Понятие непрерывности функции в точке

Понятие предела последовательности

Постановка задачи. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

План решения.

1. По определению число называется пределом числовой последовательности , если .
Это означает, что неравенство имеет решение .

2. Находим, при каких справедливо неравенство

,

т.е. решаем это неравенство относительно .

3. Если решение имеет вид , то – предел числовой последовательности .

Замечание. Если решение неравенства нельзя представить в виде , то число не является пределом последовательности.

Задача 1. Доказать, что (указать ).

Покажем, что для любого существует такой номер , что для всех .

.

.

Из последнего неравенства следует, что можно выбрать (квадратные скобки означают целую часть) и при любых будет выполняться неравенство . Значит, по определению предела последовательности

.

Вычисление пределов вида

Постановка задачи. Вычислить предел

,

где

,

.

План решения.

Здесь – многочлен степени (бесконечно большая последовательность порядка ) и – многочлен степени (бесконечно большая последовательность порядка ).

1. Вынесем в числителе множитель , получим , где .

2. Вынесем в знаменателе множитель , получим , где .

3. Имеем

.

4. Получаем, что

если , то ;

если , то ;

если , то по теореме о пределе частного

.

Задача 2. Вычислить пределы числовых последовательностей.

Вычисление пределов вида

Постановка задачи. Вычислить предел

,

где – бесконечно большая последовательность порядка и – бесконечно большая последовательность порядка ().

План решения.

1. Вынесем в числителе множитель , получим , где .

2. Вынесем в числителе множитель , получим , где .

3. Имеем

.

4. Получаем, что

если , то ;

если , то ;

если , то по теореме о пределе частного

.

Задача 3. Вычислить пределы числовых последовательностей.

Вычисление пределов вида

 

Постановка задачи. Вычислить предел

,

где – бесконечно большая последовательность порядка и – бесконечно большая последовательность порядка ().

План решения.

1. Вынесем в числителе множитель , получим , где .

2. Вынесем в числителе множитель , получим , где .

3. Имеем

.

4. Получаем, что

если , то ;

если , то ;

если , то по теореме о пределе частного

.

Замечание. Иногда необходимо привести выражение, стоящее после знака предела, к соответствующему виду.

Задача 4. Вычислить пределы числовых последовательностей.

Вычисление пределов вида

Постановка задачи. Вычислить предел

,

где – бесконечно большая последовательность порядка и – бесконечно большая последовательность порядка ().

План решения.

1. Вынесем в числителе множитель , получим , где .

2. Вынесем в числителе множитель , получим , где .

3. Имеем

.

4. Получаем, что

если , то ;

если , то ;

если , то по теореме о пределе частного

.

Замечание. Иногда необходимо привести выражение, стоящее после знака предела, к соответствующему виду.

Задача 5. Вычислить пределы числовых последовательностей.

Вычисление пределов вида

Постановка задачи. Вычислить предел последовательности

,

где и .

План решения.

1. Преобразуем выражение под знаком предела так, чтобы использовать второй замечательный предел, т.е. выделим единицу:

,

где – бесконечно малая последовательность при . Так как при , то

.

2. Если () и , то

.

Следовательно, если существует предел

,

то окончательно имеем

.

Задача 6. Вычислить пределы числовых последовательностей.

Понятие предела функции

Постановка задачи. Пользуясь определением предела функции в точке, доказать, что

.

План решения.

Число называется пределом функции в точке , если : . Это значит, что неравенство имеет решение .

Задача 7. Доказать (найти ), что:

Здесь функция не определена при .

Необходимо доказать, что при произвольном найдется такое , что будет выполняться неравенство

, (1)

если . Но при неравенство (1) эквивалентно неравенству

или

. (2)

Таким образом, при произвольном неравенство (1) будет выполняться, если будет выполняться неравенство (2) (здесь ). А это значит, что заданная функция при имеет пределом число .

Понятие непрерывности функции в точке

Постановка задачи. Пользуясь определением, доказать, что функция непрерывна в точке .

План решения.

Функция называется непрерывной в точке , если : . Это значит, что неравенство имеет решение .

Задача 8. Доказать, что функция непрерывна в точке (найти ).

Покажем, что при любом найдется такое , что при .

Имеем

.

Следовательно

,

.

Т.е. неравенство выполняется при .

Вычисление пределов вида

Постановка задачи. Вычислить предел

,

где

,

.

План решения.

1. Возможны три случая.

1) Если , то функция непрерывна в точке и

.

2) Если и , то

.

3) Если и , то разлагая многочлены на множители, получаем

,

где и .

2. Поскольку в определении предела функции при аргумент не может принимать значение, равное , то в последнем случае можно сократить множитель . Получаем

.

Замечание. Если число является кратным корнем многочленов и , то , и

,

где и . В зависимости от чисел и получим один из трех перечисленных в первом пункте случаев.

Задача 9. Вычислить пределы функций.

Вычисление пределов вида

Постановка задачи. Вычислить предел

,

где и – бесконечно малые функции в точке .

План решения.

Способ 1. Непосредственное вычисление пределов.

В зависимости от примера необходимо воспользоваться приемом домножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение (если в дроби присутствуют радикалы) либо одной из следующих формул, приведя предварительно выражение к соответствующему виду:

,

(первый замечательный предел),

(второй замечательный предел),

,

,

.

Во всех приведенных выше формулах при .

Способ 2. Замена на эквивалентные бесконечно малые.

1. Нужно заменить и на эквивалентные им бесконечно малые функции. Но таблица эквивалентных бесконечно малых функций составлена для точки . Поэтому сначала сделаем замену переменной и будем искать предел при (если , то замену делать не надо).

2. Преобразуем выражение под знаком предела, пользуясь алгебраическими и тригонометрическими формулами, и заменяем в произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными.

Таблица эквивалентных бесконечно малых:

Функция	Эквивалентная бесконечно малая

Задача 10. Вычислить пределы функций.

Вычисление пределов вида

Постановка задачи. Вычислить предел

,

где и – бесконечно малые функции в точке .

План решения.

Способ 1. Непосредственное вычисление пределов.

В зависимости от примера необходимо воспользоваться приемом домножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение (если в дроби присутствуют радикалы) либо одной из следующих формул, приведя предварительно выражение к соответствующему виду:

,

(первый замечательный предел),

(второй замечательный предел),

,

,

.

Во всех приведенных выше формулах при .

Способ 2. Замена на эквивалентные бесконечно малые.

1. Нужно заменить и на эквивалентные им бесконечно малые функции. Но таблица эквивалентных бесконечно малых функций составлена для точки . Поэтому сначала сделаем замену переменной и будем искать предел при (если , то замену делать не надо).

2. Преобразуем выражение под знаком предела, пользуясь алгебраическими и тригонометрическими формулами, и заменяем в произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными.

Таблица эквивалентных бесконечно малых:

Функция	Эквивалентная бесконечно малая

Задача 11. Вычислить пределы функций.

Способ 1.

Способ 2.

Вычисление пределов вида

Постановка задачи. Вычислить предел

,

где и – бесконечно малые функции в точке .

План решения.

Способ 1. Непосредственное вычисление пределов.

В зависимости от примера необходимо воспользоваться приемом домножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение (если в дроби присутствуют радикалы) либо одной из следующих формул, приведя предварительно выражение к соответствующему виду:

,

(первый замечательный предел),

(второй замечательный предел),

,

,

.

Во всех приведенных выше формулах при .

Способ 2. Замена на эквивалентные бесконечно малые.

1. Нужно заменить и на эквивалентные им бесконечно малые функции. Но таблица эквивалентных бесконечно малых функций составлена для точки . Поэтому сначала сделаем замену переменной и будем искать предел при (если , то замену делать не надо).

2. Преобразуем выражение под знаком предела, пользуясь алгебраическими и тригонометрическими формулами, и заменяем в произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными.

Таблица эквивалентных бесконечно малых:

Функция	Эквивалентная бесконечно малая

Задача 12. Вычислить пределы функций.

Способ 1.

Способ 2.

Вычисление пределов вида

Постановка задачи. Вычислить предел

,

где и – бесконечно малые функции в точке .

План решения.

Способ 1. Непосредственное вычисление пределов.

В зависимости от примера необходимо воспользоваться приемом домножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение (если в дроби присутствуют радикалы) либо одной из следующих формул, приведя предварительно выражение к соответствующему виду:

,

(первый замечательный предел),

(второй замечательный предел),

,

,

.

Во всех приведенных выше формулах при .

Способ 2. Замена на эквивалентные бесконечно малые.

1. Нужно заменить и на эквивалентные им бесконечно малые функции. Но таблица эквивалентных бесконечно малых функций составлена для точки . Поэтому сначала сделаем замену переменной и будем искать предел при (если , то замену делать не надо).

2. Преобразуем выражение под знаком предела, пользуясь алгебраическими и тригонометрическими формулами, и заменяем в произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными.

Таблица эквивалентных бесконечно малых:

Функция	Эквивалентная бесконечно малая

Задача 13. Вычислить пределы функций.

Способ 1.

Способ 2.

Вычисление пределов вида

Постановка задачи. Вычислить предел

,

где и – бесконечно малые функции в точке .

План решения.

Способ 1. Непосредственное вычисление пределов.

В зависимости от примера необходимо воспользоваться приемом домножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение (если в дроби присутствуют радикалы) либо одной из следующих формул, приведя предварительно выражение к соответствующему виду:

,

(первый замечательный предел),

(второй замечательный предел),

,

,

.

Во всех приведенных выше формулах при .

Способ 2. Замена на эквивалентные бесконечно малые.

1. Нужно заменить и на эквивалентные им бесконечно малые функции. Но таблица эквивалентных бесконечно малых функций составлена для точки . Поэтому сначала сделаем замену переменной и будем искать предел при (если , то замену делать не надо).

2. Преобразуем выражение под знаком предела, пользуясь алгебраическими и тригонометрическими формулами, и заменяем в произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными.

Таблица эквивалентных бесконечно малых:

Функция	Эквивалентная бесконечно малая

Задача 14. Вычислить пределы функций.

Способ 1.

Способ 2.

Вычисление пределов вида

Постановка задачи. Вычислить предел

,

где и – бесконечно малые функции в точке .

План решения.

Способ 1. Непосредственное вычисление пределов.

В зависимости от примера необходимо воспользоваться приемом домножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение (если в дроби присутствуют радикалы) либо одной из следующих формул, приведя предварительно выражение к соответствующему виду:

,

(первый замечательный предел),

(второй замечательный предел),

,

,

.

Во всех приведенных выше формулах при .

Способ 2. Замена на эквивалентные бесконечно малые.

1. Нужно заменить и на эквивалентные им бесконечно малые функции. Но таблица эквивалентных бесконечно малых функций составлена для точки . Поэтому сначала сделаем замену переменной и будем искать предел при (если , то замену делать не надо).

2. Преобразуем выражение под знаком предела, пользуясь алгебраическими и тригонометрическими формулами, и заменяем в произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными.

Таблица эквивалентных бесконечно малых:

Функция	Эквивалентная бесконечно малая

Задача 15. Вычислить пределы функций.

Способ 1.

Способ 2.

Вычисление пределов вида

Постановка задачи. Вычислить предел

,

где и .

План решения.

Способ 1.

С помощью некоторых преобразований приводим предел ко второму замечательному пределу.

Способ 2.

1. Преобразуем выражение под знаком предела:

.

2. Поскольку показательная функция непрерывна, то можно перейти к пределу под знаком этой функции. Имеем

.

3. Вычисляем предел показателя

одним из перечисленных выше способов и записываем окончательный ответ.

Замечание. Оба способа по своей с