Решение метрических задач на измерение углов. Схема решения задач на измерение углов

Из двух смежных углов, которые получаются при пересечении двух прямых линий а и b, будем условно рассматривать меньший по величине α. Угол между скрещивающимися прямыми линиями а и b определяется как угол между пересекающимися прямыми линиями а и b^*. Для этогочерез любую точку на прямой линии а проводится b^* параллельно заданной прямой линии b. B общем случае угол α между двумя прямыми линиями может проецироваться в виде различных углов от 0° до 180° (0° ≤ α ≤180°), и, наоборот, угол α ´ может быть проекцией любого угла в пределах от 0° до 180° (0° ≤ α ´ ≤ 180°).

Если обе стороны угла параллельны плоскости проекций, то на эту плоскость проекций угол проецируется без искажения в натуральную величину.

Выделим следующие задачи на измерение углов:

1У – определение угла между двумя прямыми линиями,

2У – определение угла между прямой линией и плоскостью,

3У – определение угла между двумя плоскостями

Решения указанных задач связаны и могут быть сведены к ключевым задачам на определение натуральной величины отрезка прямой линии и проведения перпендикуляра к плоскости. Схема решения метрических задач на измерение углов приведена на рис. 5.13.

 

 

 

Рис. 5.13. Схема решения метрических задач на измерение углов

 

 

В общем случае для того, чтобы определить величину угла между прямыми линиями, необходимо плоскость угла преобразовать в плоскость уровня. Наиболее рациональным методом для решения этой задачи является вращение вокруг линии уровня. Проведем в плоскости угла линию уровня, например горизонталь (рис. 5.14). Затем повернем плоскость угла вокруг горизонтали до положения, параллельного горизонтальной плоскости проекций, тогда все отрезки и углы буду изображаться в натуральную величину. Точки 1 и 2 пересечения сторон угла с горизонталью неподвижны.

 

Рис. 5. 14. Определение величины угла между прямыми линиями

методом вращения вокруг линии уровня

 

Вершина угла А перемещается по окружности с радиусом ОА в горизонтально проецирующей плоскости β, перпендикулярной к горизонтали. Для построения повернутого положения вершины А определим натуральную величину радиуса вращения и отложим её на следе плоскости β_{π 1}. Можно также через вершину угла провести фронталь до пересечения с горизонталью в точке 3, далее проводим дугу из центра 3 ₁ радиусом равным фронтальной проекции фронтали А₂3₂ до пересечения со следом плоскости β_π1. Угол 1₁А^*2₁ является натуральной величиной угла α.

Угол φ между прямой линией и плоскостью определяется как угол между прямой линией и её проекцией на эту плоскость (рис. 5.15).

 

 

Рис. 5.15. Угол между прямой линией и плоскостью

 

Угол между прямой линией АВ и плоскостью проекций (π₁ или π₂) определяется как угол между натуральной величиной прямой и её проекцией на эту плоскость проекций (рис. 5.16).

 

Рис. 5.16. Углы между прямой линией и плоскостями проекций

 

Если необходимо определить угол между прямой линией l и плоскостью общего положения, то можно искомый угол определять как дополнительный угол до 90 ° угла между прямой линией и перпендикуляром к этой плоскости. Для этого из любой точки А прямой линии опускается перпендикуляр р к плоскости α, а далее определяется величина угла между прямыми линиями l и р (см. рис. 5. 14). Двугранный угол между двумя плоскостями и измеряется линейным углом, образованный перпендикулярами в заданных плоскостях и к ребру двугранного угла. Если заданы проецирующие плоскости, а значит и ребро двугранного угла занимает проецирующее положение, то угол можно измерить непосредственно на чертеже без дополнительных построений (рис. 5.17).

 

 

Рис. 5.17. Угол между проецирующими плоскостями

 

Для определения угла между двумя плоскостями общего положения можно преобразовать чертеж так, чтобы ребро стало проецирующим. При определении угла между заданной плоскостью и плоскостью проекций проводят линию наибольшего наклона. Линией наибольшего наклона называется линия плоскости, проходящая перпендикулярно к линии уровня. Линией наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций называется линией ската, проходящей перпендикулярно к горизонтали. Угол между линией наибольшего наклона и плоскостью проекций является углом наклона заданной плоскости и плоскости проекций. Эта задача может рационально решаться методом прямоугольного треугольника и методом перемены плоскостей проекций.

Вместо угла между двумя плоскостями можно определять угол между перпендикулярами к этим плоскостям и дополнять его до 180° (рис. 5.18).

 

 

Рис. 5.18. Угол между двумя плоскостями как угол дополнительный до 180° угла между перпендикулярами к плоскостям

 

 

Построение разверток

Разверткой называется фигура, полученная при совмещении поверхности с плоскостью. Естественно, что замкнутая поверхность не может быть совмещена с плоскостью без разрывов. Предварительно поверхность разрезают по некоторым линиям, а затем совмещают ее с плоскостью. Построение разверток поверхностей представляет большой практический интерес при конструировании различных сооружений и изделий из листового материала. На развертке сохраняются длины линий, лежащих на поверхности, величины углов между линиями и площади фигур, образованных замкнутыми линиями. Для построения развертки поверхности необходимо знать закон преобразования направляющих линий поверхности в линии на плоскости развертки и закон распределения прямых линий, соответствующих образующим поверхности. Закон преобразования поверхности в развертку может быть задан как аналитическими зависимостями, так и графическим алгоритмом.

Уже в самых первых сочинениях по начертательной геометрии хорошо отработаны алгоритмы построения точных разверток цилиндра, конуса и торса геликоида (открытой винтовой поверхности). Под разверткой поверхности понимается совмещение части (отсека) поверхности с плоскостью. Часть цилиндра разрезается одной из образующих и совмещается с плоскостью. Развертка боковой поверхности прямого кругового цилиндра изображается в виде прямоугольника высотой l и длиной πd, где l – длина образующей цилиндрической поверхности, d – диаметр основания цилиндра (рис. 5.19).

 

 

Рис. 5.19. Развертка прямого кругового цилиндра

 

Кроме прямых линий изгиба и кручения на развертке можно провести множество других прямых линий, которым на поверхности соответствуют геодезические линии, определяющие кратчайшие расстояния между точками поверхности. На цилиндрической и конической поверхности геодезической линией является винтовая линия.

Разверткой прямого кругового конуса является сектор круга с радиусом l и углом φ, равным или 2π∙cosβ, где l – длина образующей, d – диаметр основания конуса (рис. 5.20). Конус и цилиндр рассматриваются как частный случай поверхности с ребром возврата, когда ребро возврата вырождается в конечную и бесконечно-удаленную точку. Коническая поверхность также имеет две полы, лежащие с разных сторон от вершины конуса.

 

Рис. 5.20. Развертка прямого кругового конуса

 

На рис. 5. 21 приведен пример построения развертки одной полы геликоида, ограниченного ребром возврата (гелисой – цилиндрической винтовой линией с диаметром d), горизонтальными плоскостями с расстоянием между нимиравным h (высотой h). Поверхность разрезается по ребру возврата и одной из образующих и совмещается с плоскостью. Винтовая линия на развертке преобразуется в дугу окружности с радиусом ρ и углом φ. Длина дуги окружности равна длине винтовой линии (L=π d/ cosβ). Величину радиуса ρ определим из равенства 2 π ρ φ/360°= π d/ cosβ. Откуда ρ = d 180°/ cosβ∙φ. Образующие геликоида параллельны образующим направляющего конуса, отсюда сумма углов между образующими геликоида равна сумме углов между направляющими конуса (φ = 2π∙cosβ). Если вместо φ подставить его значение, то получим ρ = d / 2cosβ².

Поверхностью с ребром возврата имеет две полы, лежащие с разных сторон от точек касания. Если ребром возврата является плоская кривая линия, то поверхность превращается в плоскость.

На линейчатых поверхностях общего вида можно выделить линии сжатия (горло однополостного гиперболоида, линия сужения косой плоскости, стрикционные линии цилиндроида и т.п.), на которых пересекаются близлежащие образующие поверхности. Линии сжатия являются аналогом ребра возврата, с той лишь разницей, что образующие не касаются линии сжатия, а пересекают её под каким-либо углом. Поверхности цилиндрические, конические и с ребром возврата можно получить из плоскости развертки с помощью деформации изгиба. Линейчатые поверхности общего вида получаются из плоскости развертки с помощью деформации кручения и изгиба. Отметим также, что из плоскости развертки можно с помощью изгиба получить поверхность только теоретически, а практически наличие деформаций сжатия и растяжения неизбежно, так как не существует изделий без толщины.

 

Рис. 5. 21. Развертка эвольвентного (открытого) геликоида

 

Развертка поверхности отсека прямого закрытого геликоида с шагом Н и диаметром цилиндрической винтовой линии d представляет собой неполное кольцо (рис. 5.22). Шаг винтовой поверхности разворачивается в длину дуги окружности диаметром d₁, Тогда, Н = π d₁ ∙ φ/360°. Определим величину угла φ из полученной зависимости: φ = Н ∙360°/π d₁. Винтовая линия разворачивается в длину дуги окружности диаметром D. Тогда, L = πd/cosβ = π D ∙ φ/360°. D = d + d₁. Подставим значение D в предыдущее выражение: L = πd/cosβ = π(d + d₁) ∙ φ/360°. Определим величину угла φ, φ = πd360°/cosβ(d + d₁). Величина диаметра d₁ можетопределена из сравнения формул для определения угла φ: d₁ = Нd cosβ/(π²d – Нcosβ) или d₁ = d sinβ/(π –sinβ).

 

 

Рис. 5.22. Развертка прямого закрытого геликоида

 

Развертка поверхности отсека кольцевого закрытого геликоида с шагом Н и диаметрами внутренней и наружной цилиндрических винтовых линий d и d ׳ также представляет собой неполное кольцо (см. рис. 5.22). Внутренняя винтовая линия разворачивается в длину дуги окружности диаметром d ׳.Тогда, L ׳ = πd/cosβ = π d ׳ ∙ φ/360°. Определим величину угла φ, φ = d360°/cosβ d ׳. Наружная винтовая линия разворачивается в длину дуги окружности диаметром D. Тогда, L = πd/cosβ = π D ∙ φ/360°. D = (d – d ׳ ) + d₁. Подставим значение D в предыдущее выражение: L = πd/cosβ = π(d – d ׳ + d₁) ∙ φ/360°. Определим величину угла φ, φ = d360°/cosβ(d – d ׳ + d₁).

Разверткой поверхности отсека косого закрытого геликоида является закрученное кольцо, образующие поверхности на развертке касаются окружности некоторого радиуса. Разверткой поверхности отсека однополостного гиперболоида вращения является также закрученное кольцо, образующие поверхности на развертке касаются окружности некоторого радиуса. Горло поверхности разворачивается в дугу окружности внутренней дуги окружности, а основание однополостного гиперболоида разворачивается в дугу окружности внешней дуги окружности. Для построения развертки линейчатой поверхности необходимо знать закон преобразования направляющих линий поверхности в линии на плоскости развертки и закон распределения прямых линий, соответствующих образующим поверхности. Закон преобразования поверхности в развертку может быть задан как аналитическими зависимостями, так и графическим алгоритмом. Развертка линейчатой поверхности строится для одной полы ограниченной части поверхности. Разделение поверхности на полы происходит по линии сжатия.

Если неизвестна закономерность перехода от поверхности к развертке, то строится приближенная развертка. Для этого поверхность заменяется вписанной или описанной многогранной поверхностью и строится ее развертка. Если поверхность разбивается на множество треугольников, то способ называется триангуляцией. Построение развертки связано с определением натуральной величины каждой грани. Рассмотренные на предыдущих лекциях метрические задачи являются составной частью построения развертки. Построение разверток – это комплексная метрическая задача, в которой важно рационально организовать графические построения, чтобы добиться точности и быстроты построения.

Для усеченного цилиндра и конуса, также для наклонных цилиндрических и конических поверхностей и других поверхностей строят приближенные развертки, так как недостаточно исследованы вопросы построения разверток: необходимо установить геометрическую проекционную связь между поверхностями и их развертками.

Рассмотрим пример построения развертки призмы методом раскатки и методом нормального сечения. Разрежем призму по ребру АА ^׳ и будем вращать ее грани вокруг ребер до совмещения с фронтальной плоскостью, проходящей через ребро АА ^׳. Точки В, В ^׳, С и С ^׳ при вращении перемещаются в плоскостях, перпендикулярных к ребрам (рис.5.23). От точки А₂ проведем дугу радиусом А₁В₁ до пересечения с перпендикуляром из В₂ к А₂А₂ ^׳ и получим В_о. Аналогично получаем остальные точки. Пристроим нижнее и верхнее основания и получим полную развертку призмы. Рассечем призму плоскостью α, перпендикулярной к ребрам, и определим натуральную величину сечения А"В"С" ^׳, например совместив его с π₁. Нормальное сечение разворачивается в прямую линию А_оВ_оС_о.

 

 

С2 ׳

 

Рис. 5.23. Развертка наклонной призмы

 

На практике для неразрывающихся нелинейчатых поверхностей также строят развертки, для этого их аппроксимируют развертывающимися поверхностями (разбивают их на части, которые заменяют плоскостями или развертываемыми поверхностями, т.е. вписывают или описывают вокруг них несколько цилиндрических, конических или других поверхностей), а затем строят для них развертки. Полученная развертка всей поверхности является условной, так как состоит из множества отдельных плоских фигур, для получения поверхности их необходимо склеивать между собой и отдельные участки подвергать сжатию и растяжению. Чем больше число разбиений, тем меньше кусочки, на которые распадается поверхность. Это принципиальное отличие условной развертки от приближенной.