Вариант 106
Количество баллов, выставляемых за выполнение заданий 11 и 12, зависит от полноты решения и правильности ответа.
Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, в частности все возможные случаи должны быть рассмотрены. Методы решения, формы
его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение,
в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное количество баллов. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.
Эксперты проверяют только математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.
В критериях оценивания конкретных заданий содержатся общие требования к выставлению баллов.
При выполнении задания можно использовать без доказательства
и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках
и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ среднего общего образования.
а) Решите уравнение 
.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
.
Решение.
а) Преобразуем уравнение:
;
;
или 
;
; 
; 
, 
.
|
б) Используя тригонометрическую окружность, отберём корни, принадлежащие отрезку . Получим числа: 
, 
, 
.
Ответ: а) 
; 
; 
, .
Ответ: б) , , .
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |
В основании правильной треугольной призмы 
лежит правильный треугольник со стороной 12. Высота призмы равна 9. Точка 
— середина ребра 
, точка 
— середина ребра 
. Через точки и проведена плоскость 
, параллельная ребру 
.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью — прямоугольник.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью .
Решение.
|
а) Обозначим точки пересечения плоскости
с ребрами 
и 
буквами 
и 
(см. рис.). Плоскость пересекает грани 
и 
по прямым 
и 
соответственно, параллельным ребру . Отрезки и параллельны и равны друг другу. Значит, четырёхугольник 
— параллелограмм. Прямая перпендикулярна плоскости 
, поэтому прямая перпендикулярна прямой 
.
Следовательно, у параллелограмма прямые углы, а значит, четырёхугольник — прямоугольник.
б) Точка — середина ребра , а точка — середина ребра . Значит, отрезок 
— средняя линия треугольника , поэтому 
. Поскольку 
, площадь сечения равна 
.
Ответ: б) 54.
| Содержание критерия | Баллы |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл |