Модели межотраслевого баланса.
Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.
| Потребление | Конечный продукт | |||||
| отрасль | …. | n | ||||
| Производство | X11 | X12 | …. | X1n | Y1 | |
| X21 | X22 | …. | X2n | Y2 | ||
| … | …. | …. | …. | …. | …. | |
| n | Xn1 | Xn2 | …. | Xnn | Yn | |
| Промежуточные затраты | 
| 
| …. | 
|
1) Уравнения 
называются соотношениями баланса, где 
- объемы валового продукта i-той отрасли, 
- объем продукции i-той отрасли, потребляемой j-той отраслью в процессе производства, 
- конечный продукт i-той отрасли.
2) Соотношения баланса могут быть записаны:
а) в виде 
, где 
- коэффициенты прямых затрат, показывающие затраты продукции i-той отрасли на производство единицы продукции j-той отрасли;
б) в матричном виде: 
или 
, где 
- вектор валового выпуска, 
- матрица прямых затрат, 
- вектор конечного продукта.
3) Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска Х, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта У. Вектор Х находится по формуле: 
.
4) Матрица 
называется матрицей полных затрат, элемент sij этой матрицы показывает величину валового выпуска продукции i-той отрасли, необходимый для обеспечения выпуска единицы конечной продукции j-той отрасли.
5) Матрица А≥0 называется продуктивной, если для любого вектора Y≥0 существует решение Х≥0 уравнения межотраслевого баланса. Матрица продуктивна, если aij≥0 для любых i,j=1,2,..,n и 
и существует номер j такой, что 
.
6) Чистой продукцией отрасли называется разность между валовой продукцией этой отрасли и затратами продукции всех отраслей на производство этой отрасли.
Пример 1.
В таблице приведены коэффициенты прямых затрат и конечная продукция двух отраслей на плановый период:
| отрасль | Потребление | Конечный продукт | ||
| Промышленность | Сельское хозяйство | |||
| Произ-водство | Промышленность | 0,3 | 0,25 | |
| Сельское хозяйство | 0,15 | 0,12 |
Найти:
а) плановые объемы валовой продукции отраслей, межотраслевые поставки, чистую продукцию отраслей;
б) необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление продукции сельского хозяйства увеличится на 20%, а промышленности на 10%.
Решение.
Матрица прямых затрат - 
, вектор конечной продукции - 
. найдем матрицу 
.
Тогда матрица полных затрат: 
.
Вычислим вектор валового продукта: 
.
Межотраслевые поставки найдем по формулам 
, например, 
. Сводим все рассчитанные значения в следующую таблицу:
| отрасль | Межотраслевые поставки | Конечный продукт | Валовый продукт | ||
| Пром. | Сельское хоз-во | ||||
| Произ-водство | Промышленность | 144,6 | 62,5 | ||
| Сельское хозяйство | 72,3 | ||||
| Чистая продукция | 265,1 | 157,5 | |||
| Валовый продукт |
По условию вектор конечного потребления должен увеличиться до 
. Тогда вектор валовой продукции (выпуск) должен увеличиться до 
.
Задачи для самостоятельного решения.
1) Выяснить продуктивна ли матрица А:
2) Дана матрица прямых затрат 
.
Найти а) вектор валовой продукции Х для обеспечения выпуска конечной продукции 
; б) приращение вектора ΔХ для увеличения выпуска конечной продукции на 
.
3) Имеются данные о работе двух отраслей в прошлом периоде и план выпуска конечной продукции 
в будущем периоде:
| отрасль | Потребление | Чистая продукция | План
| |
| I | II | |||
| I | ||||
| II |
Найти матрицы прямых и полных затрат, выпуск валовой продукции в плановом периоде, обеспечивающий выпуск конечной продукции .
4) Дана матрица S полных затрат некоторой модели межотраслевого баланса. Найти: а) приращение валового выпуска ΔХ1, обеспечивающее приращение конечной продукции ΔY1; б) приращение конечной продукции ΔY2, соответствующее приращению ΔХ2 валового выпуска: 
; 
; 
.