ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ:
1.ИЗMEHEHИE COCTABA METAЛЛA ПPИ BЫПУCKE ИЗ KOHBEPTOPA.
X1 - ИЗMEHEHИE COДEPЖAHИЯ AЗOTA, % *10000
-1.0 -3.5 3.5 1.0 -.5.5.0 1.5 4.5 1.0 -2.5 4.0.0 -1.5 -.5 2.5 3.5.0.0 3.5 -1.0 5.0 3.5 1.0.0 3.5
N = 26 X2 - HAЧAЛЬHAЯ KOHЦEHTPAЦИЯ УГЛEPOДA, %
.09.06.10.12.09.09.04.05.06.08.09.15.06.07.06.04.07.06.08.09.06.12.15.08.08.08
Заданы результаты N экспериментов, в каждом из которых измерялось значение величин X1 и X2. Требуется найти эмпирический коэффициент корреляции, уравнения эмпирических прямых среднеквадратической регрессии X1 на X2 , X2 на X1 и сделать вывод о силе и характере связи между X1 и X2. Найти коэффициенты эластичности, полученных зависимостей. Объяснить экономический смысл коэффициентов регрессии и коэффициентов эластичности.
РЕШЕНИЕ.
Для решения задачи необходимо рассчитать: оценку математического ожидания 
для каждой величины; оценку стандартного отклонения S1 и S2 для X1 и X2; оценку ковариации 
. Вспомогательные вычисления приведем в таблице:
| № | X1 | X2 | (X1-m1) | (X2-m2) | (X1-m1)^2 | (X2-m2)^2 | K12 |
| -1 | 0,09 | -2,07692 | 0,008462 | 4,313609 | 7,16E-05 | -0,01757 | |
| -3,5 | 0,06 | -4,57692 | -0,02154 | 20,94822 | 0,000464 | 0,09858 | |
| 3,5 | 0,1 | 2,423077 | 0,018462 | 5,871302 | 0,000341 | 0,044734 | |
| 0,12 | -0,07692 | 0,038462 | 0,005917 | 0,001479 | -0,00296 | ||
| -0,5 | 0,09 | -1,57692 | 0,008462 | 2,486686 | 7,16E-05 | -0,01334 | |
| 0,5 | 0,09 | -0,57692 | 0,008462 | 0,33284 | 7,16E-05 | -0,00488 | |
| 0,04 | -1,07692 | -0,04154 | 1,159763 | 0,001725 | 0,044734 | ||
| 1,5 | 0,05 | 0,423077 | -0,03154 | 0,178994 | 0,000995 | -0,01334 | |
| 4,5 | 0,06 | 3,423077 | -0,02154 | 11,71746 | 0,000464 | -0,07373 | |
| 0,08 | -0,07692 | -0,00154 | 0,005917 | 2,37E-06 | 0,000118 | ||
| -2,5 | 0,09 | -3,57692 | 0,008462 | 12,79438 | 7,16E-05 | -0,03027 | |
| 0,15 | 2,923077 | 0,068462 | 8,544379 | 0,004687 | 0,200118 | ||
| 0,06 | -1,07692 | -0,02154 | 1,159763 | 0,000464 | 0,023195 | ||
| -1,5 | 0,07 | -2,57692 | -0,01154 | 6,640533 | 0,000133 | 0,029734 | |
| -0,5 | 0,06 | -1,57692 | -0,02154 | 2,486686 | 0,000464 | 0,033964 | |
| 2,5 | 0,04 | 1,423077 | -0,04154 | 2,025148 | 0,001725 | -0,05911 | |
| 3,5 | 0,07 | 2,423077 | -0,01154 | 5,871302 | 0,000133 | -0,02796 | |
| 0,06 | -1,07692 | -0,02154 | 1,159763 | 0,000464 | 0,023195 | ||
| 0,08 | -1,07692 | -0,00154 | 1,159763 | 2,37E-06 | 0,001657 | ||
| 3,5 | 0,09 | 2,423077 | 0,008462 | 5,871302 | 7,16E-05 | 0,020503 | |
| -1 | 0,06 | -2,07692 | -0,02154 | 4,313609 | 0,000464 | 0,044734 | |
| 0,12 | 3,923077 | 0,038462 | 15,39053 | 0,001479 | 0,150888 | ||
| 3,5 | 0,15 | 2,423077 | 0,068462 | 5,871302 | 0,004687 | 0,165888 | |
| 0,08 | -0,07692 | -0,00154 | 0,005917 | 2,37E-06 | 0,000118 | ||
| 0,08 | -1,07692 | -0,00154 | 1,159763 | 2,37E-06 | 0,001657 | ||
| 3,5 | 0,08 | 2,423077 | -0,00154 | 5,871302 | 2,37E-06 | -0,00373 | |
| Итого: | 2,12 | 6,66E-15 | -5,7E-16 | 127,3462 | 0,020538 | 0,636923 |
1) Для каждой величины X1 и X2 найдем оценку математического ожидания 
по формуле:
,
где i = 1; 2, 
- значения величин X1 и X2.
В нашем случае получаем
; 
2) Эмпирические среднеквадратические отклонения Si рассчитываются по следующим формулам:
, где i = 1; 2.
В нашем случае получаем
; 
;
; 
.
3) Ковариация, или корреляционный момент, служит для характеристики связи между величинами X1 и X2. Статистической оценкой ковариации является величина 
, которая вычисляется по формуле:
.
В нашем случае получаем
.
4) Другой характеристикой наличия связи между X1 и X2 служит коэффициент корреляции rxy, эмпирическая оценка которого r определяется по формуле:
.
Коэффициент корреляции является безразмерной величиной и 
. Если 
, то X1 и X2 связаны тесной линейной зависимостью, причем для r < 0 зависимость обратная, а для r > 0 зависимость прямая. Если r = 0, то X1 и X2 – независимы.
В нашем случае получаем
.
Такое значение r говорит об умеренной связи (линейной) между X1 и X2. Связь прямая.
Так как о величине коэффициента корреляции мы судим только по его эмпирической оценке, то для проверки существенности линейной зависимости между X1 и X2 (значимости коэффициента корреляции rxy) необходимо проверить гипотезу Н0: rxy= 0, при альтернативной гипотезе Н1: rxy¹ 0.
Для проверки нулевой гипотезы вычисляем фактическое значение
t – критерия Стьюдента:
= 
,
которое сравниваем с критическим (табличным) значением 
. Если фактическое значение меньше табличного, то нет причин отклонить нулевую гипотезу, что означает не существенность линейной зависимости между X1 и X2, если же > , то Н0 отклоняем и принимаем альтернативную гипотезу, что означает значимость линейного коэффициента корреляции, т.е. существенность линейной зависимости между X1 и X2.
В нашем случае
=2,099,
=1,81.
Так как 
> , то это означает значимость линейного коэффициента корреляции, т.е. существенность линейной зависимости между X1 и X2.
5) Пусть X2 является функцией величины Х1. Тогда уравнение эмпирической прямой регрессии Х2 на Х1 имеет вид:
.
Коэффициент 
называется коэффициентом регрессии Х2 на Х1.
В нашем случае
,
уравнение эмпирической прямой регрессии Х2 на Х1 имеет вид:
.
Коэффициент регрессии показывает, что с увеличением значения фактора X1 на 1 единицу измерения, значение результирующего признака Х2 увеличивается в среднем на 0,005.
Коэффициент 
показывает прогнозируемый уровень результирующего признака Х2 в том случае, если значение фактора X1 =0 находится близко с выборочными значениями.
Найдем коэффициент эластичности:
.
Коэффициент эластичности меньше 1, то есть при изменении среднего значения X1 на 1% среднее значение Х2 изменится менее чем на 1%, т.е. влияние X1 на Х2 не существенно.
Если X1 является функцией величины Х2, то уравнение прямой регрессии Х1 на Х2 имеет вид:
,
где 
– коэффициент регрессии Х1 на Х2.
В нашем случае
,
уравнение прямой регрессии Х1 на Х2 имеет вид:
.
Коэффициент регрессии показывает, что с увеличением значения фактора X2 на 1 единицу измерения, значение результирующего признака Х1 увеличивается в среднем на 31,011.
Коэффициент 
показывает прогнозируемый уровень результирующего признака Х1 в том случае, если значение фактора X2 =0 находится близко с выборочными значениями.
Найдем коэффициент эластичности:
.
Коэффициент эластичности больше 1, то есть при изменении среднего значения X2 на 1% среднее значение Х1 изменится на 2,36%, т.е. влияние X2 на Х1 существенно.
Приведем диаграмму рассеяния и график прямой регрессии Х2 на Х1 :
ВЫВОДЫ:
Приведем результаты вычислений:
| 1,076923 | S1 | 2,256955 | |
| 0,081538 | S2 | 0,028662 | |
|
| 0,025477 | rху | 0,393831 |
В работе получена эмпирическая оценка коэффициента корреляции r=0,3938. Такое значение этого показателя говорит об умеренной прямой линейной связи между показателями Х1 и Х2. Этот же вывод подтверждается с помощью t-критерия Стьюдента и графически.
Анализ значений коэффициентов эластичности позволяет сделать вывод о том, что влияние X1 на Х2 несущественно, влияние X2 на Х1 существенно.