Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера.

При вращении материальной точки массой m вокруг фиксированной оси Z по окружности радиуса r, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси Z, со скоростью v момент импульса равен . Величину называют моментом инерции материальной точки относительно оси Z.

Если вокруг фиксированной оси вращается твердое тело, то его можно разбить на совокупность материальных точек с моментами инерции , вращающихся вокруг оси с одинаковой угловой скоростью и имеющих моменты импульса . Тогда момент импульса твердого тела относительно оси вращения будет равен , где величину называют моментом инерции твердого тела относительно выбранной оси вращения.

Однако вычислить момент инерции твердого тела по этой формуле нельзя. Для тела с распределенной массой его вычисляют по формуле . Для сведения этого интеграла к математическому элемент массы тела в зависимости от характера ее распределения (по кривой, поверхности или объему тела) представляют в виде , где – линейная, поверхностная и объемная плотности тела, соответственно.

В справочниках приводятся только моменты инерции тел относительно осей вращения, проходящих через их центр масс (ЦМ)C. Так, момент инерции стержня длиной l и массой m относительно оси вращения, перпендикулярной стержню и проходящей через его ЦМ, равен . Момент инерции круглых тел массой m и радиусом R относительно оси вращения, проходящей через их ЦМ вдоль оси их симметрии – , где k – коэффициент инерции равный k = 1 для обруча и полого цилиндра, для диска и сплошного цилиндра, для шара, для сферы.

Для кольца или цилиндра с внутренним и внешним радиусами и – или , где . В частных случаях обруча и полого цилиндра , диска и сплошного цилиндра опять придем к прежним формулам моментов инерции этих тел.

Для сферы с толстыми стенками с внутренним и внешними радиусами стенок и – , где .

Если ось вращения тела смещена от оси вращения, проходящей через его ЦМ, на расстояниеa и параллельна ей, то момент инерции тела относительно этой оси рассчитывают по теореме Штейнера: , где m – масса тела. Например, момент инерции круглых тел относительно оси вращения, касающейся их поверхности (a = R) и параллельной исходной оси вращения, проходящей через ЦМ тела, по теореме Штейнера равен .

Пример 1. Перпендикулярно к боковой поверхности прямого цилиндра массой и радиусом прикреплен стержень массой и длиной l. Ко второму концу стержня прикреплен шар массой и радиусом (рис.51). Найти момент инерции этой системы тел относительно оси цилиндра.

Рис.51

Дано: . Найти:

Решение: Решение задачи построим в виде последовательного алгоритма. Расстояния ЦМ тел до оси цилиндра: . Моменты инерции тел относительно их ЦМ: . Моменты инерции тел относительно оси цилиндра, рассчитанные по теореме Штейнера: . Полный момент инерции системы тел: .

Ответ: .

Пример 2. Найти момент инерции каркаса равностороннего треугольника массой m со сторонами длиной l относительно оси вращения, проходящую через его ЦМ, перпендикулярную его плоскости (рис.52). Каким станет момент инерции треугольника, если ось вращения параллельно перенести в одну из его вершин.

Рис.52

Дано: m, l. Найти:

Решение: ЦМ С равностороннего треугольника находится в точке пересечения его высот. Масса одной стороны треугольника , расстояния от ЦМ сторон треугольника до оси вращения . Момент инерции одной стороны треугольника относительно оси вращения по теореме Штейнера: . Момент инерции треугольника .

При параллельном переносе оси вращения в одну из вершин треугольника расстояние между ЦМ треугольника и новой осью вращения станет равным , а его новый момент инерции по теореме Штейнера – .

Ответ: .

Пример 3. Найти момент инерции каркаса квадрата массой m со сторонами длиной l относительно оси вращения, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости квадрата (рис.53).

Рис. 53

Дано: . Найти

Решение: Масса одной стороны квадрата , расстояния от оси вращения до сторон квадрата . Момент инерции одной стороны квадрата относительно выбранной оси вращения по теореме Штейнера: . Момент инерции квадрата .

Ответ: .

Пример 4. Найти момент инерции стержня длиной l и массой m, наклоненного под углом α к оси вращения, проходящей через его ЦМ.

Рис.54

Дано: m, l, α. Найти:

Решение: Для вычисления момента инерции выберем систему координат как это показано на рис.54. Возьмем на оси стержня с линейной плотностью массы элемент массы и моментом инерции . Тогда момент инерции стержня относительно оси вращения, проходящей через его ЦМ

Из полученного выражения следует, что вклад в момент инерции стержня дает его проекция на направление, перпендикулярное оси вращения.

Ответ: .

Пример 5. Найти момент инерции стержня длиной l и массой m, наклоненного под углом α к оси вращения, ближайший конец которого отстоит от оси вращения на расстояние a (рис.55). Ось вращения и стержень лежат в одной плоскости.

Рис.55

Дано: . Найти:

Решение: Для вычисления момента инерции выберем систему координат, как это показано на рис.56. Повторяя рассуждения примера 1 и изменяя пределы интегрирования, получим для момента инерции стержня

.

При a=0 получим . Откуда при . Выражение для можно записать в виде

.

Откуда при получим . Отсюда следует, что стержень, параллельный оси вращения, ведет себя как материальная точка.

Пример 6. Найти момент инерции каркаса прямоугольника массой m со сторонами, равными a и b, относительно оси вращения, проходящей в его плоскости через его ЦМ параллельно стороне a (рис.56).

Рис.56

Дано: m, a, b. Найти:

Решение: Линейная плотность массы каркаса прямоугольника равна . Массы сторон длиной a и b равны соответственно и .

Стороны прямоугольника с длиной равной a, параллельные оси вращения, ведут себя как материальные точки с моментом инерции , а стороны длиной b, перпендикулярные оси вращения, как стержни с моментом инерции .

Полный момент инерции каркаса прямоугольника .

Ответ: .

Пример 7. Вывести формулу для момента инерции прямоугольника массой m со сторонами a и b относительно оси вращения, проходящей через его ЦМ, перпендикулярно его плоскости (рис.57).

Рис.57

Дано: m, a, b. Найти:

Решение: Выберем систему координат XYZ с началом О в ЦМ прямоугольника, ось Z которой перпендикулярна его плоскости. Оси X и Y направим перпендикулярно его сторонам a и b. Масса прямоугольника , где – поверхностная плотность его массы.

В качестве элемента поверхности возьмем прямоугольник с координатами и ,со сторонами и и площадью , находящийся на расстоянии от начала О системы координат. Масса этого прямоугольника , а момент инерции .

Полный момент инерции прямоугольника

Если или , то придем к формуле момента инерции стержня относительно оси вращения, перпендикулярной стержню и проходящей через его ЦМ.

Ответ: .

Пример 8. Вывести формулу для момента инерции равнобедренного треугольника массой m, высотой h и длиной основания, равной a, относительно оси вращения, лежащей в плоскости треугольника и проходящей вдоль его высоты.

Рис.58

Дано: m, a. Найти:

Решение: Выберем систему координат с началом О в вершине треугольника. Ось Z направим вдоль высоты треугольника к его основанию (рис.58). Масса треугольника .

В качестве элементарного тела выберем стержень, перпендикулярный к оси Z на расстоянии z от начала О шириной dz. Из подобия треугольников длина стержня , его площадь , масса , а момент инерции .

Момент инерции треугольника относительно оси вращения, проходящей вдоль его высоты

.

Ответ: .

Пример 9. Вывести формулу для момента инерции равнобедренного треугольника массой m, высотой h и длиной основания, равной a, относительно оси вращения, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через его вершину.

Дано: m, a,h. Найти:

Решение: Выберем систему координат так же, как в примере 8 (рис.59). Масса треугольника .

В качестве элементарного тела выберем стержень, перпендикулярный к оси X на расстоянии z от начала О шириной dz и длиной , его масса и момент инерции относительно его ЦМ . Момент инерции стержня относительно его вершины по теореме Штейнера

.

Полный момент инерции равнобедренного треугольника относительно оси вращения, проходящей через его вершину перпендикулярно его плоскости

.

Откуда . Для равностороннего треугольника , и .

Ответ: , для равностороннего треугольника – .

Пример 10. Вывести формулу для момента инерции равнобедренного треугольника массой m, высотой h и длиной основания, равной a, относительно оси вращения, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через его ЦМ.

Дано: m, a,h. Найти:

Решение: Согласно разделу Центр масс ЦМ треугольника находится от вершины треугольника на расстоянии . Тогда по теореме Штейнера с учетом примера 9 получим

Для равностороннего треугольника , , .

Ответ: , для равностороннего треугольника – .

Пример 11. Вывести формулу для момента инерции кольца (полого цилиндра) массой m с внутренним и внешним радиусами и относительно оси вращения, проходящей через центр кольца, перпендикулярно его плоскости (рис.59).

Рис.59

Решение: Масса кольца , где – поверхностная плотность его массы. Выберем в качестве элементарного тела кольцо радиуса r и шириной dr, площадь которого , а масса равна . Момент инерции кольца . Тогда момент инерции большого кольца

Ответ: .

Пример 12. Вывести формулу для момента инерции кругового сектора диска массой m радиусом R относительно оси вращения, перпендикулярной его плоскости и проходящей через его вершину (рис.21, раздел 7).

Дано: m, R. Найти:

Решение: Задачу будем решать в полярной системе координат. Начало О системы координат выберем в центре кругового сектора. Масса сектора с углом при его вершине .

В качестве элемента массы dm выберем площадку, находящуюся на расстоянии r от точки О под углом α к оси X, перпендикулярной оси симметрии сектора. Ее площадь , а масса . Момент инерции кругового сектора, боковые стороны которого составляют углы с осью X , равен

Ответ: .

Пример 13. Вывести формулу для момента инерции для половины диска массой m и радиусом R относительно оси вращения, перпендикулярной его плоскости и проходящей через его ЦМ.

Дано: m, R. Найти:

Решение: Положение ЦМ половины диска было найдено в разделе 7 – Центр масс и равно , а его момент инерции относительно его центра в О получен примере 12. Тогда момент инерции половины диска относительно его ЦМ по теореме Штейнера будет равен

.

Ответ: .

 

Пример 14. Вывести формулу для момента инерции диска массой m и радиусом R относительно оси вращения, лежащей в его плоскости и проходящей через его диаметр.

Рис.60

Дано: m, R. Найти:

Решение: Начало О системы координат возьмем в ЦМ диска, а его ось вращения Z направим по его диаметру (рис.60). Масса диска ,где – поверхностная плотность массы диска.

Для расчета момента инерции диска выберем в качестве элементарного тела стержень, перпендикулярный оси вращения Z, находящийся на расстоянии z от точки О. Длина стержня , , его ширина dz, масса стержня .

Элементарный момент инерции стержня . Тогда с учетом, что при – , откуда получим для полного момента инерции диска относительно оси вращения, проходящей через его диаметр

.

Ответ: .

Пример 15. Вывести формулу для момента инерции кругового сектора массой m и радиусом R и углом при его вершине относительно оси вращения, лежащей в его плоскости и проходящей через его ось симметрии.

Дано: . Найти:

Решение: Начало О системы координат возьмем в центре кругового сектора, а его ось вращения Z направим вдоль его оси симметрии. Масса сектора ,где – поверхностная плотность его массы.

Задачу будем решать в полярной системе координат. Начало О системы координат выберем в центре кругового сектора. В качестве элемента массы dmвыберем площадку, находящуюся на расстоянии rот точки О под углом α к оси X, перпендикулярной оси Z симметрии сектора (рис.21 раздела 7). Ее координата по оси Z равна , площадь , а масса . Момент инерции кругового сектора относительно оси Z, боковые стороны которого составляют углы с осью X, с учетом, что

,

равен

.

Откуда . При придем к моменту инерции диска и половины диска, полученному в предыдущем примере.

Ответ: .

Пример 16. Вывести формулу для момента инерции шара массой m и радиусом R относительно оси вращения, проходящей через его ЦМ (рис.60).

Дано: m, R. Найти:

Решение: Масса шара , где – объемная плотность массы шара.

Выберем в качестве элементарного тела диск, лежащий в плоскости, перпендикулярной оси вращения, и отстоящий на расстояние z от ЦМ сферы. Радиус диска , его высота dz, а объем . Масса диска , его момент инерции .

Полный момент инерции шара

Ответ: .

Пример 17. Вывести формулу для момента инерции шарового слоя массой m с внутренним и внешним радиусами, равными и относительно оси вращения, проходящей через его ЦМ. Рассмотреть момент инерции сферы массой m и радиусом R как частный случай.

 

Дано: . Найти:

Решение: Масса шара с объемной плотностью массы ρ равна , а масса полости в нем . Тогда масса шарового слоя . Откуда . Если момент инерции шара равен , а шаровой полости в нем , то момент инерции шарового слоя согласно примеру 16 . Откуда при и опять придем к формуле момента инерции шара .

Используя преобразование , момент инерции шарового слоя можно представить в виде

.

Откуда при получим момент инерции сферы .

Ответ: для шарового слоя , для сферы .

Пример 18. Вывести формулу для момента инерции прямого конуса массой m с радиусом

основания R и высотой h относительно оси вращения, проходящей через его ось симметрии.

Рис.61

Дано: m, R. Найти:

Решение: Выберем ось Z по направлению оси симметрии конуса с началом О в его вершине (рис.61). Масса конуса .

Выберем в качестве элементарного тела диск, лежащий в плоскости, перпендикулярной оси вращения и отстоящий на расстояние z от вершины конуса. Из подобия треугольников , тогда радиус диска , его высота dz, а объем . Масса диска , его момент инерции .

Полный момент инерции конуса

.

Ответ: .