n -го порядка, то поверхность, в общем случае, имеет порядок 2n. Графически порядок поверхности определяется максимальным количеством точек пересечения этой поверхности с прямой линией. Наибольшее распространение получили поверхности 2 -го порядка: цилиндрическая, коническая и сферическая поверхности.
При вращении прямой линии l вокруг оси вращения i, параллельной ей, образуется цилиндрическая поверхность вращения (рис. 3.3).
Рис. 3.3. Цилиндрическая поверхность
Цилиндрическая поверхность занимает проецирующее положение по отношению к горизонтальной плоскости проекций и обладает важным собирательным свойством, все точки и линии поверхности проецируются на π1 в одну окружность. Интерес будет представлять построение этой линии в дополнительной проекции.
При вращении прямой линии l, пересекающей ось вращения i, образуется коническая поверхность вращения (рис. 3.4). Коническая поверхность в точке пересечения образующих с осью (в вершине конуса) делится на две полы. Для построения недостающих проекций точек и линий можно использовать образующие и параллели. Если задана фронтальная проекция точки А2, то через фронтальную проекцию точки А2 проведем фронтальную проекцию параллели q2 до пересечения с образующей поверхности l2 в точке 12. По линии связи определим горизонтальную проекцию точки 11 и проведем горизонтальную проекцию параллели q1 и на линии связи определим горизонтальную проекцию точки А1, при этом возможно два решения. Можно через фронтальную проекцию точки А2 провести образующую l2' из S2 до пересечения с основанием в точке 22. По линии связи определить горизонтальную проекцию точки 21 и провести горизонтальную проекцию образующей l1 '. Обратные построения аналогичны и понятны из чертежа.
Рис. 3.4. Коническая поверхность
При вращении окружности вокруг оси, в общем случае, образуется поверхность 4 -го порядка – тор. Если образующая окружность не пересекает ось, то получается открытый тор – кольцо. Часть внутренней поверхности кольца в технике называют глобоидом. Если образующая окружность пересекает ось, то получается закрытый тор. На рис. 3.5 показано построение кольца, заданного образующей окружностью m с центром в точке О и осью i. Недостающие проекции точек или линий строятся с помощью параллелей. На рис. 3.5 показано построение точки А с помощью параллелей q и q'. Через А2 провели параллели q2 и q'2 до пересечения с образующей окружностью m2 в точках, соответственно, 12 и 22. По линиям связи определили на m1 точки 11 и 21. Далее провели q1 и q'1, по линии связи получили четыре точки А1, А'1, А1* и А'1*, так как поверхность 4-го порядка.
Рис. 3.5. Открытый тор – кольцо
При вращении окружности m вокруг ее диаметра получается сфера (рис. 3.6). Сфера является замечательной поверхностью, у которой бесчисленное множество осей вращения, пересекающихся в центре сферы О. Любой диаметр сферы можно принять за ось вращения. На сфере можно также выделить бесчисленное множество образующих окружностей и параллелей. Для построений удобно использовать только три оси, три образующие и три семейства параллелей, которые не искажаются в проекциях. Фронтальным и горизонтальным очерками сферы являются окружности одинакового диаметра. Обратим внимание на то, что очерковая окружность на горизонтальной проекции проецируются на ось симметрии фронтальной проекции, а очерковая окружность на фронтальной проекции проецируются на ось симметрии горизонтальной. Для построения недостающих проекций точек и линий можно использовать параллели любого семейства. Если задана фронтальная проекция точки А2, то удобно проводить параллели q. Если задана горизонтальная проекция точки А1, то удобно проводить параллели f.
Рис. 3.6. Сфера
При вращении прямой линии l, скрещивающейся с осью i, образуется однополостный гиперболоид вращения (рис. 3.7). Фронтальным очерком поверхности является гипербола, Если построить каркас поверхности, то огибающая семейства образующих будет задавать фронтальный очерк поверхности – гиперболу, мнимая ось которой совпадает с осью вращения. Радиус горла поверхности равен кратчайшему расстоянию между образующей и осью. На рис. 3.7 показано построение точки А, принадлежащей заданной поверхности, с помощью параллели q и образующей l'. Если задана фронтальная проекция точки А2, то проведем через неё параллель q2 до пересечения с образующей l2 в точке 12, по линии связи определим 11 на l1, через которую проведем q1, на горизонтальной проекции полученной параллели по линии связи получим искомые точки А1 и А1'. Если задана А1, то аналогично можно решить обратную задачу, или через А1 проведем l'1 до пересечения с параллелью m1 в точке 2 1 и горлом р1 в точке 31. Далее по линии связи отметим 22 и 2'2 на m2 и 32 на р2, проведем l'2 и l'*2 на ней по линии связи получим А2 и А2* так как у однополостного гиперболоида два семейства образующих. Эта же поверхность может быть получена при вращении очерковой гиперболы вокруг мнимой оси.
Рис. 3.7. Однополостный гиперболоид вращения
При вращении гиперболы вокруг действительной оси образуется двуполостный гиперболоид вращения. При вращении эллипса вокруг малой или большой оси получается, соответственно, сжатый или вытянутый эллипсоиды вращения. Параболоид вращения образуется при вращении параболы вокруг её действительной или мнимой оси.